第三讲 中国古代数学

概 述 石器时代（4000BC） —仰韶文化·西安半坡遗址 陶器上的刻划符号—文字的起源

人面陶盆中的几何图案

几何图案 —对称

三角形数？

夏商周：青铜时代 —1600BC 数字符号的形成 甲骨文 金文

甲骨文中的数字符号

伏羲执矩，女娲执规：数学崇拜？ 东汉画像石（山东武梁祠）

“算术”乃社稷民生之大用！ 昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也。请问古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度。请问数安从出？ 商高曰：数之法出于圆方。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。 周公曰：大哉言数。 …… ---《周髀算经》

春秋战国：400BC “九九口诀”—齐恒公招贤纳士 《墨经》：圜，一中同长也； 平，同高也; 《庄子》：“一尺之棰” 《考工记》：分数算法

秦汉：221BC-220AD 初等数学体系的形成 《算数书》 《周髀算经》 《九章算术》

魏晋南北朝：220-588AD 初等数学理论的发展 刘徽：《九章算术注》（264AD） 祖冲之：3.1415926<π<3.1415927

刘 徽（造像）

祖冲之（造像）

隋唐:589-960AD 国家数学教育 国子监:明算科 李淳风:编纂“十部算经” 周髀算经、九章算术、海岛算经 缀术(唐朝佚） 数术记遗（南宋补） 孙子算经、张丘建算经、夏侯阳算经 五曹算经、五经算术 缉古算经

宋元：960-1368AD 中国古代数学的辉煌时代 秦九韶：《数书九章》1247 杨辉： 《杨辉算法》1275 李冶： 《测圆海镜》1248 杨辉： 《杨辉算法》1275 李冶： 《测圆海镜》1248 朱世杰：《四元玉鉴》1303

明代：1368-1644AD 吴敬：《九章算法比类大全》1450 商业数学—珠算 程大位：《算法统宗》1592

西方数学的第一次传入 1607 徐光启、利玛窦合译 《几何原本》 1609 李之藻、利玛窦合译 《同文算指》

徐光启与利玛窦

清代：1665-1910AD 中国古典数学渐次衰微 乾嘉时期 《数理精蕴》100卷 梅文鼎 年希尧、明安图、汪莱、李锐、戴煦

西方数学的再次传入 《几何原本》1857,李善兰，伟烈亚利 又译《代数术》《代微积拾级》 《代数术》 又译《代数术》《代微积拾级》 《代数术》 《微积溯源》《三角数理》 1874,华蘅芳，傅兰雅 《决疑数学》1876,华蘅芳，傅兰雅 《形学备旨》1884,刘永锡、狄考文 《代数备旨》1891，邹立文、狄考文 《八线备旨》1893,谢洪赉、潘慎文

近代数学在中国的兴起 1912 北京大学数学系-中国第一个大学数学系：冯祖荀（日本京都帝国大学） 1920 清华大学“算学系”：郑之蕃（美国康奈尔大学） 1920 南开大学数学系：姜立夫（哈佛大学） …… 1928 上海交通大学数学系 1935 中国数学会—上海交大图书馆成立大会

一 算筹与筹算 數 数 1 数字的起源 从“数”谈起 《易·系辞传》：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契” 一 算筹与筹算 1 数字的起源 从“数”谈起 數 数 《易·系辞传》：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契” 郑玄（东汉）：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之多少，随物众寡。

(左)基普（quipu） 南美印加（Inca）部落用来记事的结绳，秘鲁利马Larco博物馆馆藏。 (右) “基普”上的绳结，上面一结5道，表示500；中间的结8道，表示80；下面的结为6道，表示6。这样就表示了586。

甲骨文数字：十进位位值制的萌芽

1983年陕西旬阳出土的西汉象牙算筹

10进位位值制记数法 纵式筹码 横式筹码

记数规则 “凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵；千十相望，万百相当” （《孙子算经》） “凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵；千十相望，万百相当” （《孙子算经》） “满六以上，五在上方，六不积算，五不单张”（《夏侯阳算经》） 例如：752836 用空位符号“□”表示零，后演变为“○”。

最初筹码中没有“零”的符号，先是用空位表示，后来为了避免运算过程中出错，借用古书缺字符号“□”，而“□”的书写很自然的演化为○，这一记号在宋元算书的演算中广泛使用。

意义 “用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。” ——拉普拉斯

2 筹算 “运筹于帷幄之中，决胜于千里之外” “筹”——筹策，小竹棍； “算筹”（counting rods）——用于计算的小竹棍，算器 2 筹算 “运筹于帷幄之中，决胜于千里之外” “筹”——筹策，小竹棍； “算筹”（counting rods）——用于计算的小竹棍，算器 记数规则：纵式筹码，横式筹码 空位：□ 〇 0

敦煌纸卷中的“九九表”（AD900）

三 《九章算术》与刘徽 琢磨推敲细思量， 说方道圆话短长。 若把《原本》比《算术》， 此中翘楚是《九章》。 ——严敦杰

1 《九章算术》 成书年代 “往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目与古或异，所论者多近语也。” ——刘徽：《九章算术注》 张苍，北平侯，250—152BC，秦汉两朝官员 耿寿昌，大司农，73BC， 由此推测《九章算术》初成于秦，修订于汉。

方田 与田亩丈量有关的面积、分数问题； 粟米 以谷物交换为例的各类比例问题； 衰分 按比例分配和等差数列问题； 少广 由田亩计算引出的分数、开方问题； 商功 与土方工程有关的体积问题； 均输 与摊派劳役和税收有关的比例问题； 盈不足 由两次假设求解复杂算术问题的特殊算法； “方程” 一次线性方程组问题； 勾股 勾股定理及其应用。

2 注释者 刘徽，魏晋间人，263AD年注释《九章算术》 2    注释者 刘徽，魏晋间人，263AD年注释《九章算术》 “徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。” ——刘徽：《九章算术注》

白尚恕《〈九章算术〉注释》《〈九章算术〉今译》 李继闵《〈九章算术〉与刘徽注研究》《〈九章算术〉校证》 《〈九章算术〉导读与译注》     祖冲之，祖暅:南北朝，圆周率，球体体积公式     李淳风：唐朝，“十部算经”国子监教科书     杨辉：南宋，《详解九章算法》     吴敬：明，《九章算法比类大全》     李潢：清，《九章算术细草图说》      现代：钱宝琮校点《算经十书》 白尚恕《〈九章算术〉注释》《〈九章算术〉今译》 李继闵《〈九章算术〉与刘徽注研究》《〈九章算术〉校证》 《〈九章算术〉导读与译注》 郭书春：汇校《九章算术》 沈康身：《〈九章算术〉导读》

3《九章算术》在国外 英国 李约瑟（Joseph Needham）Science and Civilization in China(1959) 俄国 尤什凯维奇，《中国学者在数学领域中的成就》（1955） 别列兹金娜，《九章算术》俄文译本（1957） 德国 伍哥尔，《九章算术》德文译本（1968） 载入《东方世界自然科学经典丛书》（慕尼黑，1968） 丹麦 瓦格那，《〈九章算术〉中最有趣的问题》（英文，1978） 日本 川原秀城 《九章算术》日文译本（1980） 法国 林力娜，《九章算术》法文译本（2005） 捷克 胡吉瑞，《九章算术》捷克文译本 沈康身（杭州大学）John N.Crossley & Anthony Lun (Monash University , Australia) The Nine Chapters on the Mathematical Art（Companion & commentary）

四 中算家怎样认识实数系 实数系： 自然数—分数—有理数—无理数—负数 中算家认识实数系的四个重要标志： 十进位位值制 分数--有理数 四 中算家怎样认识实数系 实数系： 自然数—分数—有理数—无理数—负数 中算家认识实数系的四个重要标志：      十进位位值制   分数--有理数      不尽方根--无理数       负数

分数 何为“分数”？ “分”——从八从刀，以刀分别物（《说文·八部》）  《九章算术》：实如法而一。不满法者，以法命之。 释意：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义为分数。

分数算法 合分术（加法）：母互乘子，并以为实；母相乘为法，实如法而一。 减分术（减法）：母互乘子，以少减多，余为实；母相乘为法，实如法而一。 乘分术（乘分）：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。 经分术（除法）：重有分者，同而通之。（法分母乘实，实分母乘法） 约分术：可半者半之。不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

评述 1.巴比伦：60进位的分数 2.埃及：单位分数 3.阿拉伯：主分数，单位分数 ——都未能给出行之有效的分数算法

中算分数算法的特点. 1. 除法运算定义分数 2. 分数概念的两重性 运算结果：独立的数； 运算过程：母与子 3 .基本性质 1.   除法运算定义分数 2.   分数概念的两重性 运算结果：独立的数； 运算过程：母与子 3 .基本性质 分子、分母同乘不为零的数，其值不变。 4. 通分——“齐同术” 母互乘子谓之齐，母相乘谓之同

筹算开方 开方术曰：置积为实。借一算，步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除。除已，倍法为定法。其复除，折法而下。复置借算，步之如初，以复议一乘之。所得副，以加定法，以除。以所得副从定法。复除，折下如前。若开之不尽者，为不可开，当以面命之。若实有分者，通分纳子为定实，乃开之。讫，开其母，报除。若母不可开者，有以母乘定实，乃开之。讫，令如母而一。 —《九章算术》少广章

例子：计算55225的平方根 2 0 0 1 5 2 2 5 2 1 2 3 0 1 5 2 2 5 4 3 0 3 1 2 3 5 2 3 2 5 4 6 5 5 1 商 实 法 副 借算 置积（55225）为实。借一算，步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除，除已，倍法为定法。其复除，折法而下。复置借算步之如初，以复议一乘之。所得副，以加定法，以除。以所得副从定法。复除折下如前。

若开之不尽者为不可开，当以面命之。若实有分者，通分内子为定实。乃开之，讫，开其母报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。 面积为五的正方形：方五之面 实有分者，通分内子为定实，乃开之，讫，开其母报除： 若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一

刘徽的贡献——求其微数 不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细。则朱幂虽有所弃之数，不足言之也。 （1）十进分数 （2）极限概念 （3）以有理数逼近无理数

无理数 希腊：√A≠ n/m ——认识了“不可比”数 中国：√A=a. a1a2a3——认识了“不可开”数

负数是怎样进入数学的？ 盈余与不足、收入与支出、增加与减少是负数概念在生活中的实例，教科书在向学生讲授负数是也多循此途。这就产生一种误解：似乎人类正是从这种具有相反意义的量的认识而引进了负数的。 问题：那个文明最早使用负数？ 历史事实表明：负数最早为中算家所引进，这是由中国古代传统数学高度发达算法和筹算机械化的特点所决定的。

《九章算术》的“方程术” “方程”章第3问： 今有上禾二秉、中禾三秉、下禾四秉，实皆不满斗，上取中、中取下、下取上各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何。 上禾 1 0 2 2 0 中禾 0 3 1 0 -1（“正无入负之”） 下禾 4 1 0 8 8 实 1 1 1 2 1 （3） （2） （1） 2×（3 ） 2（3）-（1）

方程章第4问 今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉。问上、下禾实一秉各几何？ 《九章算术》给出的算法是： 上禾五秉正，下禾七秉负，损实一斗一升正； 上禾七秉正，下禾五秉负，损实二斗五升正。 摆在筹算板上就是： 上禾 7 5 下禾 - 5 - 7 实 25 11 这样就必须以“负数”给出区别。

“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。 其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。” ----《九章算术》 这里的“同名”、“异名”即同号、异号；“相益”、“相除”指二数绝对值相加、相减。若设a>b>0，则上述正负术相当于 减法法则（前四句）： (±a)－（±b）=±（a－b）, (±b)－（±a）=（a－b） (±a)－（b）=±（a＋b）； 0－a = －a; 0－(－a) = a. 加法法则（后四句）： (±a)＋（b）=±（a—b），(±b) +（a）=（a—b）； (±a)＋（±b）=±（a＋b）； 0 ＋a = a; 0 ＋（—a）= —a.

刘徽《九章算术》注 “今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑，否则以斜正为异。方程自有赤黑相取，左右数相推求之术。而其并减之势不得广通，故使赤黑相消夺之。……故赤黑相杂足以定上下之程，减益虽殊足以通左右之数，差实虽分足以应同异之率。然则其正无入负之，负无入正之，其率不妄也。”

负数运算法则 减法：同名相除，异名相益；正无入负之，负无入正之。 加法：异名相除，同名相益；正无入正之，负无入负之。 若a>b>0 ±a-(±b)=±(a-b)，（同名相除） ±a-(-b)=±(a+b)，（异名相益） 0-(a)=－a; 0-(－a)=a；（无入：空位）

评价 负量及负量的运算法则的发明是大约生活在二千年以前或更早的中国学者的最伟大的成就。这是第一次超越了正数的范围。中国数学家在这一点上超出了其他国家的科学几世纪之久。 ——尤什凯维奇《中国学者在数学领域中的成就》

西方的困惑 负数虽然通过阿拉伯人的著作传到了欧洲，但16世纪和17世纪的大多数数学家并不承认它们是数，或者即使承认了也并不认为它们是方程的根。 如丘凯（Nicolas Chuquet ，1445-1500）和斯蒂费尔（Stifel ,1486-1567） 都把负数说成是荒谬的数，是“无稽之零下”。 无法解释：1:-1=-1:1； “较大数:较小数=较小数:较大数” ? 卡丹(Cardan,1501- 1576) 把负数作为方程的根，但认为它们是不可能的解，仅仅是一些记号；他把负根称作是虚有的。韦达(Vieta, 1540- 1630) 完全不要负数，巴斯卡（Pascal,1623- 1662） 则认为从0减去4纯粹是胡说。

五 刘徽论圆和球 《九章》“方田”章： 半周半径相乘得积步 周径相乘，四而一 又中国古代取“周三径一”，故有： 径自相乘，三之，四而一 五 刘徽论圆和球 半径 半周 《九章》“方田”章： 半周半径相乘得积步 周径相乘，四而一 又中国古代取“周三径一”，故有： 径自相乘，三之，四而一 周自相乘，十二而一

刘徽“割圆术注” 按半周为从，半径为广，故广从相乘为积步。假令圆径二尺，圆中容六觚之一面，与圆径之半，其数均等。合径率一而觚周率三也。又按為图，以六觚之一面乘半徑，（四分取）二，因而六之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘半径，四分取四，因而六之，則得二十四觚之幂。割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圆合體，而無所失矣。……

12觚面积= 半径×6觚周长/2 24觚面积= 半径×12觚周长/2 48觚面积= 半径×24觚周长/2 …… 圆面积=半径×半周 拼方 6觚周长之半 半径 拼方 割圆 12觚面积= 半径×6觚周长/2 24觚面积= 半径×12觚周长/2 48觚面积= 半径×24觚周长/2 …… 圆面积=半径×半周

6觚求12觚，AB=1 股（OG） =1-0.25 =0.75=0.8660254 余径（CG）=1-股 =1-0.8660254 = 0.1339746---小勾 小弦幂（CB）=小勾方+小股方 =0.267949193445 开方即得12觚之一面（CB）

S96= 48觚之一面×1×24=3.13+ 0.00 584/625 S192=96觚之一面×1×48=3.14+0.00 64/625 “差幂”= S192 -- S96 = 105/625 割圆不等式 S192 < S 圆 < S96 +2ד差幂” 故取: S 圆～ S1923.14 因此，周长= 2圆面积/半径 =6.28 ， 于是， 周：径= 6.28: 2=157:50 最后，计算到3072边形，得圆周率3.1416

祖冲之的圆周率 “宋末，南徐州从事史祖冲之更开密法。以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。又设开差幂，开差立，兼以正（圆）[负]参之，指要精密，算氏之最者。所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理。” -- 《隋书·律历志》

刘徽论球 《九章》： 刘徽：然此意非也。何以驗之？取立方棊八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸，規之為圓囷，徑二寸，高二寸，又復横圆之，則其形有似牟合方葢矣。八棊皆然似陽馬，圓然也。按合葢者，方率也。丸居其中，即圓率也。推此言之，謂夫圓囷為方率豈不闕哉？以周三徑一為圓率，則圓幂傷少；令圓囷為方率，則丸積傷多。互相通補，是以九與十六之率，偶與實相近，而丸猶傷多耳。觀立方之内，合葢之外，雖衰殺有漸，而多少不掩，判合總結，方圓相纒，濃纎詭互，不可等正。欲陋形措意，懼失正理，敢不闕疑，以俟能言者。

“互相通補，是以九與十六之率，偶與實相近，而丸猶傷多耳。”

“規之為圓囷，徑二寸高二寸，又復横圆之，則其形有似牟合方葢矣”。

“牟合方盖”

刘徽：牟合方盖——正交的相贯圆柱： 任一截面，方、圆相切。 V球 ：V牟＝S圆 ：S方＝π：4 观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓钎诡互，欲陋形措意，惧失正理，敢不阙疑，以俟能言者。

祖暅之開立圓術曰：以二乘積，開立方除之即立圆徑。其意何也？取立方棊一枚，令立樞于左後之下隅，從規去其右上之亷，又合而横規之，去其前上之亷。于是立方之棊，分而為四。規内棊一，謂之内棊。規外棊三，謂之外棊。更合四棊，復横斷之。以句股言之，令餘高為句，内棊斷上方為股，本方之数，其弦也。句股之法，以句幂減弦幂，則餘為股幂；若令餘高自乘，減本方之幂，餘即内棊斷上方之幂也。本方之幂，即内外四棊之斷上幂。然則餘高自乘，即外三棊之弦上幂矣。不問高卑，勢皆然也。然固有所歸，同而途殊者耳。而乃控逺以演類，借況以析微。按陽馬方高数参等者，倒而立之，横截去上，則高自乘與斷上幂数亦等焉。夫疊棊成立積，緣幂勢既同，則積不容異。由此觀之，規之外三棊旁蹙為一，即一陽馬也。三分立方，則陽馬居一，内棊居二可知矣。合八小方成一大方，合八内棊成一合葢。内棊居小方三分之二，則合葢居立方亦三分之二，較然驗矣。置三分之二以圓幂率三乘之，如方幂率四而一，約而定之，以為九率。故曰九居立方二分之一也。

外三棋 内棋

外三棋断上幂= 外方– 内方 （绿色矩尺形） （黄色） =OS平方—SP平方 =余高（OP）2 =倒立阳马断上幂 B

= 夫疊棊成立積，緣幂勢既同，則積不容異。 所以: 外三棋体积 = 阳马体积 因此, 牟合方盖 = 立方—阳马体积 =2/3 立方 所以: 外三棋体积 = 阳马体积 因此, 牟合方盖 = 立方—阳马体积 =2/3 立方 球体体积= 3/4 牟合方盖 = 1/2 立方 或： =

Cavalieri’s principle 祖暅公理：緣幂勢既同，則積不容異 Cavalieri’s principle 卡瓦列利，16世纪意大利教士，数学家

今日论坛 1 你认为现实中“具有相反意义的量”能否导致负数的发现？ 2 如何评价刘徽开方术注的意义？ （不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细。则朱幂虽有所弃之数，不足言之也。）