7.2 空间几何体的表面积和体积

（1）圆柱的侧面积：S＝2πrl，其中r为底半径，l为母线长. 知识梳理 1.旋转体的侧面积与表面积公式： （1）圆柱的侧面积：S＝2πrl，其中r为底半径，l为母线长. （2）圆锥的侧面积：S＝πrl，其中r为底半径，l为母线长. （3）圆台的侧面积：S＝πl(r＋r′)，其中r′，r为上、下底半径，l为母线长. （4）球的表面积：S＝4πR2，其中R为球半径.

2.简单几何体的体积公式： （1）柱体的体积：V＝Sh，其中S为底面积，h为高. （2）锥体的体积： ，其中S为底面积，h为高. （3）台体的体积： 其中S、S′为上、下底面积，h为高. （4）球的体积： ，其中R为球半径.

1.表面积是指几何体外表面的面积，柱、锥、台体的表面积等于侧面积加底面积，简单组合体的表面积应根据图形来确定. 拓展延伸 1.表面积是指几何体外表面的面积，柱、锥、台体的表面积等于侧面积加底面积，简单组合体的表面积应根据图形来确定. 2.体积是指几何体占有空间部分的大小，棱长为1个单位的正方体的体积是一个体积单位.两个等底等高的同类几何体的体积相等.

3.在圆台的侧面积公式中，分别令 r′＝r，r′＝0，即得圆柱、圆锥的侧面积公式；在台体的体积公式中，分别令 S′＝S，S′＝0，即得柱体、锥体的体积公式. 4.斜棱柱的体积等于垂直于侧棱的截面(直截面)面积乘以侧棱长.

5.若多面体有一个半径为R的内切球，其表面积为S，则该多面体的体积 6.若棱锥的各侧面都与底面成θ角，则 .

例1 已知圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，其侧面展开图的扇环圆心角为180°，求圆台的表面积. 考点分析 考点1 求旋转体的表面积 例1 已知圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，其侧面展开图的扇环圆心角为180°，求圆台的表面积. 例2 有三个球和一个正方体，第一个球内切于正方体，第二个球与正方体的各条棱都相切，第三个球过正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比.

例3 已知半径分别为R，r(R＞r)的两球外切，并内切于一个圆锥，这两球与圆锥侧面的交线分别为圆O1，O2，求圆锥夹在圆O1与O2之间的圆台的侧面积. 【解题要点】 作轴截面→求相关数据→代入公式求面积.

考点2 求多面体的表面积 例4 已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是平行四边形，∠ABC＝60°，AB＝a，截面ABC1D1的面积为m，且与底面ABCD成30°的二面角，求这个四棱柱的表面积. A B C A1 B1 C1 D D1

例5 正三棱锥P－ABC的底边长为a， D为侧棱PA上一点，且AD＝2PD，若PA⊥平面BCD，求这个三棱锥的侧面积.

例6 已知三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面积分别为a、b(a＜b)，各侧面与下底面所成的二面角都为θ，求这个三棱台的侧面积. 【解题要点】 转化为多边形面积→用方程思想或解三角形求边长→将侧面积转化为底面积.

考点3 求几何体的截面积 例7 已知圆台的上、下底面半径分别为r，R(r＜R)，一个平行于底面的截面将圆台的侧面分成面积相等的两部分，求这个截面圆的面积.

例8 正三棱柱ABC－A1B1C1的底边长为 ，高为2，过点B作平行于棱AC的截面，使截面与底面成60°的二面角，求这个截面的面积. 【解题要点】 确定截面形状与位置→用方程思想或解三角形求相关数据.

例9 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点E，F分别是棱AA1，CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积. 考点4 求几何体的体积 例9 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点E，F分别是棱AA1，CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积. A B C A1 B1 C1 D D1 E F

例10 已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为4的菱形，∠ABC＝60°，侧棱长为6，在棱AB，CC1，CD上分别取点E，F，G，使BE＝3，CF＝2，CG＝1，求多面体CFG－BB1E的体积. B C A1 B1 C1 D D1 E F G A

例11 在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，平面PAB⊥平面PBC，∠BPC＝45°，PB＝a，求这三棱锥外接球的体积.

例12 在三棱锥P－ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，各侧面都与底面成60°的二面角，求这三棱锥内切球的体积.

例13 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1和CD的中点，求三棱锥F－A1ED1的体积.

例14 四棱锥P－ABCD的底面是矩形，△PAD是边长为2的正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD， PB⊥AC，点E为PD的中点，求三棱锥P－BCE的体积.

【解题要点】 用平几方法分析数量关系→用方程思想或解三角形求边长→利用等积变换(换底面，移顶点，图形割补)求体积.

例15（09·宁夏∕海南卷）已知某几何体的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的全面积为 cm2. 考点5 以三视图为背景的表面积与体积问题 例15（09·宁夏∕海南卷）已知某几何体的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的全面积为 cm2. 3 4 正视图 6 侧视图 俯视图

例16 （09·天津卷）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是 ，则 a＝ . 2 3 a 1 正视图 侧视图 俯视图 【解题要点】 画几何体的直观图→确定直观图中的线面位置关系→将三视图中的相关数据对应到直观图.

例17 圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，求该圆锥的内接圆柱的表面积的最大值. 考点6 求表面积或体积变量的最值 例17 圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，求该圆锥的内接圆柱的表面积的最大值. A B P C D

例18 如图，等腰三角形△ABC的底边AB＝ ，高CD＝3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，求四棱锥P－ACFE的体积的最大值. P A B C D E F

合理选取自变量→建立目标函数→指出定义域→求最值. 例19 直角三角形ABC的三边长分别为a，b，c，在平面ABC内有一条直线l经过直角顶点C，且点A，B位于直线l的同侧，以直线l为轴将△ABC旋转一周，求由三边旋转而成的曲面所围成的几何体的体积的最大值. A B C l 【解题要点】 合理选取自变量→建立目标函数→指出定义域→求最值.

考点7 表面积或体积条件的转化 例20 已知一个圆台内切一个球，且圆台的侧面积与球的表面积之比为4︰3，求圆台的母线与底面所成的角.

将面积或体积条件转化为边角关系→用方程思想求边角值. 例21 在三棱锥P－ABC中，O为△ABC的垂心，PO⊥底面ABC，PB＝PC，BC＝2，且这个三棱锥的体积为 ，求二面角P―BC―A的大小. P A B C O 【解题要点】 将面积或体积条件转化为边角关系→用方程思想求边角值.