《 University Physics 》 Revised Edition 普通物理 (精華版) 《 University Physics 》 Revised Edition 歐亞書局
第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣 體定律 18.1 溫度 18.2 溫標 18.3 熱力學第零定律 18.4 理想氣體狀態方程式 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣 體定律 18.1 溫度 18.2 溫標 18.3 熱力學第零定律 18.4 理想氣體狀態方程式 18.5 定容氣體溫度計 18.6 熱膨脹 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.237
18.1 溫度 溫度計（thermometer）是用來測量溫度的儀器。某物質或裝置的任何特性若能因加熱或冷卻而改變的話，就可以據以做為溫度計。 例如：溫度的改變可以用諸如毛細管內液柱 長度的變化、固定體積氣體壓力的變化或導線電阻的變化成正比等特性來定義。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.238
1595 年前後，伽立略（Galileo）首創能顯示出溫度變化的裝置，如圖 18 1595 年前後，伽立略（Galileo）首創能顯示出溫度變化的裝置，如圖 18.1a 為其驗溫器（thermoscope）：由一具有長柄的玻璃泡組成的裝置。 伽立略先以手對泡內的空氣加熱，然後將驗溫器的長柄倒立插入含有染色液體的容器中。空氣冷卻後，液體升至玻璃管中。其後若將玻璃泡加熱或冷卻都會使管內的液柱上升或下降。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.238
圖18.1 (a) 伽立略的驗溫器。( b) 大約在1650 年時 Cimento 學院所製造的溫度計。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.238
18.2 溫標 1742 年攝氏（A. Celsius）以水的凝固點和 沸點來規劃其溫標。 18.2 溫標 1742 年攝氏（A. Celsius）以水的凝固點和 沸點來規劃其溫標。 在凝固點液態水和冰可以在平衡下共存；也就是說沒有從冰變水或水變冰的趨勢，在沸點時液體和氣體共存於平衡狀態。 因為這兩點的溫度與壓力有關，所以固定壓力為一大氣壓（1 atm）。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.238
在此二溫度時將液面的位置標示記號，並將兩者間的距離分成等間隔，在攝氏溫標（Celsius scale）有 100 個間隔或攝氏度數（℃）。 攝氏選擇沸點溫度為零而凝固點為 100！這樣怪異的作法不久就反過來，凝固點溫度定為攝氏零度，0℃，沸點溫度為 100℃。 在華氏溫標（Fahrenheit scale）中凝固點和沸點間有 180 個間隔或華氏度數（℉）。 凝固點定為華氏 32 度，32℉，沸點為 212℉（見圖 18.2）。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.238
圖18.2 一種玻璃內裝液體的溫度計。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.238
18.3 熱力學第零定律 任意系統的狀態，像瓶中的氣體，可用溫度、質量、壓力和體積等宏觀（macroscopic）狀態變數（state variables）來描述。 假設一系統是孤立於與外界隔絕並且與外界無能量交換的容器內，實際上容器可以用保麗龍或玻璃纖維等絕熱材料製成。 例如我們考慮活塞汽缸內的氣體，若活塞忽然移動而壓縮氣體，開始時最靠近活塞附近的壓力會大於遠離活塞區域部份的壓力，經過一段 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.239
時間後汽缸內的氣體將達到相同壓力的平衡狀態。 同樣的若僅在汽缸一端加熱則汽缸內之溫度不會相同，將熱源移去後系統終將達到每一點溫度相同的狀態。 剛開始時，狀態變數會改變，經足夠的時間後就不再變化。 而當所有狀態變數成為不隨時間改變之常數時，我們稱此時的系統處於熱平衡（thermal equilibrium）。 在此情況下整個系統的各狀態變數之值均固定。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.239
若兩系統溫度相同時則互為熱平衡，雖然兩系統的其他狀態變數不隨時間變化，熱平衡並不表示這兩系統的這些變數值必須相同。 例如兩容器的氣體可以有相同的溫度但壓力及體積並不相同。 考慮三個系統 A、B 和溫度計 C。設 A 與 C 是熱平衡，B 和 C 也是熱平衡。則此時 A 是否也與 B 達熱平衡？這答案並不是顯而易見的。 例如磁鐵和兩鐵釘間互有吸引力，但兩鐵釘間並不互相吸引。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.239
實驗結果指出答案是肯定的：A 和 B 會是熱平衡。此即熱力學第零定律（zeroth law of thermodynamics）： 兩物體皆與第三者熱平衡則該兩物體也互為熱 平衡。 根據第零定律，對於在熱平衡的兩系統而言，它們並不一定要有真正的熱接觸，而是兩者有相同穩定的溫度。這是在溫度計的使用上之重要假設。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.239
18.4 理想氣體狀態方程式 波以耳（Robert Boyle）於 1662 年發現在定溫時氣體的體積與壓力成反比：V ∞ 1/P，亦即 18.4 理想氣體狀態方程式 波以耳（Robert Boyle）於 1662 年發現在定溫時氣體的體積與壓力成反比：V ∞ 1/P，亦即 （波以耳） 大約在 1800 年左右，查理（J. Charles）和給呂薩克（J. L. Gay-Lussac）各自發現在定壓下氣體體積的改變與溫度的改變成正比。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.239
此點溫度正對應於由18.5節所定義克氏溫標之絕對零度。 圖 18.3a 為不同氣體或不同量的同種氣體，其體 積隨攝氏溫度 tc 變化的情形，圖中有趣的特性是當不同的線外插延伸之後，都會與溫度軸交會在－273.15℃ 的同一點。（必須外插延長的原因是因為氣體在高於此溫度時早已液化了）。 此點溫度正對應於由18.5節所定義克氏溫標之絕對零度。 克氏溫度（Kelvin temperature；T ）的測量單位 K 和攝氏溫度 tc 的關係為 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.240
以克氏溫度表示的話，查理–給呂薩克定律寫成 （查理–給呂薩克） 如圖18.3b。給呂薩克並發現氣體體積一定時（定容），壓力的改變與溫度的改變成正比。 以絕對溫度來表示，壓力與溫度關係為 （給呂薩克） 如圖 18.4。這三位之研究結果可以合併成一個式子： 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.240
圖18.3 氣體樣本的體積是下列溫度的函數：(a) 攝氏溫度，(b) 克氏溫度 T（= tc ＋ 273.15）。不同的線代表不同的氣體。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.240
圖18.4 不同氣體的壓力是克氏溫度 T 的函數。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.240
合併這式與 PV ∞ T，我們得到理想氣體狀態方程式： PV 的值由存在氣體的分子數N 來決定。在某一壓力和溫度下，V ∞ N；在某一體積和溫度下，P ∞ N。因此，PV ∞ N。（為何不是 N2？） 合併這式與 PV ∞ T，我們得到理想氣體狀態方程式： 比例常數 k，稱為波茲曼常數（Boltzmann's constant）： 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.240
為了方便起見，我們常以莫耳數（number of moles）來取代大量的分子數。 此數目稱亞佛加厥常數（Avogadro’s number）： 注意 mol－1 表示每莫耳的含量。 一物質每莫耳所具有的質量稱為分子量，其單位為克/莫耳或在SI 單位為仟克／莫耳（見表18.1）。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.240
表18.1 分子量(g/mol) 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.241
R 稱為普適氣體常數（universal gas constant）。 n 莫耳所含分子數 N 為 因此，方程式 18.1 常寫成 而 R 稱為普適氣體常數（universal gas constant）。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.241
在導出式 18.1 時我們假設氣體的特性可以使其狀態變數間的圖形外插延長至原點而成一直線。 方程式 18.1（或 18.2）稱做狀態方程式，因為它描述系統狀態變數間的相互關係，此方程式只在P、V 和 T 有明確定義的平衡狀態下才有效。 在導出式 18.1 時我們假設氣體的特性可以使其狀態變數間的圖形外插延長至原點而成一直線。 符合式 18.1 氣體則稱為理想氣體（ideal gas）。在低溫時，真實氣體並不符合 P ∞ T 和 V ∞ T 的線性關係。 事實上，圖上的線甚至不通過原點。然而當氣體在稀薄及溫度比其液化溫度甚高的情況下，理想氣體狀態方程式大致上是正確的。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.241
例題 18.1 一莫耳理想氣體在溫度0℃ 及1 atm 時，體積為何？ 解 因 0℃ ＝ 273 K，1 atm（大氣壓力）＝ 101 kPa，1莫耳 n ＝ 1。由方程式 18.2 中我們得到 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.241
例題 18.2 溫度 10℃ 時汽車輪胎內的絕對壓力為 310 kPa。經過一段長途駕駛後輪胎內溫度升高至 30℃，此時輪胎內的壓力為何？ 解 因氣的莫耳數是固定的，由方程式 18.1 得 輪胎的體積並沒有顯著的改變，故 V1 ＝ V2，上面方程式變為 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.241
將溫度改換為絕對溫度並把已知數值代入，求得 P2 ＝ (303 K/283 K) (310 kPa) ＝ 332 kPa。 例題 18.2 (續) 將溫度改換為絕對溫度並把已知數值代入，求得 P2 ＝ (303 K/283 K) (310 kPa) ＝ 332 kPa。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.241
18.5 定容氣體溫度計 定容氣體溫度計中之氣體局限於泡狀容器內，並使該容器與如液體等待測物體接觸在一起（見圖18.5）。 18.5 定容氣體溫度計 定容氣體溫度計中之氣體局限於泡狀容器內，並使該容器與如液體等待測物體接觸在一起（見圖18.5）。 氣體的壓力和溫度同時變化，若氣壓增加，A 管的水銀面將降低。 水銀儲存槽 R 可以上升或下降，使 A 管的水銀面恢復至固定的刻劃上，即可使氣體的體積保持定值。 氣體的氣壓由 A、B 兩管內水銀柱面的高低差來決定。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.242
圖18.5 定容溫度計。儲存槽 R 的高度可以調整使左測液面永遠在 A 的位置。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.242
我們需要兩個固定點來刻劃溫標，而水的沸點和凝固點並不易測得很精確。 因此在氣體溫度計上，首先取壓力 P ＝ 0 之溫度（外插而得到）0 K 為第一固定點。 第二固定點為水的三相點（triple point）溫度，即水的固態（冰）、液態（水）及氣態（水蒸氣）共存之溫度。此點在溫度 0.01℃ 、壓力為 4.58 mm 水銀柱（610 Pa）。 水的三相點在克氏溫標或絕對溫標（absolute temperature）定義為 273.16 K，其他溫度 用下述方式測量。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.242
我們將定量的氣體，如氮氣裝入泡狀容器內。記下水三相點溫度時泡內氣體的壓力 Ptr。 任何其他點的絕對溫標（absolute temperature）可以由該溫度時的壓力 P 藉下列線性關係來定義 若泡內氣體量減少的話，三相點的壓力也將降低，依方程式 18.3 算出的溫度也發現有些微的不同，而使用不同的氣體時溫度也會有些微的差異存在。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.242
然而不管我們使用何種氣體，如圖 18.6 所示當 Ptr 趨於零時定容溫度計所記錄的溫度趨於相同的值。 當泡內氣體變得很稀薄時，氣體分子間的距離更遠且相互間的作用更少，因此氣體的性質更趨近理想氣體。 理想氣體溫度（ideal gas temperature）由 Ptr 趨於零時的極限值來定義： 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.242
圖18. 6 當定容溫度計泡狀容器內的氣體數量減少時，任何氣體（由方程式 18 圖18.6 當定容溫度計泡狀容器內的氣體數量減少時，任何氣體（由方程式 18.3 所定） 的溫度呈線性減少。氣體在水的三相點之壓力趨於零時，所有氣體可得到相同的溫度。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.242
18.6 熱膨脹 大部分材料隨溫度的上升而膨脹。鐵軌、橋樑和鐘錶機械對於熱膨脹都有某種補償方法。 18.6 熱膨脹 大部分材料隨溫度的上升而膨脹。鐵軌、橋樑和鐘錶機械對於熱膨脹都有某種補償方法。 圖 18.7a 顯示橋的伸縮縫，而圖 18.7b 則顯示熱天鐵軌會發生的情形。 當均質物體膨脹時，物體上任何兩點間的距離均會增加。 圖 18.8 顯示中間有一個圓洞的金屬塊，物體的膨脹就如同照相放大一般，即圓洞跟金屬膨脹的比例相同，圓洞並不致變小。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.243
圖18.7 (a) 橋上的伸縮縫，(b) 熱天時鐵路鐵軌呈現彎曲的現象。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.243
圖18.8 帶有圓孔的金屬板在熱膨脹時整個物體像照相放大一樣，圓孔也同樣變大。 圖18.8 帶有圓孔的金屬板在熱膨脹時整個物體像照相放大一樣，圓孔也同樣變大。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.243
固體的膨脹可以用任何線形尺寸的變化來討論。考慮原長度 L0 的細長棒子，當溫度變化 ΔT 時，我們發現長度變化量 ΔL 與 L0 及溫度變化成正比，可以寫成 其中α稱為線膨脹係數（coefficient of linear expansion），單位為（℃）－1 或 K－1。方程式18.5 如改寫成 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.243
可知所謂線膨脹係數就是每單位溫度改變的長度變化率，係數α通常是溫度的函數，故此方程式只在有限的ΔT 內才成立。 對於某些固體，如木材，α同時與材料內的方向有關。 表 18.2 為在室溫時某些材料線膨脹係數的平均值。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.243
兩金屬之線膨脹係數的不同可用以設計溫度感應開關或溫度計。 兩種線膨脹係數不同的金屬焊接在一起做成雙金屬板條（圖 18.9）。 當溫度上升時，金屬板條會彎向線膨脹係數較小的金屬這一側。 雙金屬線圈的扭轉特性可用在某種溫度計中來控制化油器塞子的轉動，或恆溫器以及電路斷電器 上。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.243
圖18.9 當溫度變化時，雙金屬板條會彎曲。此板條可製成線圈。 圖18.9 當溫度變化時，雙金屬板條會彎曲。此板條可製成線圈。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.243
流體的熱膨脹可用體積的改變量 ΔV 來表示，ΔV 與溫度的改變量 ΔT 成正比： 其中 V0 為流體的原體積，β稱為體膨脹係數（coefficient of volume expansion），單位為 (℃)－1 或 K－1。 體膨脹係數β 隨溫度而變，以水而言會有一小段溫度範圍為負值（見圖 18.10）。 對固體而言，例題 18.3 可證明 β＝ 3α。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.243
表18.2 膨脹係數（20℃） 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.244
康寧(Corning) 製的盤子可承受極大之熱應力。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.244
圖18.10 質量為 1 克水的體積是溫度的函數，在 4℃ 時水的密度最大。 圖18.10 質量為 1 克水的體積是溫度的函數，在 4℃ 時水的密度最大。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.244
例題 18.3 α 和β在等向性固體（固體的物理性質與方向無關者）的關係為何？ 解 考慮一邊長 L 的正立方體，其體積 V ＝L3，體積 V 對邊長 L 的變化率 dV/dL ＝3L2。體積 V 的自變量 兩側除以 V ＝ L3 得 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.244
方程式 18.5 及 18.7 可寫成 ΔT ＝ΔL/ (αL0) 及ΔT ＝ΔV/ (βV0)。對於某ΔT，我們由方程式 (i) 可得 例題 18.3 (續) 方程式 18.5 及 18.7 可寫成 ΔT ＝ΔL/ (αL0) 及ΔT ＝ΔV/ (βV0)。對於某ΔT，我們由方程式 (i) 可得 注意，對於給定材料來說，其空圓柱部分，體積的變化和實心圓柱相同。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.244
例題 18.4 一鋼棒的兩端是固定，當鋼棒的溫度降低 80 K 時棒內的熱應力為何？（鋼的楊氏係數 Y ＝ 2 × 1011 N/m2）。 解 當溫度改變 ΔT 時鋼棒改變的長度為 其中 L 為原長度。由楊氏係數的定義方程式 14.5，我們可求得棒內的應力為 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.244
因棒長固定，由應力造成之伸長量ΔL 必等於因溫度改變產生之ΔL 的負值，由方程式 (i) 和 (ii) 可得 例題 18.4 (續) 因棒長固定，由應力造成之伸長量ΔL 必等於因溫度改變產生之ΔL 的負值，由方程式 (i) 和 (ii) 可得 棒中的應力為張應力，此值約為大多數鋼材破壞應力的 2－3％。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.244
水在 0 到 40C 之間的熱膨脹會呈現異常，如圖 18.10 所示，在這兩溫度間水的體積隨溫度上升而減少。 當溫度繼續下降時，表面的冷水溫度較下面的水為低且密度也較小，因此留在上部。 最後，上部的水開始結冰，若水深夠的話，則下部的水仍可保持液態，水這種特性使魚和其他水中生物得以在冬天過後仍能生存下來。 歐亞書局 第 18 章 溫度、熱膨脹、理想氣體定律 P.245