§4.3 多重共线性 Multi-Collinearity

一、多重共线性的概念 二、实际经济问题中的多重共线性 三、多重共线性的后果 四、多重共线性的检验 五、克服多重共线性的方法 六、案例 §4.3 多重共线性 一、多重共线性的概念 二、实际经济问题中的多重共线性 三、多重共线性的后果 四、多重共线性的检验 五、克服多重共线性的方法 六、案例 *七、分部回归与多重共线性

一、多重共线性的概念 对于模型 Yi=0+1X1i+2X2i++kXki+i i=1,2,…,n 其基本假设之一是解释变量是互相独立的。 如果某两个或多个解释变量之间出现了相关性，则称为多重共线性(Multicollinearity)。

如果存在 如果存在 c1X1i+c2X2i+…+ckXki=0 i=1,2,…,n 其中: ci不全为0，则称为解释变量间存在完全共线性（perfect multicollinearity）。 如果存在 c1X1i+c2X2i+…+ckXki+vi=0 i=1,2,…,n 其中ci不全为0，vi为随机误差项，则称为 近似共线性（approximate multicollinearity）或交互相关(intercorrelated)。

在矩阵表示的线性回归模型 Y=X+ 中，完全共线性指：秩(X)<k+1，即 中，至少有一列向量可由其他列向量（不包括第一列）线性表出。 如：X2= X1，则X2对Y的作用可由X1代替。

注意： 完全共线性的情况并不多见，一般出现的是在一定程度上的共线性，即近似共线性。

一般地，产生多重共线性的主要原因有以下三个方面： （1）经济变量相关的共同趋势 二、实际经济问题中的多重共线性 一般地，产生多重共线性的主要原因有以下三个方面： （1）经济变量相关的共同趋势 时间序列样本：经济繁荣时期，各基本经济变量（收入、消费、投资、价格）都趋于增长；衰退时期，又同时趋于下降。 横截面数据：生产函数中，资本投入与劳动力投入往往出现高度相关情况，大企业二者都大，小企业都小。

（2）滞后变量的引入 在经济计量模型中，往往需要引入滞后经济变量来反映真实的经济关系。 例如，消费=f(当期收入, 前期收入） 显然，两期收入间有较强的线性相关性。

（3）样本资料的限制 由于完全符合理论模型所要求的样本数据较难收集，特定样本可能存在某种程度的多重共线性。 一般经验： 时间序列数据样本：简单线性模型，往往存在多重共线性。 截面数据样本：问题不那么严重，但多重共线性仍然是存在的。

1、完全共线性下参数估计量不存在 二、多重共线性的后果 的OLS估计量为： 如果存在完全共线性，则(X’X)-1不存在，无法得到参数的估计量。

例：对离差形式的二元回归模型 如果两个解释变量完全相关，如x2= x1，则 这时，只能确定综合参数1+2的估计值：

近似共线性下，可以得到OLS参数估计量， 但参数估计量方差的表达式为 由于|X’X|0，引起(X’X) -1主对角线元素较大，使参数估计值的方差增大，OLS参数估计量非有效。

仍以二元线性模型 y=1x1+2x2+ 为例: 恰为X1与X2的线性相关系数的平方r2 由于 r2 1，故 1/(1- r2 )1

当完全不共线时, r2 =0 当近似共线时, 0< r2 <1 多重共线性使参数估计值的方差增大，1/(1-r2)为方差膨胀因子(Variance Inflation Factor, VIF) 当完全共线时， r2=1，

如果模型中两个解释变量具有线性相关性，例如 X2= X1 ， 3、参数估计量经济含义不合理 如果模型中两个解释变量具有线性相关性，例如 X2= X1 ， 这时，X1和X2前的参数1、2并不反映各自与被解释变量之间的结构关系，而是反映它们对被解释变量的共同影响。 1、2已经失去了应有的经济含义，于是经常表现出似乎反常的现象：例如1本来应该是正的，结果恰是负的。

4、变量的显著性检验失去意义 存在多重共线性时 参数估计值的方差与标准差变大 容易使通过样本计算的t值小于临界值， 误导作出参数为0的推断 可能将重要的解释变量排除在模型之外

5、模型的预测功能失效 变大的方差容易使区间预测的“区间”变大，使预测失去意义。

注意： 除非是完全共线性，多重共线性并不意味着任何基本假设的违背； 因此，即使出现较高程度的多重共线性，OLS估计量仍具有线性性等良好的统计性质。 问题在于，即使OLS法仍是最好的估计方法，它却不是“完美的”，尤其是在统计推断上无法给出真正有用的信息。

三、多重共线性的检验 多重共线性检验的任务是： 多重共线性表现为解释变量之间具有相关关系，所以用于多重共线性的检验方法主要是统计方法：如判定系数检验法、逐步回归检验法等。 多重共线性检验的任务是： （1）检验多重共线性是否存在； （2）估计多重共线性的范围，即判断哪些变量之间存在共线性。

(1)对两个解释变量的模型，采用简单相关系数法 1、检验多重共线性是否存在 (1)对两个解释变量的模型，采用简单相关系数法 求出X1与X2的简单相关系数r，若|r|接近1，则说明两变量存在较强的多重共线性。 (2)对多个解释变量的模型，采用综合统计检验法 若 在OLS法下：R2与F值较大，但t检验值较小，说明各解释变量对Y的联合线性作用显著，但各解释变量间存在共线性而使得它们对Y的独立作用不能分辨，故t检验不显著。

如果存在多重共线性，需进一步确定究竟由哪些变量引起。 2、判明存在多重共线性的范围 如果存在多重共线性，需进一步确定究竟由哪些变量引起。 (1) 判定系数检验法 使模型中每一个解释变量分别以其余解释变量为解释变量进行回归，并计算相应的拟合优度。 如果某一种回归 Xji=1X1i+2X2i+LXLi 的判定系数较大，说明Xj与其他X间存在共线性。

式中：Rj•2为第j个解释变量对其他解释变量的回归方程的决定系数， 具体可进一步对上述回归方程作F检验： 构造如下F统计量 式中：Rj•2为第j个解释变量对其他解释变量的回归方程的决定系数， 若存在较强的共线性，则Rj•2较大且接近于1，这时（1- Rj•2 ）较小，从而Fj的值较大。 因此，给定显著性水平，计算F值，并与相应的临界值比较，来判定是否存在相关性。

在模型中排除某一个解释变量Xj，估计模型； 另一等价的检验是: 在模型中排除某一个解释变量Xj，估计模型； 如果拟合优度与包含Xj时十分接近，则说明Xj与其它解释变量之间存在共线性。

以Y为被解释变量，逐个引入解释变量，构成回归模型，进行模型估计。 (2)逐步回归法 以Y为被解释变量，逐个引入解释变量，构成回归模型，进行模型估计。 根据拟合优度的变化决定新引入的变量是否独立。 如果拟合优度变化显著，则说明新引入的变量是一个独立解释变量； 如果拟合优度变化很不显著，则说明新引入的变量与其它变量之间存在共线性关系。

如果模型被检验证明存在多重共线性，则需要发展新的方法估计模型，最常用的方法有三类。 四、克服多重共线性的方法 如果模型被检验证明存在多重共线性，则需要发展新的方法估计模型，最常用的方法有三类。 1、第一类方法：排除引起共线性的变量 找出引起多重共线性的解释变量，将它排除出去。 以逐步回归法得到最广泛的应用。 注意： 这时，剩余解释变量参数的经济含义和数值都发生了变化。

时间序列数据、线性模型：将原模型变换为差分模型: Yi=1  X1i+2  X2i++k  Xki+  i 2、第二类方法：差分法 时间序列数据、线性模型：将原模型变换为差分模型: Yi=1  X1i+2  X2i++k  Xki+  i 可以有效地消除原模型中的多重共线性。 一般讲，增量之间的线性关系远比总量之间的线性关系弱得多。

例 如：

由表中的比值可以直观地看到，增量的线性关系弱于总量之间的线性关系。 进一步分析： Y与C(-1)之间的判定系数为0.9988， △Y与△C(-1)之间的判定系数为0.9567

3、第三类方法：减小参数估计量的方差 多重共线性的主要后果是参数估计量具有较大的方差，所以 采取适当方法减小参数估计量的方差，虽然没有消除模型中的多重共线性，但确能消除多重共线性造成的后果。 例如： ①增加样本容量，可使参数估计量的方差减小。

*②岭回归法（Ridge Regression） 70年代发展的岭回归法，以引入偏误为代价减小参数估计量的方差，受到人们的重视。 具体方法是：引入矩阵D，使参数估计量为 （*） 其中矩阵D一般选择为主对角阵，即 D=aI a为大于0的常数。 显然，与未含D的参数B的估计量相比，(*)式的估计量有较小的方差。

根据理论和经验分析，影响粮食生产（Y）的主要因素有： 六、案例——中国粮食生产函数 根据理论和经验分析，影响粮食生产（Y）的主要因素有： 农业化肥施用量（X1）；粮食播种面积(X2) 成灾面积(X3); 农业机械总动力(X4); 农业劳动力(X5) 已知中国粮食生产的相关数据，建立中国粮食生产函数： Y=0+1 X1 +2 X2 +3 X3 +4 X4 +4 X5 +

1、用OLS法估计上述模型： R2接近于1； 给定=5%，得F临界值 F0.05(5,12)=3.11 (-0.91) (8.39) (3.32) (-2.81) (-1.45) (-0.14) R2接近于1； 给定=5%，得F临界值 F0.05(5,12)=3.11 F=638.4 > 15.19， 故认上述粮食生产的总体线性关系显著成立。 但X4 、X5 的参数未通过t检验，且符号不正确，故解释变量间可能存在多重共线性。

2、检验简单相关系数 列出X1，X2，X3，X4，X5的相关系数矩阵： 发现： X1与X4间存在高度相关性。

3、找出最简单的回归形式 分别作Y与X1，X2，X4，X5间的回归： 可见，应选第1个式子为初始的回归模型。 (25.58) (11.49) (25.58) (11.49) R2=0.8919 F=132.1 DW=1.56 (-0.49) (1.14) R2=0.075 F=1.30 DW=0.12 (17.45) (6.68) R2=0.7527 F=48.7 DW=1.11 (-1.04) (2.66) R2=0.3064 F=7.07 DW=0.36 可见，应选第1个式子为初始的回归模型。

4、逐步回归 将其他解释变量分别导入上述初始回归模型，寻找最佳回归方程。

5、结论 回归方程以Y=f(X1，X2，X3)为最优：

*七、分部回归与多重共线性

1、分部回归法(Partitioned Regression) 对于模型 将解释变量分为两部分，对应的参数也分为两部分： 在满足解释变量与随机误差项不相关的情况下，可以写出关于参数估计量的方程组：

如果存在 则有 这就是仅以X1作为解释变量时的参数估计量 同样有 这就是仅以X2作为解释变量时的参数估计量。

2、由分部回归法导出 如果一个多元线性模型的解释变量之间完全正交，可以将该多元模型分为多个一元模型、二元模型、…进行估计，参数估计结果不变； 实际模型由于存在或轻或重的共线性，如果将它们分为多个一元模型、二元模型、…进行估计，参数估计结果将发生变化；

当模型存在共线性，将某个共线性变量去掉，剩余变量的参数估计结果将发生变化，而且经济含义有发生变化； 严格地说，实际模型由于总存在一定程度的共线性，所以每个参数估计量并不 真正反映对应变量与被解释变量之间的结构关系。