商用統計學 Chapter 5 機率分配

機率分配 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 我們在上章曾說明，推論統計的準備工作有三：機率論、機率分配 與抽樣分配三項。機率論已在第四章說明，本章將說明機率分配的 相關內容，包括機率分配的意義及其種類。所謂機率分配，是指隨 機變數之各變量發生的機率，按變量大小順序排列者。

機率分配 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 常用的機率分配可歸納爲間斷機率分配與連續機率分配兩類，如下 表所示，本章亦一併加以說明。

例題一 茲舉“擲一個公正銅板二次的實驗”為例，說明隨機變數。 ＊解 令隨機變數X為“出現正面事件之次數”。 (1) 定義域：設以0表示反面，1表示正面，則樣本空間＝｛(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)｝，由四個樣本點所構成 ( 表示此隨機變數有四個隨機變量，即四個事件 )。 (2) 值域：將每個樣本點予以數值描述 ( 量化 )，其變量；0表示出現0次正面，1表示出現1次正面，2表示出現2次正面。 (3) 對稱關係：如下圖所示，即是隨機變數。

例題一

例題二 試就下列隨機實驗，寫出一個隨機變數 ( 讀者自訂 ) 及其變量 ( 可能出現的數值 )。 (1) 擲一個銅板一次。 (1) 擲一個銅板一次。 (2) 擲一個骰子一次。 (3) 一箱子有4個球，2白2紅，設採不放回抽樣，抽出2球。 (4) 某產品下個月銷售的個數。 (5) IBM電腦的壽命。

例題二 ＊解 (1) 令A表示出現正面的次數，其變量 。 (2) 令B表示出現的點數，其變量 。 (3) 令C表示出現的白球個數，其變量 。 (4) 令D表示某產品下個月銷售的個數，其變量 ……。 (5) 令E表示IBM電腦的壽命，其變量 。

例題三 茲舉【例題1】“擲一個公正銅板二次的實驗”為例，說明機率分 配的意義。 ＊解 (1) 定義域：隨機變數，其變量 。 (1) 定義域：隨機變數，其變量 。 (2) 值域：依客觀機率理論指派機率 ( 本例可分為四種互斥且同時出現相等出象次數之樣本點 )，範圍為 ： (A) 變量=0( 無正面出現 )，其機率為1/4 ( 樣本點 (0, 0) 出現一次 )。 (B) 變量=1( 一次正面出現 )，其機率為2/4 ( =1/2 )( 樣本 點 (0, 1)，(1, 0) 出現二次 )。 (C) 變量=2( 二次正面出現 )，其機率為1/4 ( 樣本點 (1, 1)

例題三 (3) 對稱關係：如下圖所示，即是機率分配之關係。

例題三 (4) 列表表示： 變量X 機率f ( x ) 1/4 1 1/2 2 合　計

5-2機率分配 . . .機率分配的種類. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 我們由上述隨機變數之說明可知，隨機變數可分為間斷隨機變數與 連續隨機變數，因此，機率分配亦分為間斷機率分配與連續機率分 配兩類。 所謂間斷機率分配 (Discrete Probability Distribution)，又稱 為不連續機率分配，乃將間斷隨機變數X之所有變量x，與其變量所 對應的機率 之關係，列表陳示稱之，如【例題3之 (4)】所 示。 間斷機率分配之機率，必須同時滿足下列兩個條件： 對於每一個變量x所對應之機率，必須在0與1之間，即 所有變量之機率和為1，即

例題四 擲一個骰子一次，令X表示其出現的點數，試列表、繪圖表示其機 率分配。 ＊解 (1)列表 因為一個骰子有六面，每一個點數出現的機率均等，故機率均 為1/6 ，而其機率總和 。

例題四 變量X 機率f ( x ) 1 1/6 2 3 4 5 6 合　計 (2) 繪圖

例題五 某生產設備轉換時間1, 2, 3小時，視轉換生產的產品而定。令隨 機變數X表示轉換時間，其機率函數如下： (1) 試求未知數A。 (2) 轉換時間為2小時的機率。 (3) 轉換時間超過2小時的機率。 (4) 繪製機率分配圖。

例題五 ＊解 (1) (2) (3) (4) 機率分配圖

5-2機率分配 . . .機率分配的種類. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 所謂連續機率分配 (Continuous Probability Distribution)，乃 設連續隨機變數X，其 為一連續函數且 曲線下之面積為1， 則稱 為連續機率分配。連續機率分配無法列表表示，因此都以 函數型態表示，又稱為機率密度函數 (Probability Density Function;p.d.f.)。機率密度函數必須滿足下列兩條件： 對於每一個變量x其對應的機率 ，必須在0與1之間，即 2. 所有變量之機率和 為1，即

5-3期望值與變異數 . . .期望值. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 所謂期望值 (Expected Value)，又稱期待值，是以機率分配的觀 點，來解釋分配的集中程度。 期望值的計算公式，如下所示： 式中表示間斷隨機變數X的變量，而 則為隨機變數X之變量x所 對應的機率值。 期望值具有下列性質： 1. 設a為常數，則a之期望值 。 2. 設X為一隨機變數，a、b為一常數，則 ；

例題六 擲一個銅板一次，以隨機變數X表示出現的正面數，試求： (1) 機率分配。 期望值。 。

例題六 ＊解 機率分配 ( 以0表示反面，1表示正面 )。 期望值 。 。 變量X 機率f ( x ) 1/2 1 合　計

例題七 小陳買進台泥公司股票，打算在1年後賣出，下表是台泥公司在下 年度股票報酬率的機率分配。試問小陳在下年度可能賺到多少報酬 率？ ＊解 小陳在下年度可能賺到的預期報酬率為21%。 經濟景氣狀況 發生機率 股票報酬率 繁　　榮 0.3 40% 持　　平 0.6 20% 衰　　退 0.1 -30%

5-3期望值與變異數 . . .變異數. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 所謂變異數 (Variance)，是以機率分配的觀點，來解釋分配的分 散程度，一般以標準差 ( 變異數開方根 ) 表示。 設間斷隨機變數為X，其機率分配為 ，則變異數與標準差之計 算公式為： 變異數 標準差

5-3期望值與變異數 . . .變異數. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 變異數具有下列性質： 1. 設a為常數，則a之變異數 。 2. 設b為常數，則 ； 。

例題八 設某一機率分配，如表所示 試求： (1) 期望值 。 (2) 變異數 。 (3) 標準差 。 (4) 。 (5) 。 (6) 。 (1) 期望值 。 (2) 變異數 。 (3) 標準差 。 (4) 。 (5) 。 (6) 。 (7) 。 變　量 機　率 0.25 1 0.5 2 合　計

例題八 ＊解 (1)期望值 。 (2) 變異數

例題八 ＊另解

例題八 (3) 標準差 。 (4) 。 (5) 。 (6) 。 (7) 。

例題九 下表是林經理預估友達公司與友訊公司股票，在下年度股票報酬率 的機率分配如下： 試計算： (1) 以期望值觀點，評估那家公司股票較值得投資？ (2) 試求友達股票與友訊股票的變異數與標準差，並比較兩者的風險程度。 經濟狀況 發生機率 友達股票 友訊股票 A狀況 0.4 25% 10% B狀況 0.3 30% 15% C狀況 35% 8%

例題九 ＊解 (1) 期望值 (A) 友達股票 (B) 友訊股票 ∵ 友達股票期望值29.5%友訊股票期望值10.9%， (1) 期望值 (A) 友達股票 (B) 友訊股票 ∵ 友達股票期望值29.5%友訊股票期望值10.9%， ∴ 友達股票預期報酬率相對較高，較值得投資。

例題九 ＊解 (2) 變異數與標準差 (A) 友達股票 (B) 友訊股票 ∵ 友達股票標準差4.15%友訊股票標準差2.81%， (2) 變異數與標準差 (A) 友達股票 (B) 友訊股票 ∵　友達股票標準差4.15%友訊股票標準差2.81%， ∴　友達股票風險相對較大。

5-4間斷機率分配 . . .點二項分配 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 計算函數 設一間斷隨機變數X，令表示成功事件，表示失敗事件，成功事件 發生的機率為P，失敗事件發生的機率為 ，下列形態之機 率函數，即為點二項分配。 為母數 3. 期望值與變異數 (1) (2)

例題十 擲一個公正銅板一次，令X為出現正面的次數，試求： (1) X之機率分配。 (2) 。 ＊解 (2) 。 ＊解 (1) ∵　此實驗分為互斥兩類 ( 正面與反面 ) 事件，並且只試行一次，故為點二項實驗，其分配為點二項分配。 (2) 。 變　量 機　率 0.5 1 合　計

例題十 (3) (A) (B)

例題十

例題十一 設有一批產品，其不良率為0.5%，現隨機抽取一件產品，令X為不 良品的件數，試求X之機率分配及 。 ＊解 (1) ∵　此實驗分為互斥兩類 ( 不良品與良品 ) 事件，並且只抽取一件，故為點二項實驗，其分配為點二項分配。 (2) 。 (3) (A) 。 (B) 。

5-4間斷機率分配 . . .二項分配. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 計算函數 設一間斷隨機變數X，其實驗共試行n次，其中有成功事件x次，失 敗事件 次，成功事件發生的機率為P，失敗事件發生的機率 為 ，下列形態之機率函數，即為二項分配。 表示組合符號，表示在n次試行中成功次數有x次，n與P為母數。 3. 期望值與變異數 (1) 。 (2) 。

例題十二 呈【例題10】若擲一個公正銅板三次，令X為出現正面的次數，試 求： (1) X之機率分配。 (2) 。 ＊解 (2) 。 ＊解 ∵　此實驗分為互斥兩類 ( 正面與反面 ) 事件，並且獨立試行3次 ( 二次及二次以上 )，故為二項實驗，其分配為二項分配。 (2)

例題十二 上述除了徒手計算之外，可查詢二項分配機率表。 (3) (A) (B) x 1 2 3 f (x) 0.1250 0.3750

例題十二

例題十三 根據一項調查顯示，台灣啤酒飲用者有5% 是女性，今隨機抽取10 人，試求： (1) 請問本題之實驗，是否為二項實驗？試說明之。 (1) 請問本題之實驗，是否為二項實驗？試說明之。 (2) 抽出3位女性飲用者之機率。 (3) 抽出0位女性飲用者之機率。 (4) 抽出至少兩位2位女性飲用者之機率。

例題十三 ∵ 此實驗分為互斥兩類 ( 女性與男性 ) 事件，並且獨立試行10次 ( 二次及二次以上 )，故為二項實驗，其分配為二項分配。 ∵　此實驗分為互斥兩類 ( 女性與男性 ) 事件，並且獨立試行10次 ( 二次及二次以上 )，故為二項實驗，其分配為二項分配。 (2) =0.010( 可查表 )

例題十三 (3) (4)

例題十四 根據一項銷售調查顯示：有10個消費者，其中6位偏好開喜烏龍 茶、4位偏好古道烏龍茶。茲以不放回方式，從此10個消費者中隨 機抽取3人為一組樣本，令X表示偏好開喜烏龍荼之人數，試求： (1) 該實驗之機率分配。 (2) 以圖表示母體與樣本間的關係。 (3) 。 (4) 恰有2人偏好開喜烏龍茶的機率。 (5) 無人偏好開喜烏龍茶的機率。 (6) 至少1人以上偏好開喜烏龍茶的機率。

例題十四 ＊解 該實驗之機率分配，為超幾何分配。 。

例題十四 (3)(A) (B) (4) (5) (6)

例題十四

5-4間斷機率分配 . . .卜瓦松分配. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 計算分配 設間斷隨機變數X，具有下列之機率函數，稱之為卜瓦松分配。 ，為分配的母數 表示單位時間或區域 表示某一固定比例 為自然對數底

5-4間斷機率分配 . . .卜瓦松分配. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 期望值與變異數 (1) (2) 由上之公式可知，卜瓦松分配之期望值與變異數相等。 4. 機率表的使用 由於卜瓦松分配的計算，牽涉到自然對數底 ，計算不 易，我們可查附表得到卜瓦松機率值。

例題十五 設一卜瓦松分配，其隨機變數為X， ，試求 ( 可查表 )： X之機率函數。

5-4間斷機率分配 . . .超幾何分配. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 計算函數 設一間斷隨機變數X，其母體由有限個體N所構成，分為成功類K 個，失敗類 個。茲由該母體中以不放回方式，抽取n個個體 為樣本，成功次數為x次，失敗次數為 次。成功事件發生的機 率為P，失敗事件發生的機率為 ，下列形態之機率函數，即 為超幾何分配。 其中， 為整數且為母數。 如下圖所示：

5-4間斷機率分配 . . .超幾何分配. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 期望值與變異數 。 (2) ，其中 稱為有限母體校正因子。

例題十五 ＊解 (1) (2) (3) (4) (5)

例題十五

例題十六 華南公司上班時間電話打進來頻率每2分鐘1通電話，試求： (1) 半小時平均打進來的通數。 (2) 10分鐘打進6通的機率。 (1) 半小時平均打進來的通數。 (2) 10分鐘打進6通的機率。 (3) 10分鐘內沒有任何電話打進來的機率。

例題十六 ＊解 (1)(A) 2分鐘： (B) 30分鐘： (通) (2) 10分鐘： (通) (查表) (3)

例題十七 中紡公司之紡織機織出之布匹平均4碼有1個缺點，現有20碼布，試 求： (1) 本題敘述適用何種分配形態？ (1) 本題敘述適用何種分配形態？ (2) 其中含有3個缺點的機率。 (3) 含有2個及2個以上缺點的機率。 (4) 。

例題十七 ＊解 (1) 此實驗為卜瓦松實驗，因為是屬發生於某一區域 ( 布匹 ) 的問題，並且n無法固定，所以該分配是屬卜瓦松分配。 (2)(A)4碼： (B)20碼： (C) (3) (4)

5-5連續機率分配 . . .均勻分配. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.函數：設一連續隨機變數X，具有下列之機率函數，稱為均勻分 配 (Uniform Distribution)，又稱為矩形分配 (Rectangular Distribution)。 2.期望值與變異數 (1) (2)

例題十八 已知連續隨機變數X，在40到50之間具有均勻分配。 (1) X之機率函數並作圖。 (2) 。 (3) 。 (4) 。 (2) 。 (3) 。 (4) 。 (5) 與 。

例題十八 ＊解 (1) 或 =0，其他範圍 (2) (3)

例題十八 (4) (5)(A) (B)

例題十九 某亂數產生器可創造0到1的亂數，設隨機變數為X，試求 (1) 亂數產生器之機率分配。 (2) 在小於0.40之間產生亂數之機率。 (1) 亂數產生器之機率分配。 (2) 在小於0.40之間產生亂數之機率。 (3) 0.35到0.85之間產生亂數之機率。 (4) 在大於0.70之間產生亂數之機率。 (5) 在大於等於0.70之間產生亂數之機率。

例題十九 ＊解 (1) ( 均勻分配 ) 或=0，其他範圍 (2) (3) (4) (5) (1) ( 均勻分配 ) 或=0，其他範圍 (2) (3) (4) (5) 註：連續機率配 之點機率為0，所以 與 答案一樣。

5-5連續機率分配 . . .常態分配. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 常態分配是連續機率分配中最重要的分配，許多自然或社會現象大 都可用常態分配加以描述，如身高、體重、每人國民所得、產品壽 命等分布情況。因此，我們可利用常態分配的性質，解決很多分配 上的機率問題。 1.函數：設連續隨機變數X，具有下列之機率函數，則稱為常態分 配 (Normal Distribution)。 ，其中： 為平均數， 為變異數， 與 為母 數，e為自然對數底，常態分配一 般以 表示之。

5-5連續機率分配 . . .常態分配. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 期望值與變異數 (1) 。 (2) 。 (3) 偏態係數=0 ( 為不偏的對稱分配 )。 峰態係數=3 ( 稱為常態峰 )。 3. 性　質 (1) 常態曲線下與橫坐標所圍之面積等於1，機率總和等於1。 (2) 常態曲線以鐘形呈現，正中央為其高峰，並對稱於其平均數，所以是對稱分配，兩邊機率各50%。 (3) 常態分配為一單峰對稱分配，其算術平均數、中位數與眾數合而為一。

5-5連續機率分配 . . .常態分配. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 常態曲線以橫軸為漸近線，曲線向平均數左右兩側延伸，但不 相切。 5. 設一統計資料符合常態分配，其平均數，標準差，則隨機變數 X。 (1) 介於之間者，佔總數的68.27%。 (2) 介於之間者，佔總數的95.45%。 (3) 介於之間者，佔總數的99.73%。

5-5連續機率分配 . . .常態分配. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

例題二十 金頂電池的壽命服從常態分配，經測試其平均壽命為15小時，標準 差1.5小時，試求： (1) 大約有68.27% 的電池，其平均壽命約若干小時？ (2) 大約有95.45% 的電池，其平均壽命約若干小時？ (3) 大約有99.73% 的電池，其平均壽命約若干小時？ ＊解 (1) 大約有68.27% 的電池，其平均壽命約 13.5～16.5小時。 (2) 大約有95.45% 的電池，其平均壽命約 12～18小時。 (3) 大約有99.73% 的電池，其平均壽命約 10.5～19.5小時。

5-5連續機率分配 . . .常態分配. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. 常態分配的加法定理： (1) 設 ，若線性函數 ，則 (2) 設 ，若 ，X與Y相互獨立，則 。

例題二十一 (1) 設甲產品每件成本Y為其每件售價X的函數 ( 設需求量X為常態分配， )，其函數為 ，試求每件成本Y之分配形態與表徵數。 (2) 設乙產品每件利潤為 ，其中A為售價， ，B為成本， ，而A與B均為常態分配且成獨立關係，試求每件乙產品利潤W之分配形態與表徵數。

例題二十一 ＊解 (A) ∵ 每件成本Y為售價X的線性函數，而售價X為常態 分配，∴ 需求量Y為常態分配。 (B) 需求量Y之表徵數： (A) ∵　A與B均為常態分配且成獨立關係，而利潤W為A與B之 函數，∴　利潤W為常態分配。 (B) 乙產品利潤W之表徵數：  

5-5連續機率分配 . . .標準常態分配. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 函數：設連續隨機變數 ，今令 ，則標 準常態分配 (Standard Normal Distribution) 為 其中： e為自然對數底， ， 標準常態分配以 表示之。 2. 期望值與變異數 (1) (2)

5-5連續機率分配 . . .標準常態分配. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 性　質 (1) 標準常態曲線下與橫坐標所圍之面積等於1，機率總和等於1。 (2) 標準常態曲線以鐘形呈現，正中央為其高峰，並對稱於0，所 以是對稱分配，兩邊機率各50%。 (3) 標準常態分配其曲線下的機率為 Z介於 之間者，佔總數的68.27%。 Z介於 之間者，佔總數的95.45%。 Z介於 之間者，佔總數的99.73%。

5-5連續機率分配 . . .標準常態分配. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 機率表的使用 就標準常態分配言，因不含任何母數在內，因此只有唯一的一 個 。標準常態分配之機率值，可利用標準常態分配機率 表加以計算。其編製方式為 標準常態曲線下z值以左 之面積，其中 稱為Z值。

例題二十二 設Z為標準常態隨機變數，試利用標準常態機率分配表求算下列數 值： (1) (2) (3) (4) (5) (6)

例題二十二 ＊解 (1)

例題二十二 (2)

例題二十二 (3)

例題二十二 (4)

例題二十二 (5) (6)

例題二十三 試求下列之z值。 (1) (2) ＊解 (1) ，查表得

例題二十四 設X為常態隨機變數，其分配之平均數，標準差，試求下列機率： (1) (2) (3) ＊解 利用 ，可查標準常態機率分配表：

例題二十四 (3)

例題二十五 台積電公司員工共500人，其員工年齡呈常態分配，平均年齡45 歲，標準差5歲，試求下列機率： (1) 年齡在38歲以下之人數。 (1) 年齡在38歲以下之人數。 (2) 年齡在58歲以上之人數。 (3) 年齡在40～50歲之人數。 年齡的中位數與眾數。 ＊解 (1) (人)

例題二十五 (2) (人) (3) (4) ∵　常態分配 ，∴　中位數=眾數=平均年齡45歲。

5-6二項分配與常態分配的關係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 當二項分配n趨近於無窮大，P或q不微小的情況下，二項分配可利 用常態分配來計算其近似值。通常當 且 時， 即可適用。 惟二項分配是間斷機率分配，而常態分配是連續機率分配，因此以 常態分配方式來代替二項分配求算機率時，需做些調整： 對變量須加減0.5 ( 稱為連續校正因子 )，再予以計算。 (1) (2) (3) 2.

例題二十七 設有一二項分配，其 ，試求： (1) 平均數與標準差。 (2) 可利用常態分配來計算其近似值嗎？說明之。 設有一二項分配，其 ，試求： (1) 平均數與標準差。 (2) 可利用常態分配來計算其近似值嗎？說明之。 (3) 小於180次之機率。 (4) 大於210次之機率。 (5) 190次到220次之機率。 (6) 等於195次之機率。

例題二十七 ＊解 (1) (2)可以。 、 且 (3) (4) (5)

例題二十七 ＊解 (6)