數學教材教法 【教學中常見的迷思概念—教師訪談分析】 數學教材教法 【教學中常見的迷思概念—教師訪談分析】 教政所 碩二 蔡瑞欣 報告日期: 2009/10/22

報告大綱-(一) 一、整數的乘法計算 1.乘法描述 2.兩位數的乘法 3.忘記進位 4.十位數的排列 5.乘法計算重複寫零 6.乘法交換率 7.多位整數的乘法

報告大綱-(二) 二、整數的除法計算 1.直式除法的商數擺放位置 2.認識除法的算式(概念釐清) 3.多位數除以一位數/多位數除以兩位數 4.除法的應用問題 5.兩位數相除 6.除法直式運算的補零問題

一、整數的乘法計算-1 不易掌握之概念 (常見迷思概念) 教學者之對策 乘法描述： 學生在【二位數×二位數】直式乘法計算時，會搞不清楚數字正確位置的擺放。 例題：25×6375＋1501575反白位置數字150，學生通常容易搞不清楚數字其正確擺放位置。 最後加總等於1575。針對【二位數×二位數】直式乘法計算問題： １.老師強調在進行該類型題目之前，必須先確定學生已了解【兩位數×一位數】題型，進而了解【三位數×一位數】題型，更熟練【四位數×一位數】題型，最後也對【整十或整百×一位數】等題型均熟練後，才進行【二位數×二位數】直式乘法計算。 ２.例題： 25×6375＋1501575該題目可拆成25×3＝75 25×60＝1500 利用此類計算方法，先讓學生精熟後，再進行直式計算，不過教【二位數×二位數】的乘法計算，應視學生程度而定，讓學生選擇適合其自己的計算方式 。 【陳靖薇老師受訪，TKU96A顏淑惠訪談】

一、整數的乘法計算-2 不易掌握之概念 (常見迷思概念) 教學者之對策 兩位數的乘法: 小朋友面對兩位數乘以一位數： 　　25 　× 6　　是比較沒有問題的 　　　　　即時上面的數變成三 　　　　　位數也行。 但是一旦變成兩位數乘以兩位數： 　　25 　× 36　　就會有很多小朋友把 　　　　　接下來十位數的算式 　　　　　放錯位置，答案就跟著 　　　　　錯了。 將算式解剖成兩個部份，分別為： 　　　25　　　　25 　　× 6　　　× 3　並打答案算出 　　 150　　　　75 既然是解剖過後，理所當然要縫合回原來的位置，就像胃要回到胃的位置，腸要回到腸的位置，才叫做完整，所以： 　 25 　　　　× 36　 　　　　 150 　　　　 75　 　　　　 900 對齊後，將兩數相加得到答案。 【許秋菊老師受訪，李依玲訪談】

一、整數的乘法計算-3 不易掌握之概念 (常見迷思概念) 教學者之對策 忘記進位: 乘以二位數的直式算法中，常會忘記進位。 例如： 34 × 27 238 68 818----正確答案應為918 在數學的計算中，學生們最需要的就是實際的練習。有時候不是學生不會做，而是粗心大意而導致答案錯誤。就像左邊的範例，學生在做乘法的直式運算時，若遇見需進位的數字，則應該標記在進位後的數字下，以免忘掉。例如： 68 有標記就不易算錯 1 918 【劉哲瑄老師受訪，吳濡伊訪談】

一、整數的乘法計算-4 不易掌握之概念 (常見迷思概念) 教學者之對策 十位數的排列: 乘法排列計算時，不知道十位數的排列為何，位數之間概念弱。例如： 12 × 19 不懂得位數間要對齊計算 在直式計算時，十位數要對齊十位數，個位數對齊個位數，對於個十百千的觀念加強，建議可以教小朋友自己製作位數板，在上課時可以運用，遇到不會的題目時，也可以使用可以加深印象。 例如:位數板 萬 千 百 十 個 位 位 位 位 位 【官鳳娥老師受訪，吳姵瑩訪談】

一、整數的乘法計算-5 不易掌握之概念 (常見迷思概念) 教學者之對策 乘法計算重複寫零: 乘法計算遇到尾數是零時會重複寫零 例如 1200 例如 1200 × 1900 0000 10800 1200 2280000 告訴小朋友要先對齊之後，把零留下來寫在下面，再進行運算，而不是一直重覆寫零。 例如: 12 00 × 19 00 10800 00 22800 00 【官鳳娥老師受訪，吳姵瑩訪談】

一、整數的乘法計算-6 不易掌握之概念 (常見迷思概念) 教學者之對策 乘法交換律: 在進行此單元時會碰到乘法交換律的問題，學生如果不清楚題意，可能就只會張冠李戴。 利用矩陣排列的方式呈現題意，讓學生確實瞭解被乘數與乘數交換位置，並不會改變積的結果。 ○○○○○○ 6×2＝2×6 ○○○○○○ 【李典洋老師受訪，吳香儀訪談】

一、整數的乘法計算-7 不易掌握之概念 (常見迷思概念) 教學者之對策 多位整數的乘法： 對策： 多位數和多位數相乘的進位，會不知該是哪個數字進到下一位。例如： 1 3 ×2 6 14 1（應該是寫8進1） 26 （卻寫成寫1進8） 40 1其原因:九九乘法不熟加法不熟進位問題 對策： 透過教具的操作（使用定位板），讓學生瞭解運算的過程及其結果，並利用早自修時間反覆練習，以減少計算的錯誤。接受階梯式乘法，因為有些學生習慣安親班老師的教法，所以她並排斥。階梯式乘法： 24 × 12 8 40＋ 2000 2448 【彭美琴老師受訪，TKU96A林佳宜談】

二、整數的除法計算-1 不易掌握之概念 (常見迷思概念) 教學者之對策 除法在直式除法裡，學生常不清楚商數位置的擺放。 1.利用教具 2.用分錢的觀念導入。EX.700元分給12個人要怎麼分。 3.多位數除以一位數，將位值的觀念導入 4.多位數除以二位數，用倍數的概念導入。 EX. 25√700 25×1=25 25×2=50 25×3=75……訓練估算的概念，一開始都寫出來，等到學生熟練後才不寫25×1=25 25×2=50 25×3=75……這個步驟，讓學生練習估算。 【陳靖薇老師受訪，TKU96A蘇郁雯訪談】

二、整數的除法計算-2 不易掌握之概念 (常見迷思概念) 教學者之對策 認識除法算式: 小數除法直式算則（除數為小數）描述 –當學生在處理除數為小數的除法問題時，可能無法理解直式算則中的口訣。 老師的分析-為解決這樣的算則問題，還是先從建立小朋友正確的小數除法概念著手， 才是根本之道，最後再引導小朋友去發現、 比對出小數除法算則記錄的結構要素。課本中『除數為小數』的除法問題都是包含除問題，因為『除數為小數』的等分除問題是『當量除問題』，國小課本很少出現，所以在處理『被除數是小數、除數是小數』的包含除問題前，先處理好『被除數是小數、除數是整數』的等分除問題，是一種先備經驗。商數與餘數記錄時為何要對齊被除數的小數位置，是因為小數除法直式算則其實是藉用整數除法直式算則做為運算與記錄的工具。 【黃志華老師受訪，TKU96A沈欣誼訪談】

二、整數的除法計算-3 不易掌握之概念 (常見迷思概念) 教學者之對策 除法算式多位數除以一位數；多位數除以兩位數描述：學生對於上述兩種算式概念比較不容易釐清，關鍵均出自於當「被除數」不能被整除時，學生無法應用乘法觀念解決該題目。 例如：當3無法被4除時，學生較不易了解，為何要後退一位用30除以4。　　　　　　　 (1)針對【多位數除以一位數】此類除法計算問題，以 該題為例，靖薇老師的教學方法如下：１先以數字較小的題目讓學生演練計算，例如舉40÷3＝ ( )為例，利用數字較小的題目降低學生計算恐懼。２接著以「分錢」觀念引導學生學習此類除法問題。Q：假設有40元要平均分給3個人，每人最多可分到 多少錢？A：老師應用偽鈔或硬幣等教具，利用分錢的觀念，引導學生慢慢的將錢平分，40元分給3人，第一輪每 人可各得10元，剩下10元三人不夠分，引導學生 將剩下10元換算成10個1元，再繼續分錢。３等到學生對數字較小的【二位數除以一位數】除法較 有概念時，再導入【多位數除以一位數】整除的觀念， 如：300÷3＝( 100 ) 此直式計算類型題目。４最後，回歸正題引領學生解該題，並且從中帶入「位值」觀念 ，數字3為百位數。 (2)針對【多位數除以兩位數】此計算問題，以為例，老師的教學方法如下：１碰到多位數除以兩位數問題，老師會以「倍數」概念 導入，建立學生「估算」概念。２請學生估估看，25乘以幾倍會最接近70，請學生將計 算方式寫下，如： 25×1＝25 25×2＝50 以下類推，使學生對該類型題目有高度敏感後，再進 行解題，學生也會較為清楚其概念。 【陳靖薇老師受訪，TKU96A顏淑惠訪談】

二、整數的除法計算-4 不易掌握之概念 (常見迷思概念) 教學者之對策 整數的除法： ……….無法快速得知 13 9 7 對策： ……….無法快速得知 13 9 7 對策： （1）教導學生一位數一位數看，先看最大位數，比較之後再看下一個位數，不斷的練習，最後達到精熟。 （2） 使用直式紀錄除法問題的解題步驟： 找商 → 乘看看 → 減 → 比較 → 修正，反覆進行，直到找到正確的商。 【彭美琴老師受訪，TKU96A林佳宜談】

二、整數的除法計算-5 不易掌握之概念 (常見迷思概念) 教學者之對策 當遇到整數除法或乘法的時候都可以輕鬆計算，但是遇到應用問題時就不能了解誰除以誰。 例:小美有35件上衣,23條裙子,請問上衣搭裙子的穿法一共有幾種? 先出一些簡單的題目，數字比較小，小朋友比較容易懂，再帶小朋友看過題目，讓他們完全了解題目的意思。一步一步的引導他們，讓他們知道題目是差不多的，只是數字上的改變。要調整他們的心態，不要一看到應用題就害怕。Ex:(變數)*(變數)就可以解開此類的數學活動。舉例：你(一個變數)，今天、明天(兩個變數)，去釣魚、去爬山、去逛街(三個變數)。要處理成“你”今天去釣魚。“你”明天去釣魚。“你”今天去爬山。“你”明天去爬山。“你”今天去逛街。“你”明天去逛街。要怎算呢？人物(1)*日(2)*行為(3)=6(種)組合又例：你、我、他，再加上今天、明天兩個變數，再加上釣魚、去爬山、去逛街(三個變數)，這樣會有人物(3)*日(2)*行為(3)=18種組合。故由上述得證，35*23=805(種)的搭配方法教學生簡化題目，讓學生很容易抓住題目的方向，讓學生有獨立思考的行為，也可進階教導學生已不同角度去面對生活週遭的事情。 【凌琳宗老師受訪，TKU96A吳宛玲訪談】

二、整數的除法計算-6 不易掌握之概念 (常見迷思概念) 教學者之對策 兩位數除法: 被除數除以一位數的除數教沒有問題，而是進入到兩位數的除數，對小朋友來說，是一個關卡。 例： 　　83÷21 先看例子中除數的個位數，若為1~5就視為20，為6~9視為30，因此例子我們就可以看做：83÷20 想像被除數的十位數是八個十元硬幣，每二十元為一組： 共為4組，所以用4作商，回到本來的式子：83÷21=4……(結果太多，餘數為負)，所以表示估商估得太多，所以少1試試，變成：83÷21=3……餘20，這樣就答對了。 上面的過程稱之為估商，當餘數為負，商數少1，餘數大於除數時，商數就再加1。 目的就是不要每次都從1開始估，讓運算可以快一點。 【許秋菊老師受訪，李依玲訪談】

二、整數的除法計算-7 不易掌握之概念 (常見迷思概念) 教學者之對策 除法的直式運算中，不夠除時常不知道要補0。 例如： 1 1---正確答案應為101 4 ） 407 4 7 3 這個問題和上面的問題是雷同的，學生的運算能力必須加強而降低粗心大意的機率。在這個部分我會教導學生，在除以個位數時，每運算完一個就必須放下一位，層層推進不要有遺漏的地方，遇見不夠除時則補0並放後一位下來。 例如: 101 4 ） 407 4 -------第一步 0 ------第二步 4------第三步 【劉哲瑄老師受訪，吳濡伊訪談】

報告完畢 感謝聆聽