概率论与数理统计 课件制作：应用数学系 概率统计课程组

2.2-2.3　随机变量的分布函数 一、离散型随机变量的概念 二、离散型随机变量的分布函数 三、常见的离散型随机变量的概率分布

随机变量的分类 通常分为两类： 离散型随机变量 随机变量 连续型随机变量 所有取值可以逐个 一一列举 全部可能取值不仅 无穷多，而且还不 能一一列举，而是 充满一个区间. 连续型随机变量

一、离散型随机变量的概念 非负性 规范性 定义: 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或无穷 可列多个，则称 X 为离散型随机变量. 描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布 或分布律，即 概率分布的性质 非负性 规范性

二、离散型随机变量的分布函数 F( x) 是分段阶梯函数，在 X 的可能取值 xk 处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点.

分布函数图 概率函数图 注意右连续

注意: 离散型随机变量的概率分布分以下几步来求: (1)确定随机变量的所有可能取值; (2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率. (3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）.

例2.2.1 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令 X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布律． 求分布率一定要说明 k 的取值范围！ 解：X 的可能取值为 5，6，7，8，9，10． 并且 =—— 具体写出，即可得 X 的分布律：

例2.2.2 袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放回,直到取得黑球为止。记X为取到白球的数目,Y为抽取次数，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。 P(X=0)=5/8, P(X=1)=(3×5)/(8×7)=15/56,类似有 P(X=2)=(3×2×5)/(8 ×7 ×6)=5/56, P(X=3)=1/56, 所以,X的概率分布为 (2) Y的可能取值为1,2,3,4, P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, 　　　类似有： P(Y=3)=P(X=2)=5/56,　　　P(Y=4)=P(X=3)=1/56, 所以Y的概率分布为： X 0 1 2 3 P 5/8 15/56 5/56 1/56 (3) P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56

三、常见的离散型随机变量的概率分布 (1) 0 – 1 分布 X = xk 1 0 0 < p < 1 Pk p 1-p (1) 0 – 1 分布 X = xk 1 0 Pk p 1-p 0 < p < 1 凡是随机试验只有两个可能的结果， 应用场合 常用0 – 1分布描述，如产品是否格、人口性别统 计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等. 注:其分布律可写成

(2) 离散型均匀分布 如在“掷骰子”的试验中，用 表示事件｛出现 点｝， 则随机变量 是均匀分布．

(3) 二项分布 背景：n 重Bernoulli 试验中，每次试验感兴 趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数 —— X是一离散型随机变量 若P ( A ) = p , 则 称 X 服从参数为n, p 的二项分布(也叫Bernolli 分布).记作 0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布.

二项分布的图形

例3.1.1 一大批产品的次品率为0.1，现从中取 出15件．试求下列事件的概率： B ={ 取出的15件产品中恰有2件次品 } C ={ 取出的15件产品中至少有2件次品 } 解： 由于从一大批产品中取15件产品，故可近似 看作是一15重Bernoulli试验． 所以，

例3.1.2 一个完全不懂英语的人去参加英语考试. 假设此考试有5个选择题，每题有n重选择，其中只 有一个答案正确.试求：他居然能答对3题以上而及 格的概率. 解:由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案 对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题 也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个 Bernoulli试验 .

(4) Poisson 分布 或 若 其中 是常数，则称 X 服从参数为 或 的Poisson 分布，记作 在一定时间间隔内： 应用场合: 在一定时间间隔内： 电话总机接到的电话次数； 一匹布上的疵点个数； 大卖场的顾客数；

市级医院急诊病人数； 一个容器中的细菌数； 某一地区发生的交通事故的次数; 放射性物质发出的粒子数； 一本书中每页印刷错误的个数； 等等.

例3.1.3 设随机变量X 服从参数为λ的Poisson分布， 且已知 解：随机变量 X 的分布律为 由已知

例3.1.4 如果随机变量X 的分布律为 试确定未知常数c . 解： 由分布率的性质有

(5) 几何分布 设用机枪射击一次击落飞机的概率为 ,无限次地射击，则首次击落飞机时所需射击的次数 服从参数为 的几 何分布，记 .即 设用机枪射击一次击落飞机的概率为 ,无限次地射击，则首次击落飞机时所需射击的次数 服从参数为 的几 何分布，记 .即 容易验证，若在前 m 次射击中未击落飞机，那么,在 此条件下，为了等到击落时刻所需要等待时间也服 从同一几何分布，该分布与 m 无关，这就是所谓的 无记忆性.

(6) 超几何分布 设有产品 件，其中正品 件，次品 件（ ） ，从中随机地不放回抽取 件， ，记X为抽到的 的正品件数，求X 的分布律. 设有产品 件，其中正品 件，次品 件（ ） ，从中随机地不放回抽取 件， ，记X为抽到的 的正品件数，求X 的分布律. 此时抽到 件正品的概率为 k=0，1，… ， 称X 服从超几何分布.记 可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布，因此在实际应用中，当 都很大时，超几何分布可用下面式子近似

(7) 负二项分布（Pascal分布) (自学) (8) 截塔（Zipf）分布 (自学)

课堂练习 1. 将一枚均匀骰子抛掷3次，令X 表示3次中 出现“4”点的次数 求X的概率函数 提示：

２. 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为 q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数. 求X的概率分布.

解:X 表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数， 生男孩的概率为p. 男 女 X=0 X =1 X =2 X =3 X =4 X可取值0,1,2,3,4. X的概率函数是：

求 。 例3设 由于 是分段表 达的，求 时 注意分段求. 解 由定义

即