指導教授：陳創義敎授 台北市立大理高中：林晁熙 電腦與數學－主題：矩陣 指導教授：陳創義敎授 台北市立大理高中：林晁熙

主題內容－矩陣 矩陣教學內容： 1. 線性方程組與矩陣。 2. 矩陣的運算。 3. 矩陣的應用。 4. 平面上的線性變換與二階方陣。

主題內容－矩陣 1. 線性方程組與矩陣。 1-1 方程組與增廣矩陣 1-2 矩陣列運算（矩陣三角化） 2. 矩陣的運算。 　 1-1 方程組與增廣矩陣 1-2 矩陣列運算（矩陣三角化） 2. 矩陣的運算。 　 2-1 矩陣相等、加法、係數積 2-2 矩陣乘法運算

主題內容－矩陣 3. 矩陣的應用。 3-1 轉移矩陣、馬可夫鏈 3-2 二階反方陣 4. 平面上的線性變換與二階方陣。 　 3-1 轉移矩陣、馬可夫鏈 3-2 二階反方陣 4. 平面上的線性變換與二階方陣。 　4-1 伸縮、旋轉、鏡射、推移 4-2 線性變換的面積關係

1.線性方程組與矩陣。 1-1 方程組與增廣矩陣

什麼是矩陣？ 稱為 m 列 n 行 矩陣， 以大寫表示矩陣，以小寫表示元素。

線性方程組與矩陣 線性方程組 可表示成 矩陣的形式

矩陣長什麼樣子？ a , b , c , d 都是矩陣的元素 第 一 行 二 第一列 第二列

矩陣長這個樣子 A是3列2行的矩陣 B是2列3行的矩陣

特殊的矩陣 零矩陣內的所有元素 都是零 O 是3列2行的零矩陣 單位方陣主要對角線上的元素都是1，其他元素都是零。 I 是2列2行的單位方陣

1.線性方程組與矩陣。 1-2 矩陣列運算（矩陣三角化）

解線性方程組 線性方程組 可表示成 矩陣的形式

解線性方程組 將某一列乘以 k 倍加到另一列，其解不變。例如：將第一列乘以 -2 倍加到第三列。

例題01 試例用矩陣解線性方程組： 第一列乘以-1倍加到第二列。 第一列乘以-2倍加到第三列。

例題01 第二列乘以-1倍加到第三列。 最後，第二列第三列都乘以-1倍同時加到第一列。 第三列乘以-1倍加到第二列。

例題01 試例用矩陣解線性方程組： 所以，x = 1、y = -1、z = -1。 這就是矩陣三角化。

2. 矩陣的運算。 2-1 矩陣相等、加法、係數積

相同的矩陣 設 A、B 都是二階方陣 若 A＝B 則 a＝p、b＝q、c＝r、d＝s。 兩個矩陣相等不僅是行數列數要相等， 而且所有互相對應的元素都要相等。

矩陣加法 設 A、B 都是二階方陣 則 注意：兩個矩陣必須要有相同的 　　　列數與行數才可相加！

矩陣係數積 設 A 是二階方陣，r 是任意實數 則 注意：矩陣每一個元素都要乘以 r

例題02 設 A、B 都是二階方陣 試求 A + 2 B 則

加法與係數積的性質 設 A、B、C 都是二階方陣，則： 1. A + B = B + A 2. ( A + B )+ C = A +( B + C ) 3. A + 0 = 0 + A = A 4. A + (－A ) = (－A ) + A = 0 設 A、B 都是二階方陣，h、k 是任意實數，則： 1. k ( A + B ) = k A + k B 2. ( h k ) A = h k A 3. ( h + k ) A = h A + k A 4. 1 A = A

2. 矩陣的運算。 2-2 矩陣乘法運算

矩陣乘法 設 A、B 都是二階方陣 則

例題03 設 A、B 都是二階方陣 試求 A B 則

矩陣乘法特殊之處 任意兩個矩陣一定可以相乘嗎？ 問題１：怎麼樣的矩陣才可以相乘？ 答：前面矩陣的行數與後面矩陣的 列數相同時才可以相乘。 NO 任意兩個矩陣一定可以相乘嗎？ 問題１：怎麼樣的矩陣才可以相乘？ 問題２：相乘之後的矩陣是幾列幾行？ 答：前面矩陣的行數與後面矩陣的 　　列數相同時才可以相乘。 答：

3. 矩陣的應用。 3-1 轉移矩陣、馬可夫鏈

轉移矩陣 設 A、B 是二種不同的狀態，彼此相互變化。即 A 有 a 的機率保持 A，有 b 的機率變成 B；且 B 有 c 的機率變成 A，有 d 的機率保持 B；那我們可以這樣表示： A B

例題04 捷運局曾做過調查，消費者中原來搭捷運者有80%繼續搭乘捷運，有20%會改為自行開車；原來自行開車的人有30%改搭捷運，有70%會繼續開車，則： 搭捷運 自行開車

例題04 若長期下來，搭乘捷運的比例約佔多少呢？設搭乘捷運：自行開車＝x：y 故搭乘捷運：自行開車＝3：2 因此，搭乘捷運的比例約佔60%。

轉移矩陣的特性 我們發現轉移矩陣有幾項特性： A B 因為 a,b,c,d 都是機率，所以都是介於 0 與 1之間的實數。 每一行的和都是 1。

3. 矩陣的應用。 3-2 二階反方陣

什麼是反方陣？ 設一 n 階方陣 A，若有另一方陣 B 使得 則稱 B 是 A 的反方陣，以 表示。 如果一 n 階方陣 A 有反方陣， 則稱 A 是可逆方陣。

關於反方陣 每個二階方陣一定有反方陣嗎？ 問題１：一個二階方陣在什麼條件下可逆？ 答：二階方陣的行列式值不等於零。 NO 每個二階方陣一定有反方陣嗎？ 問題１：一個二階方陣在什麼條件下可逆？ 問題２：如何得到一可逆方陣的反方陣？ 答：二階方陣的行列式值不等於零。 答：

例題05 設 A 是二階方陣 試求 則 且

例題06 設 A、B 是二階方陣，且滿足 AX = B 試求 X 且 因為 則

4. 平面上的線性變換 與二階方陣。 4-1 伸縮、旋轉、鏡射、推移

線性變換－旋轉 座標平面上一點 (x,y) ，以原點為圓心， 逆時針方向旋轉　 角度，得到另一點 (X,Y) 若以矩陣表示

線性變換－鏡射 座標平面上一點 (x,y)， 以 x 軸為鏡射軸時， 則變成點 (x,-y) 以 y 軸為鏡射軸時， 則變成點 (-x,y) 以 直線 y=x 為鏡射軸時， 則變成點 (y,x)

線性變換－伸縮、推移 座標平面上一點 (x,y)， 水平（x 方向）縮放 h 倍 垂直（y 方向）縮放 k 倍 當點 (x,y) 變為 ( x+ky , y ) 時， 我們稱為往 x 方向的推移。 當然，也可以往 y 方向作推移。

例題07 若三角形 是正三角形， 且 C 點在第二象限，則求 C 點坐標 將 B 以 A 為中心逆時針旋轉 得到 C 點坐標 若三角形　　　　　　　　　　是正三角形， 且 C 點在第二象限，則求 C 點坐標 將 B 以 A 為中心逆時針旋轉　　 得到 C 點坐標 而逆時針旋轉矩陣為 則 所以

4. 平面上的線性變換 與二階方陣。 4-2 線性變換的面積關係

線性變換－面積變換 座標平面上的圖形，經過線性變換後， 變成新的圖形，則新舊面積的比值為 線性變換的行列式值。 例如：三角形ABC經過矩陣 的變換後

例題08 設 M 是線性變換方陣 將三角形 變換成新三角形 已知　　　的面積為 3 且 求新三角形的面積 所以　　　　　的面積為

線上測驗20題 1～8 單選題 9～20 多重選擇題 內容包含基本觀念題 7 題、 中等程度題 6 題、聯考題 7 題。 矩陣線上測驗20題

教學網頁設計理念 希望透過教學檔案的製作，學生可以 在網路上先熟悉該單元，配合上課 內容，讓學生有更多元學習的機會。 希望透過教學檔案的製作，學生可以 在網路上先熟悉該單元，配合上課 內容，讓學生有更多元學習的機會。 設計20題線上測驗，讓學生可以了解 自己是否熟悉此單元，並知道自己在 此單元還有哪些地方不了解不熟悉。

教學網頁設計理念 線上20題測驗完後，將與學生檢討 該單元尚不熟悉的部份，課堂上再 予以加強，然後再一次測驗。 線上20題測驗完後，將與學生檢討 該單元尚不熟悉的部份，課堂上再 予以加強，然後再一次測驗。 此外，還有另外的20題測驗，以供 補救教學使用，讓學生再次地了解 熟悉此單元。

教學網頁預期目標 利用網路的教學與測驗，讓學生能 達成矩陣單元的教學目標。 學生能利用矩陣解決線性方程組。 學生會矩陣的基本運算。 利用網路的教學與測驗，讓學生能 達成矩陣單元的教學目標。 學生能利用矩陣解決線性方程組。 學生會矩陣的基本運算。 學生能利用矩陣解決應用問題。

教學網頁預期目標 學生會利用矩陣處理幾何上的線性 變換，並計算變換後圖形的面積。 學生會利用矩陣處理幾何上的線性 變換，並計算變換後圖形的面積。 希望透過線上教學與線上測驗讓 學生有多元學習的機會，並且因為 網路的便利性，讓學生學習不受 時間限制。

網頁設計規劃流程 線上教學與測驗： 1. 設計教學內容。 2. 規劃主題測驗20題。 3. 檢討學生錯誤內容。 4. 另外設計補救教學20題。

參考資料 龍騰版高中數學第三冊（96版） 龍騰版高中數學數學甲上冊（96版） 大學入學考試中心歷年試題 （學測、指考） http://www.ceec.edu.tw/