第五章 影像復原與重建 5.1 影像退化/復原城續的模型 5.2 雜訊模型 5.3 只有雜訊時的復原-空間濾波 第五章 影像復原與重建　 5.1 影像退化/復原城續的模型 5.2 雜訊模型 5.3 只有雜訊時的復原-空間濾波 5.4 以頻率或綠波減少週期性雜訊 5.5 線性.位置不變的退化 5.6 估測退化函數 5.7 反濾波 5.8 最小均方誤差濾波 5.9 限制性最小平方誤差濾波 5.10 幾何平均濾波器 5.11 從投影作影像重建 摘　　要 參考文獻與進階讀物 習　　題

5.1 影像退化 / 復原程序的模型 圖5.1 影像退化 / 復原程序的一個模型 5.1　影像退化 / 復原程序的模型　 圖5.1 影像退化 / 復原程序的一個模型 H是線性位置不變的程序，則退化影像在空間域 (spatial domain) 被定義為： g(x, y) = h(x, y)  f(x, y) + (x, y) 等效的頻率域 (frequency domain) 表示式： G(u, ) = H(u, )F(u, ) + N(u, ) 第5章 影像復原與重建 P.305

5.2雜訊模型 數位影像中雜訊的主要來源是在影像擷取及 / 或傳輸期間出現。 影像在傳送期間被損壞的主要原因為用來傳送之通道中的干擾 第5章 影像復原與重建 P.305

5.2.2一些重要的雜訊機率密度函數 高斯隨機變數z的PDF定義為 雷利雜訊的PDF為 平均值和變異數為 和 圖5.2一些重要的機率密度函數

指數 (exponential) 雜訊的PDF為 Erlang雜訊的PDF為 和 平均值和變異數為 指數 (exponential) 雜訊的PDF為 和 平均值和變異數為 圖5.2一些重要的機率密度函數 第5章 影像復原與重建 P.307

( 雙極 ) 脈衝 [(bipolar) impulse] 雜訊的PDF為 均勻 (uniform) 雜訊的PDF為 平均值為 變異數為 脈衝 ( 胡椒鹽 ) 雜訊 ( 雙極 ) 脈衝 [(bipolar) impulse] 雜訊的PDF為 圖5.2一些重要的機率密度函數 第5章 影像復原與重建 P.308

第5章 影像復原與重建 P.308

若b > a，則強度b會看起來像影像中的一個亮點。反之，準位a會看起來像一個暗點 假使 或 為零，則脈衝雜訊稱為單極 (unipolar)。 假使兩個機率都不為零，特別是如果它們又約略相等時，脈衝雜訊值將類似隨機地分佈在影像上的胡椒鹽顆粒。因為這個原因，雙極脈衝雜訊也被稱為胡椒鹽 (salt-and-pepper) 雜訊 。 第5章 影像復原與重建 P.309

圖5.3 用來說明圖5.2所示之雜訊PDF特性的測試圖樣

圖5.6 ( 續 ) 對圖5.3中的影像加入指數、均勻和胡椒鹽雜訊所產生的影像和直方圖。 第5章 影像復原與重建 P.310

5.2.3週期性的雜訊 影像中的週期性雜訊主要是來自於在影像擷取期間受到電機或機電干擾。空間有關之雜訊的唯一類型。 週期性雜訊可以經由頻率域的濾波而大大減少。 第5章 影像復原與重建 P.311

5.2.4雜訊參數的估測 週期雜訊的參數通常由影像的傅立葉頻譜的檢視來估測。 週期雜訊常會產生即使用視覺分析也常常可以偵測到的頻率脈衝。方法是嘗試直接從影像上推論出雜訊成分的週期性 如果有成像系統，則探討系統之雜訊特性的一個簡單方式是擷取一組「單調」環境的影像。 圖5.6 從圖5.4中之 (a) 高斯；(b) 雷利；(c) 均勻雜訊影像利用小長條 ( 顯示成插入物 ) 所計算出的直方圖。 第5章 影像復原與重建 P.312

5.3只有雜訊時的復原－空間濾波 g(x, y) = f(x, y) + (x, y) 和 G(u, ) = F(u, ) + N(u, ) 第5章 影像復原與重建 P.314

5.3.1平均濾波器 幾何平均濾波器 算術平均濾波器 調和平均濾波器 第5章 影像復原與重建 P.315

圖5.7 X光影像；(b) 被加成性高斯雜訊污損的影像；(c) 使用一個3  3大小的算術平均濾波器濾波的結果；(d) 使用一個同樣大小的幾何平均濾波器濾波的結果。 第5章 影像復原與重建 P.316

Q稱為濾波器的階數 (order)。 於正的Q值，濾波器除去胡椒式雜訊；對於負的Q值，濾波器除去鹽式雜訊。它無法同時處理這兩個雜訊。注意到，如果Q = 0，則反向調和平均濾波器簡化為算數平均濾波器；而如果Q = -1，則它會簡化成調和平均濾波器。 第5章 影像復原與重建 P.316

圖5. 8 (a) 被機率0. 1的胡椒式雜訊所污損的影像；(b) 被相同機率的鹽式雜訊所污損的影像；(c) 使用一個3  3、1 圖5.8 (a) 被機率0.1的胡椒式雜訊所污損的影像；(b) 被相同機率的鹽式雜訊所污損的影像；(c) 使用一個3  3、1.5階的反向調和濾波器濾波對 (a) 的結果；(d) 以Q = -1.5對 (b) 濾波的結果。 第5章 影像復原與重建 P.317

圖5.9 在反向調和濾波中選取錯誤的正負號所導致的結果。(a) 使用3  3大小和Q = -1.5的反向調和濾波器對圖5.8(a) 濾波的結果；(b) 以Q = 1.5對圖5.8(b) 濾波的結果 第5章 影像復原與重建 P.317

5.3.2排序統計濾波器 中值濾波器 最大和最小濾波器 中點濾波器 Alpha微調平均濾波器 第5章 影像復原與重建 P.318

圖5.10 (a) 被機率 的胡椒鹽雜訊所污損的影像；(b) 用大小為3  3之中值濾波器濾波一回的結果；(c) 以此濾波器處理 (b) 的結果；(d) 用同樣的濾波器處理 (c) 的結果。 第5章 影像復原與重建 P.320

用大小為3  3的最大濾波器對圖5.8(a) 濾波的結果； (b) 用同樣大小的最小濾波器對圖5.8(b) 濾波的結果。 圖5.11 用大小為3  3的最大濾波器對圖5.8(a) 濾波的結果； (b) 用同樣大小的最小濾波器對圖5.8(b) 濾波的結果。 第5章 影像復原與重建 P.320

圖5.12 由加成性均勻雜訊所污損的影像；(b) 影像額外被胡椒鹽雜訊所污損，(b) 中的影像是以55的下列濾波器濾波；(c) 算術平均濾波器；(d) 幾何平均濾波器；(e) 中值濾波器；以及 (f) d = 5的Alpha微調平均濾波器。 第5章 影像復原與重建 P.321

5.3.3自適性濾波器 一旦選定後，至目前為止所討論的濾波器會運用在影像上，而不管影像特性是如何從一點到另一點間改變。 第5章 影像復原與重建 P.322

圖5.13 被零平均值和變異數為1000的加成性高斯雜訊所污損的影像；(b) 算術平均濾波的結果；(c) 幾何平均濾波的結果；(d) 自適性雜訊降低濾波的結果。所有濾波器的大小都是7  7。 第5章 影像復原與重建 P.323

自適性中值濾波器依本節列出的某些條件改變 ( 增加 ) 的大小。 自適性中值濾波器演算法依二階段 A階段： 假如A1 > 0且A2 < 0，跳到B階段否則， 增加視窗的大小 ，重複A階段否則 假如視窗尺寸  ，輸出 B階段： 假如B1 > 0且B2 < 0，輸出 否則，輸出 第5章 影像復原與重建 P.324

的胡椒鹽雜訊所污損的影像；(b) 以7  7的中值濾波器濾波的結果；(c) 以 圖5.14 (a) 被機率 做自適性中值濾波的結果。 的胡椒鹽雜訊所污損的影像；(b) 以7  7的中值濾波器濾波的結果；(c) 以 第5章 影像復原與重建 P.326

5.4 以頻率域濾波減少週期性雜訊 5.4.1帶拒濾波器 圖5.15 由左到右，理想、(1階 ) 的巴特沃斯和高斯帶拒濾波器的透視圖。 圖5.15 由左到右，理想、(1階 ) 的巴特沃斯和高斯帶拒濾波器的透視圖。 第5章 影像復原與重建 P.327

由弦式波雜訊所污損的影像；(b) 是 (a) 的頻譜； (c) 巴特沃斯帶拒濾波器 ( 白色代表1)；(d) 濾波的結果 圖5.16 由弦式波雜訊所污損的影像；(b) 是 (a) 的頻譜； (c) 巴特沃斯帶拒濾波器 ( 白色代表1)；(d) 濾波的結果 第5章 影像復原與重建 P.328

5.4.2帶通濾波器 圖5.17 以帶通濾波所獲得的圖5.16 (a) 中影像的雜訊圖樣 第5章 影像復原與重建 P.328

5.4.3凹陷濾波器 圖5.18 (a) 理想；(b) 巴特沃斯 (2階 )，以及 (c) 高斯凹陷 ( 拒絕 ) 濾波器的透視圖。 第5章 影像復原與重建 P.329

圖5.19 佛羅里達州和墨西哥灣的衛星影像 ( 顯示出水平掃描線 )；(b) 頻譜；(c) 重疊在 (b) 之上的凹陷通過濾波器；(d) 空間域中的雜訊圖樣；(e) 凹陷帶拒濾波的結果 第5章 影像復原與重建 P.331

圖5.20 (a) 由水手6號 (Mariner 6) 所拍的火星地形影像；(b) 週期性干擾的傅立葉頻譜 第5章 影像復原與重建 P.332

像脈衝 ( 小光點 ) 來獲得退化所造成的脈衝響應。 5.6估測退化函數 5.6.2以實驗估測 像脈衝 ( 小光點 ) 來獲得退化所造成的脈衝響應。 脈衝的傅立葉轉換是一個常數 圖5.24 以脈衝特性做退化估測。(a) 光的脈衝 ( 放大 )；(b) 影像 ( 退化的 ) 脈衝。 第5章 影像復原與重建 P.338

圖5. 25 大氣擾流模型的說明。(a) 可忽略的擾流；(b) 嚴重的擾流，k = 0. 0025；(c) 輕微的擾流，k = 0 圖5.25 大氣擾流模型的說明。(a) 可忽略的擾流；(b) 嚴重的擾流，k = 0.0025；(c) 輕微的擾流，k = 0.001；(d) 低度的擾流，k = 0.00025。( 原始影像由NASA所提供。) 第5章 影像復原與重建 P.341

圖5.26 (a) 原始影像；(b) 使用 (5.6-11) 式裡的函數產生模糊的結果，其中a = b = 0.1, T = 1。 第5章 影像復原與重建 P.342

5.7反濾波 第5章 影像復原與重建 P.343

圖5.27 用 (5.7-1) 式復原圖5.25(b)，(a) 使用全濾波器的結果；(b) 以H截止掉半徑40以外的結果；(c) 半徑70以外；(d) 半徑85以外。 第5章 影像復原與重建 P.344

5.8 最小均方誤差 (Wiener) 濾波 第5章 影像復原與重建 P.345

圖5.28 比較反濾波和溫納濾波。(a) 圖5.25(b) 之全反濾波的結果；(b) 限制半徑的反濾波器的結果；(c) 溫納濾波器的結果。 第5章 影像復原與重建 P.347

5.9限制性最小平方濾波 圖5.30 限制性最小平方濾波的結果。將 (a)、(b) 和 (c) 分別與(c)、(f) 和 (i) 之溫納濾波相比。 第5章 影像復原與重建 P.348

(a) 由移動性模糊和加成性雜訊所污損的8位元影像；(b) 反濾波的結果；(c) 溫納濾波的結果；(d)~(f)，一樣的序列，但雜訊變異數的大小少一個數量級；(g)~(i)，一樣的序列，不過雜訊變異數比 (a) 少五個數量級。注意在 (h) 中，去模糊影像是如何透過一層雜訊「幕」看得相當清楚。 圖5.29 第5章 影像復原與重建 P.349

5.10 幾何平均濾波器 圖5.31 使用正確的雜訊參數遞迴決定圖5.16 (b) 的限制性最小平方復原；(b) 以錯誤的雜訊參數所獲得的結果。 第5章 影像復原與重建 P.353

5.11 從投影作影像重建 檢視從一串投影中重建一張影像的問題，並把焦點放在X光的電腦斷層攝影術 (computed tomography, CT)。 早期且仍然最廣被使用的一種CT，目前是數位影像處理在醫學上主要的應用之一。 第5章 影像復原與重建 P.354

圖5.33 和圖5.32(a) 相同；(b)~(e) 用相隔45 的1、2、3和4個倒投影的重建；(f) 以相隔5.625 的32個倒投影重建 ( 注意到模糊化 ) 第5章 影像復原與重建 P.356

圖5.32 顯示一個簡單物體、輸入平行射束和條狀偵測器的平面區域；(b) 將感應的長條資料 ( 亦即一維的吸收輪廓 ) 倒投影的結果；(c) 旋轉90 的射束和偵測器；(d) 倒投影；(e) (b) 和 (d) 的和。倒投影交會處的強度是個別倒投影強度的兩倍 第5章 影像復原與重建 P.355

有兩個物體的區域；(b)~(d) 用相隔45 的1、2和4個倒投影的重建；(e) 以相隔5.625 的32個倒投影重建；(f) 以相隔2.8125 的64個倒投影重建。 圖5.34 第5章 影像復原與重建 P.357

5.11.2 電腦斷層攝影術 (CT) 的原理 圖5.35 四代的CT掃描器。帶箭頭虛線表示逐步的線性動作。帶箭頭的虛弧線代表逐步旋轉。對象頭上的叉記號表示垂直於紙面的線性移動。在 (a) 和 (b) 中的雙箭頭表示訊號源 / 偵測器單元先被平移，然後再被帶回到其原來的位置 第5章 影像復原與重建 P.357

5.11.5 投影與Randon轉換 圖5.36 一條直線的法線表示方式 圖5.37 平行射線光束的幾何學 第5章 影像復原與重建 P.360

第5章 影像復原與重建 P.362

第5章 影像復原與重建 P.365

圖5.39 兩張影像及其sinogram (Radon轉換 )。sinogram的每一列是沿著垂直軸上的對應角度的投影。影像 (c) 稱為Shepp-Logan假體(Shepp-Logan phantom)。在其原始的形式中，假體的對比度相當低。在此顯示有增強以方便觀看。 第5章 影像復原與重建 P.364

圖5.39中之sinogram的倒投影 第5章 影像復原與重建 P.366

圖5. 48從經濾波扇形倒投影得到矩形影像的重建。(a) 和的1增量；(b) 0. 5 增量；(c) 0. 25 增量；(d) 0 第5章 影像復原與重建 P.366

圖5. 49從經濾波扇形倒投影得到頭部假體影像的重建。(a) 和的1增量；(b) 0. 5增量；(c) 0. 25增量；(d) 0 第5章 影像復原與重建 P.378