命题及其关系 1.1.1 命题

思考 下列语句的表述形式有什么特点?你能判断 它们的真假吗? （1） 12>5; （2） 3是12的约数; （3） 0.5是整数; （4）对顶角相等; （5）3 能被2整除; （6）若x2=1,则x=1. 语句都是陈述句， 并且可以判断真假。

命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。 判断为真的语句叫做真命题。 判断为假的语句叫做假命题。 （1） 12>5; （2） 3是12的约数; （3） 0.5是整数; （4）对顶角相等; （5）3 能被2整除; （6）若x2=1,则x=1. 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。 判断为真的语句叫做真命题。 判断为假的语句叫做假命题。

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。如何判断一个语句是不是命题？ 7是23的约数吗? 疑问句 X>5. -2<a<3. 画线段AB=CD. 祈使句 开语句 判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否符合“是陈述句”和“可以判断真假” 这两个条件。 有些语句中含有变量，在不给定变量的值之前，我们无法确定这语句的真假，这样的语句叫开语句，以后会专门研究。

看看下列语句是不是命题？ 今天天气如何？ 你是不是作业没交？ 这里景色多美啊！ -2不是整数。 4>3。 x>4。 不是（疑问句） 不是（感叹句） 是（否定陈述句） 是（肯定陈述句） 不是（开语句）

“若p则q”形式的命题 p q 通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题的结论。 命题“若整数a是素数，则a是奇数。”具有“若p则q”的形式。 p q 通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题的结论。 “若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要p,就有q”等形式。 其中p和q可以是命题也可以不是命题. “若p则q”形式的命题的优点是条件与结论容易辨别,缺点是太格式化且不灵活.

“若p则q”形式的命题的书写 了解命题表示的判断,明确与判断有关的条件与结论。 对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先添补一些命题中省略的词句, 确定条件与结论。 如命题:a>0时,函数y=ax+b的值随x的增加而增加. 写成“若p则q”的形式为： a>0时,若x增加,则函数y=ax+b的值随之增加. 或: 当x增加时,若a>0,则函数y=ax+b的值也增加.

例 指出下列命题中的条件p和结论q： 若整数a能被2整除，则a是偶数； 菱形的对角线互相垂直且平分。 解：1) 条件p：整数a能被2整除， 则它的对角线互相垂直且平分。 条件p：四边形是菱形， 结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。

把下列命题改写成“若p则q”的形式,并判定真假。 (1) 负数的平方是正数. (2) 正方形的四条边相等. (3) 相切两圆的连心线经过切点. (4) 面积相等的两个三角形全等. (5) 等边三角形的三个内角相等. 真命题 假命题

练习 P4 2. 3. 小结 这节课主要是学习了什么样的语句是命题，以及把命题进行改写，以便容易找到命题的条件和结论。 作业 P8 A 1

命题及其关系 1.1.2 四种命题

下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？ 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。

观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间分别有什么关系？ 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； p q q p 互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另 一个命题的结论和条件，这两个 命题叫做互逆命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。 即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p

观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间分别有什么关系？ 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 3. 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数. q p ┐p ┐q 为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “┐p” “┐q” 互否命题 原命题 (原命题的)否命题 原命题:若p,则q 否命题:若┐p,则┐q

观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系？ 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. q p ┐q ┐p 互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题 原命题: 若p, 则q 逆否命题: 若┐q, 则┐p

原命题,逆命题,否命题,逆否命题 四种命题形式: 原命题: 逆命题: 若 p, 则 q 否命题: 若 q, 则 p 逆否命题:

判断正误,并说明理由: (1)若原命题是“对顶角相等”, 它的否命题是“对顶角不相等”。 (2)若原命题是“对顶角相等”, 它的否命题是“不成对顶关系的 两个角不相等”。

否命题与命题的否定 否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。 命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结论不否定条件。 对于原命题: 若 p , 则 q 有 否命题: 若┐p , 则┐q 。 命题的否定: 若 p ，则┐q 。

逆命题：当c >0 时，若ac >bc ，则a >b． 逆命题为真． 例 设原命题是“当c >0 时，若a >b ，则ac >bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假： 解： 逆命题：当c >0 时，若ac >bc ，则a >b． 逆命题为真． 否命题：当c >0 时，若a ≤b ，则ac ≤ bc ． 否命题为真． 逆否命题：当c >0 时，若ac ≤ bc ，则a ≤b ． 逆否命题为真．

准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式. 准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.   原结论 反设词 是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有n个 小于 至多有n个 对所有x,成立 对任何x， 不成立 一个也没有 不是 不都是 至少有两个 不大于 至多有（n-1)个 大于或等于 至少有（n+1)个 存在某x， 不成立 存在某x， 成立

命题及其关系 小结 这节课主要是学习了一个命题的逆命题、否命题、逆否命题。并且进行一个命题的改写成其它三种命题。在改写过程中，一定要注意命题的条件和结论是什么。 作业 P 8 A 2

命题及其关系 1.1.3 四种命题间的相互关系

回顾 交换原命题的条件和结论，所得的命题是________ 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是________ 逆命题。 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是__________ 逆命题。 否命题。 逆否命题。

原命题,逆命题,否命题,逆否命题 四种命题形式: 原命题: 逆命题: 若 p, 则 q 否命题: 若 q, 则 p 逆否命题:

四种命题之间的相互关系 互 逆 原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 否命题 若 则 逆否命题 若 则 互 否 互 否 互为 逆否 互 逆 原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 否命题 若 则 逆否命题 若 则 互 否 互 否 互为 逆否 互为 逆否 互 逆

原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？ 思考 原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？

(1)到一个角的两边距离相等的点,都在 这个角的平分线上. 逆命题:角的平分线上的点,到这个角的 两边距离相等. 否命题:到一个角的两边距离不相等的点, 都不在这个角的平分线上. 逆否命题:不在这个角的平分线上的点,到这 个角的两边距离不相等. 原命题 (真) 逆命题 (真) 否命题 (真) 逆否命题 (真)

. (2)两个三角形全等,则它们的面积相等. 逆命题:两个三角形的面积相等,则它们全等. 否命题:两个三角形不全等,则它们的面积不 相等. 否命题:两个三角形不全等,则它们的面积不 相等. 逆否命题:两个三角形的面积不相等,则它们 不全等. 原命题 (真) 逆命题 (假) 否命题 (假) 逆否命题 (真)

(3)相等的角是对顶角 逆命题: 对顶角相等. 否命题: 不相等的角不是对顶角. 逆否命题: 不是对顶角就不相等. 原命题 (假) 逆命题 (真) 否命题 (真) 逆否命题 (假)

(4)凡质数都是奇数. 逆命题: 凡奇数都是质数. 否命题: 不是质数就不是奇数. 逆否命题: 不是奇数就不是质数. 原命题 (假) 逆命题 (假) 否命题 (假) 逆否命题 (假)

几条结论: 原命题与逆命题未必同真假. 原命题与否命题未必同真假. 原命题与逆否命题一定同真假. 原命题的逆命题与原命题的否命题一定同真假.

例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2. 分析：将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原命题。由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，要证原命题为真命题，可以证明它的逆否命题为真命题。 练习 p8