第二章 一維運動

Ch02 一維運動

2.1 平均速度

運動學 在不考慮造成運動的原因下來描述物體的運動現象 目前只考慮一維空間的運動 我們將採用質點模型來探討 沿一直線的運動 質點是一個點狀的物體，具有質量但體積非常地小 Ch02 一維運動

位置 需要借助參考座標來加以標定 一維空間通常是指 x 軸或 y 軸 質點的位置是指它在參考座標中的所在地 Ch02 一維運動

位置─時間圖 位置─時間圖可以用來描述質點(車子)的運動 在二個數據之間的平滑曲線是推測得來的 Ch02 一維運動

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位移 位移是指在某段時間內質點位置的改變 我們用 x 來表示 在SI 單位系統中x 的單位為「公尺」，它可以是正的也可以是負的 位移和距離不同，後者指質點移動的總長度 Ch02 一維運動

向量與純量 被稱為向量者，同時需要有大小(尺寸或數值)和方向才能完整的表達 純量則只需用數值大小即可表達 在向量之前加上正、負號用來指示向量的方向 純量則只需用數值大小即可表達 Ch02 一維運動

平均速度 平均速度是位移隨時間的變化率 其周次是由長度 / 時間決定，可表示為 [L/T] 在 SI 單位系統中，它的單位是公尺/秒 它恰好是位置─時間關係圖上二點間連成直線的斜率 Ch02 一維運動

簡答題 2.1 一維運動中粒子的平均速度小於某段時間內的平均速率。下列條件中何者正確？(a) 粒子一直朝 +x 方向移動；(b) 粒子一直朝 –x 方向移動；(c) 粒子先朝 +x 方向移動，然後速度向反方向；(d) 以上條件均不正確。 Ch02 一維運動

簡答題 2.1 (c)。假如粒子沿著一條線沒有改變移動方向，在 任何時間間隔之位移和距離將是相同的。結果， 平均速率的大小和平均速度將是相同的。如果粒 子朝著相反方向，位移將比距離更小。依此道理， 平均速度的大小將比平均速率小。 Ch02 一維運動

平均速度 它無法提供運動行為的詳細訊息 但是可以提供運動的整體效果 它可能是正值也可能是負值 它可以自圖形中取截線得到 正或是負由位移的正負決定 它可以自圖形中取截線得到 在位置─時間圖中一段截線的斜率就是該間段內的平均速度 Ch02 一維運動

由速度─時間關係圖來得到位移 質點在時間由 ti 到 tf 之間的位移等於速度─時間關係圖在 ti 到 tf 間曲線與時間軸所圍住的面積 Ch02 一維運動

例題2.1 質點沿 軸移動，在 ti = 1 s時，xi = 12 m；在 tf = 3 s時， xf = 4 m，求在此區間內的位移和平均速度。 解答 Ch02 一維運動

例題2.2 一慢跑者沿直線以平均速度 5.00 m/s 跑了4.00 min，然後以平均速度 4.00 m/s 跑了3.00 min。 A.最後的位移多少？ 解答 Ch02 一維運動

例題2.2(續) B.在此7.00 min區間中平均速度為多少？ 解答 Ch02 一維運動

2.2 瞬時速度

瞬時速度 當平均速度的分母─時間間隔變的非常小，或是該時間間隔趨近於零時，所得到的極限值 瞬時速度所顯示的是質點在每一時刻的速度 Ch02 一維運動

瞬時速度－圖示法 瞬時速度是 x - t 圖在某一時刻曲線的切線斜率 它在下圖中是綠色那條切線 Ch02 一維運動

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瞬時速度－數學表示法 瞬時速度的數學表示法，一般寫成 在這本書上，當用到「速度」這一名稱時，所指的含意其實就是瞬時速度 Ch02 一維運動

瞬時速度－正負號的意義 圖中 A 點處，沿 x 方向的速度 vx 是正的 在 B 點， vx 為零 該處切線斜率為正 在 B 點， vx 為零 斜率正好為零 在圖中 C 點， vx 是負的(意指朝-x方向運動) 該處斜率是負的 Ch02 一維運動

瞬時速率 瞬時速率是指瞬時速度的大小(不計方向) 速率永遠不可能出現負值 Ch02 一維運動

簡答題 2.2 高速公路巡邏警察對駕駛者 (a) 開車的平均速率或 (b) 瞬時速率較有興趣？ 剎那的瞬間速度被測量出是比速限高，你可能收 到一張駕車超速罰單。 Ch02 一維運動

例題2.3 質點沿 x 軸移動，位置的變化依 而改變， x 單位為公尺 (m)， t 單位為秒 (s)，求其速度以 t 表示。 解答 Ch02 一維運動

例題2.3(續) Ch02 一維運動

例題2.4 質點沿 x 軸移動，它的 x 座標隨時間而變， ， x 的單位為公尺 (m)， t 的單位為秒 (s)，其位置－時間的關係如圖2.5所示。 A.求 t = 0 到 t = 1 s，和 t = 1 s到 t = 3 s的時間內，質點的位移。 Ch02 一維運動

例題2.4(續) 解答 Ch02 一維運動

例題2.4(續) B.計算 t = 0 到 t = 1 s，和 t = 1 s到 t = 3 s 各時段的平均速度。 解答 Ch02 一維運動

例題2.4(續) C.求質點在 2.5 s (©) 的瞬間速度。 解答 Ch02 一維運動

2.3 解析模式 ─等速度運動的質點

等速度 若質點運動的速度為常數時稱為等速度運動 上述二個關係式可適用於等速度運動下的質點或可以將其質點模型化的物體身上 此時質點在任意時刻的瞬時速度和它在某一段時間內的平均速度是一樣的 此外， 上述二個關係式可適用於等速度運動下的質點或可以將其質點模型化的物體身上 Ch02 一維運動

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例題2.5 一位科學家正在研究人體的生物力學。他想求出一受測者於等速率跑步時的速度。這位科學家開始計時，20 m時停止計時，馬錶是4.4 s。 A.跑步者的速度若干？ 解答 Ch02 一維運動

例題2.5(續) B.10 s後跑步者的位置為何？ 解答 Ch02 一維運動

2.4 加速度

平均加速度 加速度是某一段時間內速度改變的變化率 它的維度是 L/T2 在SI 單位系統中它的單位是公尺/秒2 這是一個用來衡量速度變化快慢的物理量 它的維度是 L/T2 在SI 單位系統中它的單位是公尺/秒2 Ch02 一維運動

瞬時加速度 瞬時加速度是當平均加速度的分母 t 趨近於零時的極限值 Ch02 一維運動

瞬時加速度─圖示法 速度─時間曲線圖曲線上任一點處的切線斜率代表該時刻的瞬時加速度 若得到正的切線斜率，表示加速度為正，此時的速度朝 x 方向增加 若切線斜率是負的時候，代表加速度為負，此時速度是朝 -x 方向減少 Ch02 一維運動

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簡答題 2.3 在互動圖2.8中，將上面的 vx-t 圖與下面的 ax-t 圖相配對。 圖 (a) 有一等值的斜率，表示加速度是常數，正如 圖 (e) 所示。圖 (b) 表示速率增加，變率不一，因 此加速度在增加，正如圖 (d) 所示。圖 (c) 描述的 速度最初等變率增加即是等加速度，然後速率不再 增加，保持等速表示加速度為0，正如圖 (f) 所示。 Ch02 一維運動

負的加速度 負的加速度並不意謂著物體必然慢下來 減速度通常是指物體的速率逐漸慢下來的行為，在本書中並不採用此種描述 如果速度是負的，而加速度也是負的，此時物體的速率是在往上增加 減速度通常是指物體的速率逐漸慢下來的行為，在本書中並不採用此種描述 Ch02 一維運動

簡答題 2.4 如果一輛汽車向東行駛且處於減速中，試問什麼方向的力作用於汽車上造成車子減速？ (b)。假如汽車的速度正在減慢，這施力方向必與汽 車的速度方向相反。 Ch02 一維運動

例題2.6 沿 x 軸移動的質點其速度 ，t 的單位為秒。 A.求 t = 0到 t = 2.0 s的平均加速度。 解答 Ch02 一維運動

例題2.6(續) Ch02 一維運動

例題2.6(續) B.求在 t = 2.0 s的加速度。 解答 Ch02 一維運動

2.5 運動圖形

加速度(a)與速度(v) 若物體的速度和加速度均在同一方向，則此物體的速率朝原方向持續增加 當物體的速度與加速度方向相反，此時物體會慢下來 Ch02 一維運動

加速度與速度 上圖車子以正(朝右)的固定速度運動，圖中是以相同大小和方向的紅色箭頭來表示固定速度 此時加速度為零 Ch02 一維運動

加速度與速度 圖中速度與加速度方向相同 加速度是均勻的(等加速度)，圖中以等長的紫色箭頭表示 車子速度持續在增加 (圖中的紅色箭頭越來越長) 此圖顯示正的加速度以及正的速度關係 Ch02 一維運動

加速度與速度 上圖加速度和速度方向相反 加速度是一致的(等加速度)，圖中紫色箭頭維持相同長度 速度則遞減(紅色箭頭越來越短) 此圖顯示出正的速度但是有一負的加速度 Ch02 一維運動

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簡答題 2.5 下列何者為真？(a) 如果汽車向東行進，它的加速度是向東的；(b) 如果汽車正在減速，它的加速度必定是負的；(c) 一個定速運動的粒子絕不會停止或維持停止狀態。 Ch02 一維運動

簡答題 2.5 (c)。如果一粒子在等加速度作用下停止且這個加 速度仍維持固定，這粒子必定會開始向相反方向 移動。如果事情不是這樣發生，這個加速度值將 會從原來的定值變為零。選項 (a) 並不正確，因 為加速度的方向和速度的方向無關。選項 (b) 亦 不正確。舉例說明，某一汽車朝負 x 方向減速時 ，其加速度為正值。 Ch02 一維運動

2.6 等加速度運動的質點

運動學的相關方程式－摘要 Ch02 一維運動

運動方程式 上頁所提到的這些方程式可用來處理等加速度直線運動的任何問題 我們需要運用其中二個方程式來解一個題目 當吾人能夠將物體的運動狀況在等加速度作用下加以質點化，則上述方程式就非常有用 Ch02 一維運動

運動方程式－特殊情形 對於加速度 a 為常數， 若已知物體的初速度與加速度，吾人就可計算在任意時刻的速度 (ax 為常數) 此式無法提供位移方面的任何訊息 (ax 為常數) Ch02 一維運動

運動方程式－特殊情形 對於等加速度運動， 平均速度可利用最初與最後二速度的算數平均數表示 (ax 為常數) 上述關係僅對加速度為常數的情況適用 (ax 為常數) Ch02 一維運動

運動方程式－特殊情形 對於等加速度運動， 此式提供質點位置利用時間與速度的表示方法 (ax 為常數) 它並沒有顯示出加速度來 Ch02 一維運動

運動方程式－特殊情形 對於等加速度運動， 透過速度與加速度可以得到物體最後的位置 (ax 為常數) 式中並未透露最後速度是多少 Ch02 一維運動

運動方程式－特殊情形 對於加速度為常數 a 的運動， 最後的速度可以經由加速度與位移計算得到 (ax 為常數) 式中沒有提供有關時間的任何訊息 (ax 為常數) Ch02 一維運動

從圖形來觀察運動行為─位移-時間曲線 曲線上切線的斜率代表在該時刻的速度 彎曲的曲線透露出速度持續在改變 因此它有加速度 Ch02 一維運動

從圖形來觀察運動行為─速度-時間曲線 曲線的斜率表示加速度 如果是一條直線，表示此運動為一等加速度運動 Ch02 一維運動

從圖形來觀察運動行為─加速度-時間曲線 圖中斜率為零，表示是一種等加速度運動 Ch02 一維運動

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解題步驟─等加速度運動 概念 分類 腦中先建立一個抽象的概念 先確認此為一質點或是可以質點化的物體 再確認是否以等加速度運動 Ch02 一維運動

解題步驟─等加速度運動 分析 建立數學式的表示方法 先選擇出某一時刻把它叫做最初時間，另外再定出一個時刻為最後時間 此二個時刻一般都可從題目所敘述的訊息中找到，並不一定要是物體運動時的真正開始時間和終了時間 挑選出適用的一些運動方程式 Ch02 一維運動

解題步驟─等加速度運動 總結 核對由抽象式以及圖形式所描述的結果是否一致 核對結果是否合理且有意義 Ch02 一維運動

例題2.7 電視機的陰極射線管射出的電子進入直線等加速區，在 2.00 cm 距離內速率從 3.00 × 104 m/s 增加到 5.00 × 106 m/s，求電子加速的時間。 解答 Ch02 一維運動

例題2.7(續) Ch02 一維運動

例題2.8 車子以45.0 m/s做等速度運動，經過躲在廣告板後面的警察，1秒鐘之後，警察從廣告板出發以等加速3.00 m/s2 追趕，多久可以追上超速的車子。 解答 Ch02 一維運動

例題2.8(續) Ch02 一維運動

例題2.8(續) Ch02 一維運動

2.7 自由落體

自由落體 自由落體是指所有在重力影響下自由運動的物體 它與物體最初的運動情形無關 可以為由靜止釋放 鉛直向下丟 垂直上拋 Ch02 一維運動

自由落體的加速度(g) 自由落體的加速度不管它最初的運動情形為何，永遠指向地面 自由落體的加速度大小 g = 9.8公尺/秒2 9.8公尺/秒2 的重力加速度值是地球表面的平均值 Ch02 一維運動

自由落體的加速度 一般都將空氣阻力忽略不計 自由落體運動是一種在一度空間的等加速度運動 取向上的方向為正 在運動方程式中令 ay = g = －9.8公尺/秒2 加速度前加了負號表示此加速度的方向朝下 Ch02 一維運動

自由落體的加速度 Ch02 一維運動

簡答題 2.6 一球向上投擲，當該球為自由落體時，它的加速度是 (a) 增加；(b) 減少；(c) 先增加然後減少；(d) 先減少然後增加；(e) 保持固定。 (e)。在整個時段內，球處於自由落下情形，其加速 度是由重力造成的。 Ch02 一維運動

自由落體的加速度 Ch02 一維運動

例題2.9 愛美麗挑戰大衛去抓住鈔票，她垂直地握住紙鈔讓紙鈔的中央在大衛的食指與姆指之間，當愛美麗放掉紙鈔時，大多數的人，最快的反應時間是0.2秒，你賭誰會贏？ Ch02 一維運動

例題2.9(續) Ch02 一維運動

自由落體實例 在A點初速度朝上(+) ，但是加速度 g (-9.8 公尺/秒2)則向下 在B點速度為零，此時加速度仍是 g (-9.8 公尺/秒2) 在C點，此時速度大小與A點時相同，但是二者方向相反 該物體的位移為-50.0公尺 (它停留在出發點下方50.0公尺處) Ch02 一維運動

例題2.10 一石頭從建物的頂端 A 點，以初速20.0 m/s垂直上拋。建物高50.0 m，石頭落下時，經過屋頂邊緣，如圖2.16所示。 解答 Ch02 一維運動

例題2.10(續) B.求石頭高出屋頂的最大高度。 解答 Ch02 一維運動

例題2.10(續) C.求石頭何時落回投擲者的位置。 解答 D.求在那一瞬間石頭的速度。 Ch02 一維運動

例題2.10(續) E.求 t = 5.00 s時石頭的速度和位置。 解答 Ch02 一維運動

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例題2.10(續) F.求 t = 6.00 s時石頭的位置，最後此題是否不成立？ 解答 Ch02 一維運動

2.8 延伸議題：升空加速度

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