第一章 绪论

数字信号处理（DSP） （Digital signal processing) 数字信号处理: 是20世纪60年代，随着信息学科和计算机学科的高速发展而迅速发展起来的一门新兴学科。它的重要性日益在各个领域的应用中表现出来。 数字信号处理是把信号用数字或符号表示成序列，通过计算机或通用（专用）信号处理设备，用数字的数值计算方法处理（例如：滤波、变换、增强、估计、识别等），达到提取有用信息便于应用的目的。

一、数字信号处理(DSP) (Digital Signal Processing) 凡是利用数字计算机或专用数字硬件、对数字信号所进行的一切变换或按预定规则所进行的一切加工处理运算。 例如：滤波、检测、参数提取、频谱分析等。 对于DSP:狭义理解可为Digital Signal Processor 数字信号处理器。广义理解可为Digital Signal Processing 译为数字信号处理技术。在此我们讨论的DSP的概念是指广义的理解。

3、信号处理 信号处理是研究系统对含有信息的信号进行处理（变换），以获得人们所希望的信号，从而达到提取信息、便于利用的一门学科。 x(t) y(t) 系统 处理

第三节 数据信号处理的特点 与模拟系统(ASP)相比，数字系统具有如下特点： 1、精度高 2、可靠性高 3、灵活性大 4、易于大规模集成 5、时分复用 6、可获得高性能指标 7、二维与多维处理

五、DSP技术的发展方向 数字信号处理技术已经成熟,正在获得广泛的应用。目前在电子和通信领域正在进行一场数字化革命,ＤＳＰ在其中扮演着主要角色,它为新体制、新原理和新算法提供了最佳的实现条件。 DSP技术的发展趋势，可用四个字“多快好省”来概括。

1、多、快 1.多。可从广度和深度看，广度是指DSP的型号越来越多。如TMS320C2x（控制）/5x（低功耗）/6x（高性能处理）.从深度讲是多CPU的糅合，一种多DSP的糅合，一种DSP的核和其他事务性处理的核的糅合在一起如RM核。 2.快，即运算的速度越来越快，指令速度越来越快，频率越来越高，功能越来越强。

2、好、省 3.好。主要是指性能价格比。 性价比符合摩尔定律：每隔18个月，芯片的速度提高一倍，价格是原来的一半。这是由于半导体工艺的发展，使得成本降低引起的。 4.省。功耗越来越低。 正是由于DSP多快好省的发展，DSP的应用范围越来越宽。

第三章 离散付里叶变换(DFT) Discrete Fourier Transform

二、DFT引入 由于有限长序列，引入DFT(离散付里叶变换)。 DFT它是反映了“有限长”这一特点的一种有用工具。 DFT变换除了作为有限长序列的一种付里叶表示，在理论上重要之外，而且由于存在着计算机DFT的有效快速算法--FFT,因而使离散付里叶变换(DFT)得以实现，它使DFT在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。

一、引言 傅 里 叶 变 换 ： 建 立 以 时 间t 为 自 变 量 的 “ 信 号 ” 与 以 频 率 f为 自 变 量 的 “ 频 率 函 数 ”(频谱) 之 间 的 某 种 变 换 关 系 . 所 以 “ 时 间 ” 或 “ 频 率 ” 取 连 续 还 是 离 散 值 , 就 形 成 各 种 不 同 形 式 的 傅 里 叶 变 换 对 。 在 深 入 讨 论 离 散 傅 里 叶 变 换 D F T 之 前 , 先 概 述 四种 不 同 形式 的 傅 里 叶 变 换 对

二、四种不同付里叶变换对 1、傅 里 叶 级 数(FS)：连 续 时 间 , 离 散 频 率 的 傅 里 叶 变 换 。 2、 傅 里 叶 变 换(FT)：连 续 时 间 , 连 续 频 率 的 傅 里 叶 变 换 。 3、序 列 的 傅 里 叶 变 换(DTFT):离 散 时 间 , 连 续 频 率 的 傅 里 叶 变 换. 4、离 散 傅 里 叶 变 换(DFT):离 散 时 间 , 离 散 频 率 的 傅 里 叶 变 换 假定数字频率为w,模拟频率为。

1.傅 里 叶 级 数(FS) 周期连续时间信号  非周期离散频谱函数。 周期为T0的周期性连续时间函数 x(t) 可展成傅里叶级数X(jkΩ0) ,是离散非周期性频谱 , 表 示为:

2. 傅 里 叶 变 换(FT) 非周期连续时间信号通过连续付里叶变换(FT)得到非周期连续频谱密度函数。

3.序 列 的 傅 里 叶 变 换(DTFT) 非周期离散的时间信号(单位圆上的Z变换(DTFT))得到周期性连续的频率函数。

4.离 散 傅 里 叶 变 换(DFT) 上面讨论的三种傅里叶变换对 ,都不适用在计算机上运算 , 因为至少在一个域 ( 时 域 或 频 域 ) 中 , 函 数 是 连 续 的 . 因 为 从 数 字 计 算 角 度 , 我 们 感 兴 趣 的 是 时 域 及 频 域 都 是 离 散 的 情 况 , 这 就 是 我 们 这 里 要 谈 到 的 离 散 傅 里 叶 变 换 . 周期性离散时间信号从上可以推断： 周期性时间信号可以产生频谱是离散的 离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 得出其频谱为周期性离散的。也即我们所希望的。

总之，一个域的离散必然造成另一个域的周期延拓。 正变换： 反变换： 其中

二、四种付里叶变换形式的归纳 周期（ ）和连续 离散（T）和非周期 周期（ ）和离散 离散（T）和周期 非周期和连续 连续和非周期 周期（ ）和连续 离散（T）和非周期 周期（ ）和离散 离散（T）和周期 非周期和连续 连续和非周期 非周期和离散 连续和周期（T） 频谱函数 时间函数

第四节 离散付里叶级数的性质

一、引言 可以由抽样Z变换来解析DFS，它的许多性质与Z变换性质类似。 它们与Z变换主要区别为： (1) 与 两者具有周期性，与Z变换不同。 它们主要性质分为：线性、序列移位(循环移位)、调制性、周期卷积和

(2)序列移位(循环、移位) 时域 证明： 令 i=n+m,得 证毕

(3)调制性

(4)时域卷积 周期卷积和与以前卷积不同，它的卷积过程限在一个周期内称为周期卷积。 频域相乘等于时域卷积（指周期卷积）。 频域 ： 相乘 则有： 时域卷积

(5)频域卷积 时域： 相乘 频域： 周期卷积

一、由DFS引出DFT的定义 周期序列实际上只有有限个序列值才有意义 ,因 而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长 序列 , 这就得到有限长序列的傅里叶变换(DFT). 具体而言,我们把：(1)时域周期序列看作是有限 长序列x(n)的周期延拓; (2) 把频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓.(3) 这样我们只要把DFS的定义式两边（时域、频域）各取主值区间,就得到关于有限长序列的时频域的对应变换对.这就是数字信号处理课程里最重要的变换 ------- 离 散 傅 里 叶 变 换 (DFT).

注意 在 离 散 傅 里 叶 变 换 关 系 中 , 有 限 长 序 列 都 作 为 周 期 序 列 的 一 个 周 期 来 表 示 , 都 隐 含 有 周 期 性 意 义 .

三、DFT涉及的基本概念 1. 主 值(主值区间、主值序列) 2. 移 位(线性移位、圆周移位) 3. 卷 积(线性卷积、圆周卷积) 4. 对 称(序列的对称性、序列的对称分量) 5. 相 关(线性相关、圆周相关)

1. 主 值(主值区间、主值序列)

2.移位 线 性 移 位：序 列 沿 坐 标 轴 的 平 移 . 圆周移位：将 有 限 长 序 列 x(n) 以 长 度 N 为 周 期, 延 拓 为 周 期 序 列, 并 加 以 线 性 移 位 后, 再 取 它 的 主 值 区 间 上 的 序 列 值, m 点 圆 周 移 位 记 作: 其 中((...))N 表 示 N 点 周 期 延 拓.

(1)有 限 长 序 列 圆 周 移 位 的 实 现 步 骤

(2)例子1 x(n) 3 2 (1)周期延拓：N=5时 1 1 0.5 x(n) 3 3 n 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1

x(n) 3 (3)m=1时，左移(取主值) 2 1 1 0.5 x(n) n 3 2 1 1 0.5 n (4)m=-2时，右移(取主值) x(n) 3 2 1 1 0.5 n

3.卷 积 卷积在此我们主要介绍： (1)线性卷积 (2)圆周卷积 (3)圆周卷积与线性卷积的性质对比

(1)线性卷积 线 性 卷 积 定 义：有 限 长 序 列 x1(n),0≤n≤N1-1; x2(n),0≤n≤N2-1 则 线 性 卷 积 为 注意:线 性 卷 积 结 果 长 度 变 为 N1+N2-1 .

(2)圆周卷积 令 则圆 周 卷 积 结 果 长 度 不 变, 为 N.

圆 周 卷 积 的 实 现 步 骤

例子线性卷积与圆周卷积步骤比较  1 2 3 x(n) h(n) N2=3 N1=5 5 4 3 3 2 2 1 1 n n n n 得到线性卷积结果的示意图 5 4 3 2 1  1 2 3 15 12 9 6 3 10 8 6 4 2 5 4 3 2 1 5 14 26 20 14 8 3 y(n) 26 14 20 N=7 14 8 5 3 n

x(n) h(n) N2=3 N1=5 5 4 3 3 2 2 1 1 n n （1）圆周卷积：(N=7)补零加长 h(k) x(k) N2=3 3 N=7 5 4 3 2 1 2 1 k k

(2)圆周卷积需进行周期延拓，而线卷积无需周期延拓： h(k) 3 3 3 2 2 2 1 1 1 k 圆卷积的反折(并取主值区间）： h(-k) 3 2 1 k

x(k) h(-k) (3)平移 N=7 3 5 4 2 3 1 2 1 k k h(1-k) 2 3 1 k x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20 x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14 x(k)h(5-k)=2*3+1*2=8 x(k)h(6-k)=1*3=3 （4）相乘 x(k)h(-k)=5×1=5 x(k)h(1-k)=5*2+4*1=14 x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26

可见,线性卷积与圆周卷积相同(当N≥[N1(5)+N2(3)-1]=7时) (5)相加 得到圆周卷积的示意图 y(n) 26 14 20 14 8 5 3 n 可见,线性卷积与圆周卷积相同(当N≥[N1(5)+N2(3)-1]=7时)

课后练习

用图表求解圆卷积 x(k)={5,4,3,2,1},h(n)={1,2,3},同上求N=7点的圆卷积。 解：（1）将x(n)补零加长为x(k)={5,4,3,2,1,0,0}, （2）将h(n)补零加长至N=7，并周期延拓， （3）反折得到:h(-k)={1,0,0,0,0,3,2} （4）作图表

结果同上。

若圆周卷积取长度为N=5,则求圆周卷积 2 3 1 x(k) 5 4 N=5 k 2 3 1 h(-k) k 17 13 26 y(n) n N=5 k 2 3 1 h(-k) k 17 13 26 y(n) n 20 14 求得圆周卷积 x(k)h(-k)=5*1+2*3+1*2=13 x(k)h(1-k)=5*2+4*1+1*3=17 x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26 x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20 x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14 看出圆卷积与线卷积不同.

用图表求解圆卷积 x(k)={5,4,3,2,1},h(n)={1,2,3},同上求N=5点的圆卷积。 解：（1）x(n)无需补零加长x(k)={5,4,3,2,1}, （2）将h(n)补零加长至N=5，并周期延拓， （3）反折得到:h(-k)={1,0,0,3,2} （4）作图表

y(n) 26 20 17 13 14 n

信号通过线性系统时，信号输出等于输入与系统单位冲激响应的卷积 (3)圆 周 卷 积 与 线 性 卷 积 的 性 质 对 比 圆周卷积 线性卷积 是针对FFT引出的 一种表示方法 信号通过线性系统时，信号输出等于输入与系统单位冲激响应的卷积 两序列长度必须相等， 不等时按要求补足零值点。 两序列长度可以不等。 如x1(n)为 N1点， x2(n)为 N2点 卷积结果长度 与两信号长度相等皆为N 卷积结果长度为 N=N1+N2-1

第六节 离散付里叶变换 的性质

（2）时移--1 设N点有限长序列x(n) DFT[x(n)]=X(k) 则 DFT[x((n+m))NRN(n)]=WN-mkX(k) 说明：（1）本性质描述了有限长序列时域移位后频域的变化规律. （2）只有采用圆周移位这一能体现 DFT的隐 含 周 期 性 的 移 位 方 式, 才 能 得 到 本 性 质 所 描 述 的 结 果.

（2）时移--3--复习（平移）

（3）频移--1 设频域N点，有限长序列X(k) 则

（3）频移--2:说明 本 性 质 与 时 域 移 位 性 质 成 对 偶 关 系. 本 性 质 又 称 调 制 特 性, 时 域 的 调 制 等 效 于 频 域 移 位. 注 意 是 圆 周 移 位 . 由 此 性 质 可 得 出时域调制、频域移 位的两 个 公 式。

（3）频移-3:应用--时域调制公式 时域调制频域移位

（4）圆 周 卷 积 定 理--1 时域卷积--->频域相乘 频域卷积--->时域相乘

（4）圆 周 卷 积 定 理--3 线卷积和圆卷积步骤比较 线卷积：反折、平移、相乘、积分（或相加） 圆卷积：周期化、反折、平移、相乘、相加

证明Parseval定理

第四章 快速付里叶变换(FFT) Fast Fourier Transforming

一、快速付里叶变换FFT 有限长序列通过离散傅里叶变换 (DFT)将其频 域离散化成有限长序列.但其计算量太大(与N的平方成正比）, 很难 实时地处理问题 , 因 此 引 出 了 快 速 傅 里 叶 变 换(FFT) . FFT 并 不 是 一 种 新 的 变 换 形 式 ,它 只 是 DFT 的 一 种 快 速 算 法 . 并 且 根 据 对 序 列 分 解 与 选 取 方 法 的 不 同 而 产 生 了 FFT 的 多 种 算 法 . FFT 在 离 散 傅 里 叶 反 变 换 、 线 性 卷 积 和 线 性 相 关 等 方 面 也 有 重 要 应 用.。

1.比较DFT与IDFT之间的运算量 其中x(n)为复数， 也为复数 所以DFT与IDFT二者计算量相同。

2.以DFT为例，计算DFT复数运算量 N*N次复数相乘和N*(N-1)次复数加法 计算一个X(k)(一个频率成分)值，运算量为 例k=1则 所以，要完成整个DFT运算[X(k)有N个点 ]，其计算量为： N*N次复数相乘和N*(N-1)次复数加法

4.计算DFT需要的实数运算量 每运算一个X(k)的值，需要进行 4N次实数相乘和 2N+2(N-1)=2(2N-1)次实数相加. 整个DFT运算量为：4N2次实数相乘和2N(2N-1)次实数相加. 由此看出：直接计算DFT时，乘法次数与加法次数都是和N2成比例的。当N很大时，所需工作量非常可观。

例子 例1:当N=1024点时，直接计算DFT需要： N2=220=1048576次，即一百多万次的复乘运算 例2：石油勘探，24道记录，每道波形记录长度5秒，若每秒抽样500点/秒， 每道总抽样点数=500*5=2500点 24道总抽样点数=24*2500=6万点 DFT运算时间=N2=(60000)2=36*108次

二、改善DFT运算效率的基本途径 利用DFT运算的系数 的固有对称性和周期性，改善DFT的运算效率。 1.合并法：合并DFT运算中的某些项。

利用DFT运算的系数 的固有对称性和周期性，改善DFT的运算效率 的对称性： 的周期性： 因为： 由此可得出：

例子 例: 利用以上特性,得到改进DFT直接算法的方法.

2、将长序列DFT利用对称性和周期性分解为短序列DFT--结论 快速付里时变换(FFT)就是在此特性基础上发展起来的，并产生了多种FFT算法，其基本上可分成两大类： 按抽取方法分： 时间抽取法(DIT);频率抽取法(DIF) 按“基数”分：基-2FFT算法；基-4FFT算法；混合基FFT算法；分裂基FFT算法 其它方法：线性调频Z变换(CZT法)

一、算法原理 设输入序列长度为N=2M(M为正整数，将该序列按时间顺序的奇偶分解为越来越短的子序列，称为基2按时间抽取的FFT算法。也称为Coolkey-Tukey算法。 其中基数2----N=2M，M为整数.若不满足这个条件，可以人为地加上若干零值（加零补长）使其达到 N=2M

三、蝶形结 即蝶式计算结构也即为蝶式信号流图 上面频域中前/后半部分表示式可以用蝶形信号流图表示。 作图要素： (1)左边两路为输入 (2)右边两路为输出 (3)中间以一个小圆表示加、减运算（右上路为相加输出、右下路为相减输出) X1(k) X2(k) (4)如果在某一支路上信号需要进行相乘运算，则在该支路上标以箭头，将相乘的系数标在箭头旁。 (5)当支路上没有箭头及系数时，则该支路的传输比为1。

蝶形结描述的另一种方法 X1(k) X2(k)

(4)一个完整N=8的按时间抽取FFT的运算流图 m=0 X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) m=1 m=2 x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7)

四、FFT算法中一些概念 （1）“级”概念 将N 点DFT先分成两个N/2点DFT，再是四个N/4点DFT…直至N/2个两点DFT.每分一次称为“一”级运算。 因为N=2M所以N点DFT可分成M级 如上图所示依次m=0,m=1….M-1共M级

五、按时间抽取的FFT算法与直接计算DFT运算量的比较 每级都由N/2个蝶形单元构成，因此每一级运算都需要N/2次复乘和N次复加（每个结加减各一次）。这样（N=2M)M级运算共需要： 复乘次数： 复加次数： 可以得出如下结论： 按时间抽取法所需的复乘数和复加数都是与 成正比。而直接计算DFT时所需的复乘数与复加数则都是与N2成正比.(复乘数md=N2,复加数ad=N(N-1)≈N2)

例子 看N=8点和N=1024点时直接计算DFT与用基2-按时间抽取法FFT的运算量。

六、按时间抽取FFT算法的特点 根据DIT基2-FFT算法原理，能得出任何N=2M点的FFT信号流图，并进而得出FFT计算程序流程图。最后总结出按时间抽取法解过程的规律。 1.原位运算（in-place) 2.码位倒读规则

1.原位运算（in-place) 原位运算的结构，可以节省存储单元，降低设备成本。 定义：当数据输入到存储器以后，每一组运算的结果，仍然存放在这同一组存储器中直到最后输出。 X3(0) X3(1) x(0) x(4)

例子 例：N=8 FFT运算,输入: A(0) A(1) A(2) A(3) A(4) A(5) A(6) A(7) A(0) A(1) A(0)=X(0) A(1)=X(1) A(2)=X(2) A(3)=X(3) A(4)=X(4) A(5)=X(5) A(6)=X(6) A(7)=X(7) x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7) A(0) A(1) A(2) A(3) A(4) A(5) A(6) A(7) R1 R1 R1 R2 R1 R2 R1 R3 R1 R4 R2 R1 看出：用原位运算结构运算后，A(0)…A(7)正好顺序存放X(0)…X(7),可以直接顺序输出。

2.码位倒读规则 我们从输入序列的序号及整序规律得到码位倒读规则。由N=8蝶形图看出：原位计算时，FFT输出的X(k)的次序正好是顺序排列的，即X(0)…X(7),但输入x(n)都不能按自然顺序存入到存储单元中，而是按x(0),x(4),x(2), x(6)….的顺序存入存储单元即为乱序输入，顺序输出。这种顺序看起来相当杂乱，然而它是有规律的。即码位倒读规则。

例子 以N=8为例： 自然顺序n 二进制码表示 码位倒读 码位倒置顺序n’ 1 2 3 4 5 6 7 000 001 010 011 1 2 3 4 5 6 7 000 001 010 011 100 101 110 111 000 100 010 110 001 101 011 111 4 2 6 1 5 3 7 看出：码位倒读后的顺序刚好是数据送入计算机内的顺序。

整序重排子程序 具体执行时，只须将1与4对调送入，3与6对调送入，而0，2，5，7不变，仅需要一个中间存储单元。 在实际运算时，先按自然顺序将输入序列存入存储单元，再通过变址运算将自然顺序变换成按时间抽取的FFT算法要求的顺序。变址的过程可以用程序安排加以实现--称为“整序”或“重排”（采用码位倒读）且注意： (1)当n=n’时，数据不必调换； (2)当n≠n’时，必须将原来存放数据x(n)送入暂存器R，再将x(n’)送入x(n),R中内容送x(n’).进行数据对调。 (3)为了避免再次考虑前面已调换过的数据，保证调换只进行一次，否则又变回原状。n’>n时，调换。 n 1 2 3 4 5 6 7 n’ 4 2 6 1 5 3 7

第四节 基--2按频率抽取的FFT算法Decimation-in-Frequency(DIF) (Sander-Tukey)

一、算法原理 设输入序列长度为N=2M(M为正整数），将该序列的频域的输出序列X(k)(也是M点序列），按其频域顺序的奇偶分解为越来越短的子序列，称为基2按频率抽取的FFT算法。也称为Sander-Tukey算法。

(4)一个完整N=8的按频率抽取FFT的运算流图 m=2 m=1 X(0) X(4) X(2) X(6) X(1) X(5) X(3) X(7) m=0 x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7)

(5)DIF的特点 (a)输入自然顺序，输出乱序且满足码位倒置规则。 (b)根据时域、频域互换，可知： 输入乱序，输出自然顺序。

（6）DIF与DIT比较1 相同之处： （1）DIF与DIT两种算法均为原位运算。 （2）DIF与DIT运算量相同。 它们都需要

（6）DIF与DIT比较2 不同之处： （1）DIF与DIT两种算法结构倒过来。 DIT为输入乱序，输出顺序。先运行“二进制倒读”程序，再进行求DFT。 （2）DIF与DIT根本区别：在于蝶形结不同。 DIT的复数相乘出现在减法之前。 DIF的复数相乘出现在减法之后。

第五节IFFT运算方法 以上所讨论的FFT的运算方法同样可用于IDFT的运算，简称为IFFT。即快速付里叶反变换。从IDFT的定义出发，可以导出下列二种利用FFT来计算IFFT的方法。

四.直接利用FFT流图的方法 1.思路 前面的两种IFFT算法，排程序很方便，但要改变FFT的程序和参数才能实现。

2.直接利用FFT流图方法的推导 此为DFT可用FFT程序 可知：只须将频域成份一个求共轭变换，即（1）将X(k)的虚部乘以-1，即先取X(k)的共轭，得X*(k)。(2)将X*(k)直接送入FFT程序即可得出Nx*(n)。(3)最后再对运算结果取一次共轭变换，并乘以常数1/N，即可以求出IFFT变换的x(n)的值。

3.直接利用FFT流图方法的注意点 （1）FFT与IFFT连接应用时，注意输入输出序列的排列顺序，即应注意是自然顺序还是倒序。 （2）FFT和IFFT共用同一个程序时，也应注意利用FFT算法输入输出的排列顺序，即应注意自然顺序还是倒位序 （3）当把频率抽取FFT流图用于IDFT时，应改称时间抽取IFFT流图。 （4）当把时间抽取FFT流图用于IDFT时，应改称频率抽取IFFT流图。

第五章 数字滤波器结构 DF （Digital Filter)

一、什么是数字滤波器 顾名思义：其作用是对输入信号起到滤波的作用；即DF是由差分方程描述的一类特殊的离散时间系统。 它的功能：把输入序列通过一定的运算变换成输出序列。不同的运算处理方法决定了滤波器的实现结构的不同。

三、数字滤波器表示方法 有两 种表示方法：方框图表示法；流图表示法. 数字滤波器中,信号只有延时，乘以常数和相加三种运算。 所以DF结构中有三个基本运算单元：加法器，单位延时，乘常数的乘法器。

2、直接I型 （1）直接I型流图 IIR DF的差分方程就代表了一种最直接的计算公式，用流图表现出来的实现结构即为直接I型结构（即由差分方程直接实现。） x(n) b0 y(n) 方程看出：y(n)由两部分组成： 第一部分 是一个对输入x(n)的M节延时链结构。即每个延时抽头后加权相加，即是一个横向网络。 第二部分 是一个N节延时链结构网络。不过它是对y(n)延时，因而是个反馈网络。 Z-1 b1 a1 Z-1 Z-1 b2 a2 Z-1 Z-1 bM a N-1 Z-1 aN Z-1

3、直接II型（正准型/典范型） （1)直接II型原理 从上面直接型结构的两部分看成两个独立的网络（即两个子系统）。 原理：一个线性时不变系统，若交换其级联子系统的次序，系统函数不变。把此原理应用于直接I型结构。即： （1）交换两个级联网络的次序 （2）合并两个具有相同输入的延时支路。 得到另一种结构即直接II型。

(4)直接II型特点 直接II型结构特点： (1)两个网络级联。 第一个有反馈的N节延时网络实现极点； 第二个横向结构M节延时网络实现零点。 (2)实现N阶滤波器（一般N>=M)只需N级延时单元，所需延时单元最少。故称典范型。 (3)同直接I型一样，具有直接型实现的一般缺点。

例子 已知IIR DF系统函数，画出直接I型、直接II型的结构流图。 解：为了得到直接I、II型结构，必须将H(z)代为Z-1的有理式； x(n) 8 y(n) x(n) 8 y(n) Z-1 5/4 -4 注意反馈部分系数符号 Z-1 -4 5/4 Z-1 Z-1 -3/4 11 Z-1 11 -3/4 Z-1 Z-1 -2 1/8 Z-1 -2 1/8 Z-1

4、级联型结构 (1)系统函数因式分解 一个N阶系统函数可用它的零、极点来表示即系统函数的分子、分母进行因式分解：

(4)滤波器的基本二阶节 所以，滤波器就可以用若干个二阶网络级联起来构成。这每一个二阶网络也称滤波器的基本二阶节（即滤波器的二阶节）。一个基本二阶节的系统函数的形式为： 一般用直接II型（正准型、典范型表示） y(n) x(n) a1i Z-1 β1i Z-1 β2i a2i

(6)级联结构的特点 从级联结构中看出： 它的每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点。 调整β1i,β2i,只单独调整滤波器第I对零点，而不影响其它零点。 同样，调整a1i,a2i,……只单独调整滤波器第I对极点，而不影响其它极点。 级联结构特点： (a)每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点，有利于控制频率响应。 (b)分子分母中二阶因子配合成基本二阶节的方式，以及各二阶节的排列次序不同。

5、并联型 (1)系统函数的部分分式展开 将系统函数展成部分分式的形式：用并联的方式实现DF。 “相加”在电路中实现用并联。如果遇到某一系数为复数，那么一定有另一个为共轭复数，将它们合并为二阶实数的部分分式。

（5）例子 其并联结构为： 1 6 1 Z-1 x(n) y(n) -6 1 Z-1 4 Z-1 1

第三节 FIR DF的结构 （有限长冲激响应滤波器）

一、FIR DF的特点 (1)系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值处不为零。即h(n)是个有限长序列。 (2)系统函数|H(z)|在|z|>0处收敛，极点全部在z=0处(即FIR一定为稳定系统) (3)结构上主要是非递归结构，没有输出到输入反馈。但有些结构中（例如频率抽样结构）也包含有反馈的递归部分。

1、FIR直接型结构 （卷积型、横截型） (1)流图 x(n) y(n) h(0) x(n) h(1) Z-1 Z-1 Z-1 Z-1 Z-1 倒下 h(2) h(N) Z-1 h(0) h(1) h(N-1) Z-1 h(N-1) y(n) h(N) Z-1

5、线性相位FIR型结构 （1）定义 所谓线性相位：是指滤波器产生的相移与输入信号频率成线性关系。

（2）线性相位FIR DF具有特性 h(n)是因果的，为实数，且满足对称性。即满足约束条件： h(n)=±h(N-1-n)

第六章 IIR DF的设计方法

2、模拟滤波器设计 设 计 出 符 合 要 求 的 模 拟 滤 波 器 的 系 统 函 数Ha(s)。可以选择多种类型的滤波器。如Butterworth,Chebyshev,Ellipse,Bessel等。

3、 映 射 实 现 利 用 一 定 的 映 射 方 法， 把 模 拟 滤 波 器 系 统 函 数 数 字 化， 完 成 IIR 数 字 滤 波 器 系 统 函 数 的 设 计。（采用冲激不变法和双线性变换法）

四、映射实现的方法 由模拟滤波器映射成数字滤波器的方法，也即，数字滤波器能模仿滤波器的特性。 主要有以下几种映射方法： 冲 激 响 应 不 变 法 阶 跃 响 应 不 变 法 双 线 性 变 换 法

引言 冲激不变法（和阶跃响应）：是使数字滤波器在时域上模仿模拟滤波器，但它的缺点：产生频率响应的混叠失真。这是由于从S平面->Z平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，我们采用双线性变换法。 它是由凯塞(Kaiser)和戈尔登(Golden)提出。

二、性 能 分 析 数 字 滤 波 器 的 冲 激 响 应 为 对 应 模 拟 滤 波 器 冲 激 响 应 的 抽 样， 由 抽 样 定 理 可 知 其 频 谱 为 模 拟 滤 波 器 频 谱 的 周 期 延 拓。 只 有 模 拟 滤 波 器 的 频 谱 限 带 于 折 叠 频 率 内 时， 即 要 满 足 才 能 避 免 混 叠 失 真。 而 实 际 的 滤 波 器 并 非 严 格 限 带， 所 以 用 冲 激 响 应 不 变 法 设 计 的 数 字 滤 波 器 不 可 避 免 地 会 产 生 混 叠 失 真。 所 以 此 法 只 适 于 设 计 带 限 滤 波 器。

七、冲激不变法设计IIR DF 的优缺点 （1）冲激不变法使得数字滤波器的冲激响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，也就是时域逼近良好。 （2）模拟频率Ω和数字频率w之间呈线性关系：w=ΩT 如：一个线性相位的模拟滤波器（例贝塞尔滤波器）可以映射成一个线性相位的数字滤波器。 （3）缺点：由于有频率混叠效应，所以冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器。

三、特点 1.由于阶跃不变法仍由模拟滤波器求得相应数字滤波器的系统函数。因模拟滤波器的幅度响应不具有锐截止的通带特性，则利用阶跃不变变换法设计的滤波器也同样存在频响混叠问题。 2.由于变换公式中存在因子1/s,因此在高频段将增加6dB/每倍频程的衰减。即对于同一模拟滤波器系统函数，阶跃响应不变法所引入的混叠误差将比脉冲响应不变法所产生的误差小。

2、双线性变换法的映射关系 实现S平面与Z平面一一对应的关系。 S1平面 S平面 Z平面 第二次变换：数字化 第一次变换： 频率压缩

3、双线性变换法的映射规则 双线性变换法的映射规则： （1）频率压缩：把整个S平面压缩变换到某一中间的S1平面的一条横带里。 变换到z平面。

（1）频率压缩 把整个S平面压缩变换到某一中间的S1平面的一条横带里。这个横带的宽度为： 采用如下变换关系： 则满足：

（2）数字化 将S1平面通过标准变换关系变换到z平面。 则可得到S平面-->z平面的单值映射关系： 以后变换只须用上面公式代入即可。实际中，为使模拟滤波器的某一频率与数字化滤波器的任一频率有对应的关系，引入常数C

（3）变换常数C的选择1 调节C，可使AF与DF在不同频率点处有对应的关系。 (a)使AF与DF在低频处有较确切的对应关系。

利用DF的某一特定频率(例截止频率wc)与AF的某一特定频率c严格相对应。 看出：此方法优点：是在特定AF和特定DF处，频率响应是严格相等的，它可以较准确地控制截止频率的位置。

二、性能分析 1.解决了冲激不变法的混叠失真问题。 2.它是一种简单的代数关系。 只须将上述关系代入AF的Ha(s)中(对直接、级联、并联结构都适用)即可求出DF的H(z),设计十分方便。

3.由于双线性变换中， 即模拟角频率与数字角频率存在非线性关系。 所以双线性变换避免了混叠失真，却又带来了非线性的频率失真。 4.双线性变换法不适用于设计： (1)设计线性相位的DF (2)它要求AF的幅频响应是分段常数型.(即幅度变换是线性的)。(一般低通，高通，带通，带阻型滤波器的频率响应特性都是分段常数)

5.同时，看出双线性变换： (1)在零频附近，模拟角频率与数字角频率变换关系接近线性关系。 (2)又要求AF的幅频响应是分段常数型，即幅度变换是线性的 所以称之为双线性变换。 频率升高时，非线性失真严重。 6.对于分段常数型AF滤波器，经双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的DF。但在各个分段边缘的临界频率点产生畸变，这种频率的畸变，可通过频率预畸变加以校正。

第七章 有限长单位冲激响应 FIR数字滤波器的设计方法

一、IIR滤波器的优缺点 IIR数字滤波器的优点：可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。

二、FIR DF 优点 FIR滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到有严格的线性相位特性。 设FIR滤波器单位冲激响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)为： H(z)是z-1的N-1次多项式，它在z平面上有N-1个零点，原点z=0是N-1阶重极点。因此，H(z)永远稳定。稳定和线性相位特性是FIR滤波器突出的优点，而且允许设计多通带（或多阻带）滤波器。其中线性相位和多通带滤波器设计都是IIR系统不易实现的。

FIR的缺点 由于FIR系统只有零点，因此FIR系统不像IIR系统那样易取得比较好的通带与阻带衰减特性。要取得好的衰减特性，一般要H(z)的阶次要高，也即N大。

三、为何要设计FIR滤波器 （1）语音处理，图象处理以及数据传输要求线性相位，任意幅度。（即要求信道具有线性相位特性）而FIR数字滤波器具有严格的线性相位，而且同时可以具有任意的幅度特性。 （2)另外FIR数字滤波器的单位抽样响应是有限长的，因而滤波器一定是稳定的只要经过一定的延时，任何非因果有限长序列都变成因果的有限序列。 （3)FIR可以用FFT算法来实现过滤信号。