第三章 离散系统的时域分析 电子与信息工程学院 电子与信息工程学院

3.1 LTI离散系统的响应 离散系统的时域分析 3.2 单位序列响应和阶跃响应 3.3 卷积和 3.4 反卷积 电子与信息工程学院

3.1 LTI离散系统的响应 离散系统的时域分析 3.2 单位序列响应和阶跃响应 3.3 卷积和 3.4 反卷积 电子与信息工程学院

注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、区别、对比，与连续系统有并行的相似性。 　注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、区别、对比，与连续系统有并行的相似性。 差分与差分方程 差分方程的经典解 零输入响应和零状态响应 电子与信息工程学院

一、差分与差分方程 设有序列f(k)，则 …，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等 称为f(k)的移位序列。 仿照微分运算，定义离散信号的差分运算。 1. 差分运算 离散信号的变化率有两种表示形式： 电子与信息工程学院

定义差分 （1）一阶前向差分定义：f(k) = f(k+1) –f(k) 式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。 （3）差分的线性性质： [af1(k) + bf2(k)] = a f1(k) + b f2(k) （4）二阶差分定义： 2f(k) = [f(k)] = [f(k) – f(k-1)] = f(k) – f(k-1) = f(k)–f(k-1) –[f(k-1) –f(k-2)]= f(k) –2 f(k-1) +f(k-2) （5） m阶差分: mf(k) = f(k) + b1f(k-1) +…+ bmf(k-m) 电子与信息工程学院

2. 差分方程 包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。 将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) 差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。 例 差分方程的迭代解法 一般不易得到解析形式的(闭合)解。 电子与信息工程学院

y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k) 例：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k), 求y(k)。 解： y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k) k=2 y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2 k=3 y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 k=4 y(4)= – 3y(3) – 2y(2) + f(4) = – 10 …… 电子与信息工程学院

二、差分方程的经典解 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) 与微分方程经典解类似，y(k) = yh(k) + yp(k) 1.齐次解： 齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + … + a0y(k-n) = 0 特征方程 1 + an-1λ– 1 + … + a0λ– n = 0 ， 即 λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 电子与信息工程学院

根据特征根，齐次解的两种情况 例 2.有重根 特征根λ为r重根时 例 电子与信息工程学院

例1：求解二阶差分方程y(k) – 5y(k – 1) + 6y(k – 2) = 0 已知y(0) =2， y(1) =1，求y(k) 。 解：特征方程 特征根 齐次解 定C1， C2 解出 电子与信息工程学院

例2：求差分方程y(k) + 6y(k – 1) + 12y(k – 2) +8y(k – 3) = 0的解。 解：特征方程 三重特征根 齐次解 由初始条件定C1， C2 ， C3 电子与信息工程学院

2.特解yp(k): 例 特解的形式与激励的形式类似 激励f(k) 响应y(k)的特解yp(k) 电子与信息工程学院

例：系统方程 y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。 解： 特征方程为 λ2 + 4λ+ 4=0 可解得特征根λ1=λ2= – 2，其齐次解 yh(k)=(C1k +C2) (– 2)k 特解为 yp(k)=P (2)k , k≥0 代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k –1+4P(2)k–2= f(k) = 2k ， 解得 P=1/4 所以得特解： yp(k)=2k–2 , k≥0 故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) (– 2)k + 2k–2 , k≥0 代入初始条件解得 C1=1 , C2= – 1/4 电子与信息工程学院

三、零输入响应和零状态响应 1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次 2.零状态响应：初始状态为0，即 y(k) = yzi(k) + yzs(k) 1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次 齐次解形式： C由初始状态定（相当于0-的条件） 2.零状态响应：初始状态为0，即 例1 例2 经典法：齐次解+特解 求解方法 卷积法 电子与信息工程学院

例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0，初始状态y(–1)=0, y(–2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解：（1）yzi(k)满足方程 yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0 yzi(–1)= y(–1)= 0, yzi(–2) = y(–2) = 1/2 首先递推求出初始值yzi(0), yzi(1), yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2) yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1 yzi(1)= –3yzi(0) –2yzi(–1)=3 特征根为λ1= –1 ，λ2= – 2 电子与信息工程学院

解为 yzi(k)=Czi1(– 1)k+Czi2(–2)k 将初始值代入 并解得 Czi1=1 , Czi2= – 2 yzi(k)=(– 1)k – 2(– 2)k , k≥0 （2）零状态响应yzs(k) 满足 yzs(k) + 3yzs(k –1) + 2yzs(k –2) = f(k) yzs(–1)= yzs(–2) = 0 递推求初始值 yzs(0), yzs(1)， yzs(k) = – 3yzs(k –1) – 2yzs(k –2) + 2k , k≥0 yzs(0) = – 3yzs(–1) – 2yzs(–2) + 1 = 1 yzs(1) = – 3yzs(0) – 2yzs(–1) + 2 = – 1 电子与信息工程学院

yzs(k) = Czs1(–1)k + Czs2(–2)k + yp(k) 分别求出齐次解和特解，得 yzs(k) = Czs1(–1)k + Czs2(–2)k + yp(k) = Czs1(– 1)k + Czs2(– 2)k + (1/3)2k 代入初始值求得 Czs1= – 1/3 , Czs2=1 yzs(k)= – (– 1)k/3+ (– 2)k + (1/3)2k , k≥0 电子与信息工程学院

解：零输入响应yzi(k)，即当f(k)=0时的解。 例2：系统的方程 求系统的零输入响应。 解：零输入响应yzi(k)，即当f(k)=0时的解。 电子与信息工程学院

求初始状态 题中y(0)=y(1)=0 ，是激励加上以后的，不能说明状态为0，需迭代求出 y(-1)， y(-2) 。 电子与信息工程学院

由初始状态确定C1，C2 解得 电子与信息工程学院

3.1 LTI离散系统的响应 离散系统的时域分析 3.2 单位序列响应和阶跃响应 3.3 卷积和 3.4 反卷积 电子与信息工程学院

一、单位序列响应 单位序列δ(k)所引起的零状态响应，记为h(k) 。 h(k)=T[{0},δ(k)] 例1 例2 电子与信息工程学院

例1 已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) 求单位序列响应h(k)。 h(k) – h(k –1) – 2h(k –2) = δ(k) （1） h(–1) = h(–2) = 0 （1）递推求初始值h(0)和h(1)。 h(k)= h(k –1) + 2h(k –2) +δ(k) h(0)= h(–1) + 2h(–2) + δ(0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(–1) + δ(1) = 1 电子与信息工程学院

(2) 求h(k) 对于k >0， h(k)满足齐次方程 h(k) – h(k – 1) – 2h(k – 2) = 0 特征方程 (λ+1) (λ – 2) = 0 h(k) = C1(– 1)k + C2(2)k ， k>0 h(0) = C1 + C2 =1 , h(1)= – C1+2C2 = 1 解得C1= 1/3 , C2=2/3 h(k) = (1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k , k≥0 或写为 h(k) = [(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k] ε(k) 电子与信息工程学院

例2 系统方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) -f(k-2) 求单位序列响应h(k)。 h(k) – h(k –1) – 2h(k –2)=δ(k) –δ(k –2) 令只有δ(k)作用时，系统的单位序列响应h1(k) , 它满足 h1(k) – h1(k –1) – 2h1(k –2)=δ(k) 根据线性时不变性， h(k) = h1(k) – h1(k – 2) = [(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k]ε(k) – [(1/3)(– 1)k –2 + (2/3)(2)k–2]ε(k – 2) 电子与信息工程学院

3.1 LTI离散系统的响应 离散系统的时域分析 3.2 单位序列响应和阶跃响应 3.3 卷积和 3.4 反卷积 电子与信息工程学院

一、卷积和 1 .序列的时域分解 任意序列f(k) 可表示为 f(k)=…+f(-1)δ(k+1) + f(0)δ(k) + f(1)δ(k-1)+ f(2)δ(k-2) + … + f(i)δ(k –i) + … 电子与信息工程学院

卷积和 2 .任意序列作用下的零状态响应 yzs(k) f (k) 根据h(k)的定义： δ(k) h(k) 由时不变性： δ(k -i) h(k -i) f (i) h(k-i) 由齐次性： f (i)δ(k-i) 由叠加性： ‖ ‖ f (k) yzs(k) 卷积和 电子与信息工程学院

3 .卷积和的定义 已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义和 f(k)= f1(k)*f2(k) 注意：求和是在虚设的变量 i 下进行的， i 为求和变量，k 为参变量。结果仍为k 的函数。 举例 电子与信息工程学院

例：f (k) = a kε(k), h(k) = b kε(k) ，求yzs(k)。 解： yzs(k) = f (k) * h(k) 当i < 0,ε(i) = 0；当i > k时，ε(k - i) = 0 ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k) 电子与信息工程学院

二、卷积的图解法 卷积过程可分解为四步： （1）换元： k换为 i→得 f1(i)， f2(i) （2）反转平移：由f2(i)反转→ f2(–i)右移k → f2(k – i) （3）乘积： f1(i) f2(k – i) （4）求和： i 从 –∞到∞对乘积项求和。 注意：k 为参变量。 举例 电子与信息工程学院

例：f1(k)、 f2(k)如图所示，已知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？ f2(–i ) f2(2–i) 解： （1）换元 （2） f2(i)反转得f2(– i) （3） f2(–i)右移2得f2(2–i) （4） f1(i)乘f2(2–i) （5）求和，得f(2) = 4.5 电子与信息工程学院

三、不进位乘法求卷积 =…+f1(-1)f2(k+1) + f1(0)f2(k) + f1(1)f2(k-1)+ f1(2)f2(k-2) + … + f1(i) f2(k –i) + … f(k)=所有两序列序号之和为k 的那些样本乘积之和。 如k=2时 f(2)= …+f1(-1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) + … 例 f1(k) ={0， f1(1) ， f1(2) ， f1(3)，0} f2(k) ={0， f2(0) ， f2(1)，0} 电子与信息工程学院

不进位乘法 排成乘法 f1(1) ， f1(2) ， f1(3) f2(0) ， f2(1) ×—————————————————— f1(1)f2(1) ，f1(2) f2(1) ，f1(3) f2(1) f1(1) f2(0) ，f1(2) f2(0) ，f1(3) f2(0) + ————————————————————— f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(3) f2(1) f1(1) f2(0) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) f(k)={ 0， f1(1) f2(0)， f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) ， f1(3) f2(1) ，0 } 电子与信息工程学院

四、卷积和的性质 1. 满足乘法的三律：(1) 交换律, (2) 分配律,(3) 结合律. 1. 满足乘法的三律：(1) 交换律, (2) 分配律,(3) 结合律. 2. f(k)*δ(k) = f(k) ， f(k)*δ(k– k0) = f(k – k0) 3. f(k)*ε(k) = 4. f1(k – k1)* f2(k – k2) = f1(k – k1 – k2)* f2(k) 5. [f1(k)* f2(k)] = f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) 举例 电子与信息工程学院

h1(k) = ε(k)， h2(k) = ε(k – 5)，求复合系统的单位序列响应h (k) 。 例1 复合系统中 h1(k) = ε(k)， h2(k) = ε(k – 5)，求复合系统的单位序列响应h (k) 。 解 根据h(k)的定义，有 h(k)= [δ(k)* h1(k) –δ(k)* h2(k) ]* h1(k) = [h1(k) – h2(k) ]* h1(k) = h1(k) * h1(k) –h2(k) * h1(k) = ε(k)* ε(k) – ε(k – 5) *ε(k) = (k+1)ε(k) – (k+1 – 5)ε(k – 5) = (k+1)ε(k) – (k– 4)ε(k – 5) 电子与信息工程学院

不进位乘法适用有限长序列卷积 yzs(k)的元素个数? 若： 例如： 举例 电子与信息工程学院

例 f1(k) ={0， 2 ， 1 ， 5，0} ↑k=1 求f(k) = f1(k)* f2(k) 解 3 ， 4， 0， 6 f(k) = {0，6 ，11，19，32，6，30} ↑k=1 2 ， 1 ， 5 ×———————— 15 ，20， 0， 30 3 ， 4， 0， 6 6 ，8， 0， 12 + ———————————— 6 ，11，19，32，6，30 电子与信息工程学院

3.1 LTI离散系统的响应 离散系统的时域分析 3.2 单位序列响应和阶跃响应 3.3 卷积和 3.4 反卷积 电子与信息工程学院

一、反卷积 在y(k)=f(k)*h(k)中， 若已知y(k)，h(k)，如何求f(k)（信号恢复）； 如血压计传感器。 如地震信号处理、地质勘探、考古、石油勘探等问题。 这两类问题都是求反卷积的问题。 对连续系统不易写出明确的关系式，而对离散系统容易写出： 电子与信息工程学院

写成矩阵形式 目的反求f(k) 同理 电子与信息工程学院

二．举例 电子与信息工程学院

解：（1）求h(k) 电子与信息工程学院

（2） 即 电子与信息工程学院

以上两式相减得 系统框图 电子与信息工程学院

三、应用实例 雷达探测系统 电子与信息工程学院