第四节 数学命题 第四节数学命题 2 1

一、判断与命题概述 二、简单命题与复合命题 三、命题的四种基本形式 四、同一原理 五、充要条件 六、数学公理、定理

一、判断与命题概述 1．判断的意义及结构   判断是肯定或否定思维对象具有或不具有某种属性的一种思维形式。例如，“ 是无理数”、“△ABC不是直角三角形”、“1是质数”等都是表达判断的语句。

判断具有两个基本特征： ①一定要有所判定。 例如，“△ABC是等腰三角形吗？”、“ a比2大吗？”等都不是判断； ②判断有真假之分。如果一个判断符合客观实际，那么它就是真的，否则便是假的。例如，“1是质数”就是一个假判断。数学判断的真与假，既要由实践检验，又要从理论上予以证明。

判断的结构 “主词——系词——宾词”的结构， 主词(S)是思维的对象，即需要做出判断的事物或现象，宾词(P)是用来表达对象具有或不具有某种属性，系词是用来联接主词和宾词的，通常用“是”或“不是”来表示肯定或否定。 如等腰三角形的两个底角(S)是（联系词）相等的（P）

2．命题 数学的判断，称为命题。 公理：正确的命题（不需要证明） 定理：命题的真实性是根据公理或其他已知其为正确的命题经过逻辑的推理而证明出来的命题。定理就是正确的命题 预备定理：一个仅为另一个定理的证明做准备的定理

在逻辑学里，通常用… p,q,r等表示命题。 命题有“真”、“假”之分，常用“1”表示真，用“o”表示假。若命题p是一个真命题，则说p的真值等于1，记作p=1；若命题p是一个假命题，则说命题p的真值等于0，记作p=0。 对命题有一个大体的了解了吗？

二、简单命题和复合命题 简单命题是不包含其它命题的命题，是命题演算的基本单位，（如对顶角必相等）；简单命题又分为性质命题和关系命题 简单命题与逻辑联结词的结合就构成了复合命题（如一直线垂直且平分已知线段，则此直线上的点到已知线段两端等距离）。

性质命题的结构:主项S、谓项P、量项和联项 （一）简单命题可分为性质命题和关系命题两种 1、性质命题： 断定某一对象具有或不具有某种属性的命题 例如（1）一切正方形都是平行四边形； （2）分数都不是无理数； （3）有些负数是整数； （4）有些整式不是多项式 性质命题的结构:主项S、谓项P、量项和联项

量项又分为全称量词和特称量项： 全称量词：相当于日常语言中的“一切”、“所有”、“凡是”、“任意”、“任何”，用符号“”表示。 特称量项：相当于日常语言中的“一些”、“有些”、“至多”、“存在”、“有的”、“至少有一个”等。 命题的分类： （1）命题按连项的“肯定或否定”来分： 肯定命题：公式“S是P” 否定命题：公式“S不是P”

（2）按量项的“全称”或“特称”来分来分： 全称命题：公式“所有S都是（或不是）P”，如所有直角都相等。 特称命题：公式“有些S是（或不是）P”。如有些三角形不是直角三角形。 （3）如果将两种分类结合起来，命题就可以分为下面四种最主要的类型：

（ SEP） （ SIP） 有些S不是P （ SOP） 命题名称 符号 公式 举例 全称肯定 A 所有的S都是P （ SAP） 所有的一元可导函数都连续 全称否定 E 所有的S不是P （ SEP） 所有的通项不趋于零的级数都不收敛 特称肯定 I 有些S是P （ SIP） 有些数列是收敛的 特称否定 O 有些S不是P （ SOP） 有些数列是不收敛的

全称命题和特称命题,按主项S和谓项P的外延大小来说,有五种情况:

在五种情况下,A,E,I,O之间的真假关系: SP关系 命题 S = P S  P S  P S  P S P  S P = 1 E I O ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

A E I O 根据A,E,I,O之间的真假关系,可概括出以下四种关系 逻辑方阵图 矛盾 关系 上反对关系 从 属 关 系 从 属 关 系 下反对关系

2、关系命题： 关系命题就是断定对象与对象之间的关系的命题 设R是定义在集合S中的一个二元关系 （1）对称关系： （2）传递关系 （3）自反（反身）关系 （4）等价关系：

（二）复合命题 1、逻辑联结词： 否定、合取、析取、蕴涵、当且仅当（分别用符号、、、、表示） 若给定命题P、q则称（1）“P”为 （2）“P  q”为 （3）“P  q”为 （4）“P  q”为 （5）“P  q”为 负命题， 联言命题， 选言命题， 假言命题， 充要条件假言命题

两个命题等价是指两个复合命题的真值完全相同 2、复合命题的真值 以上给出了五种基本的复合命题，它们的真值情况也可以通过真值表来反映： p q p pq pq pq pq 1 1？ 1？？ P：“7能被3整除” ，q： “15能被3整除” 两个命题等价是指两个复合命题的真值完全相同

例1求下列复合命题的真值 (pp)(q q) 解：（1）依否定、合取与等价的定义，得真值表:

上述表明，无论p,q 取何值，复合命题的真值总是0；命题逻辑中，在任何情况下都是真的命题称为重言式（恒真命题）；在任何情况下都是假的命题称为矛盾式（恒假命题）；重言式在命题逻辑中，有着重要的作用。

3、逻辑等价 逻辑等价是指两个复合命题的真值完全相同，这两个命题称为等价命题，记作“”或“”或“”。逻辑等价的两个命题，在推理论证中可以互相代替。在命题逻辑中，常用的逻辑等价式有：

①幂等律 ②交换律 结合律 ④分配律 ⑤吸收律

⑥德·摩根律 ⑦双否律 ⑧幺元律 ⑨极元律 ⑩互补律 其中， 代表任意命题。 利用等价式可以将结构复杂的命题化简，也可推证两个命题的等价关系。

例2 试证 证明 可用真值表验证： p q p pq pq 1 . . . .

三、命题的四种基本形式及其关系 四种命题的关系为 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 互 逆 原命题 逆命题 互 否 互 否 互为 逆否 互 逆 否命题 原命题 逆命题 逆否命题 互 否 互 否 互为 逆否 四种命题的关系为 否命题 逆否命题 互 逆

四种命题的真假，有着一定的逻辑联系。互为逆否的两个命题是逻辑等价的，可以通过真值表或命题运算律加以论证。 例如 互逆或互否的两个命题的真假性并非一致，可以同真，也可以同假，还可以一真一假。

四、同一性原理（同一法） “同一原理”是“同一法”的逻辑依据 互逆的两个命题不一定等价，但当一个命题的条件和结论都唯一存在，它们所指的对象是同一概念时，这个命题和它的逆命题等价。这一性质通常称为同一原理或同一法则。 例如，“等腰三角形底边上的中线是其底边上的高线” 逆命题“等腰三角形底边上的高线是其底边上的中线” “同一原理”是“同一法”的逻辑依据

对于符合统一原理的两个互逆命题，在证明其真假时，只要证明其中的一个即可。

五、充要条件 （1）若 则称 充分条件

六、数学公理、定理 公理：正确的命题，是经过长期实践总结出来的，并不断为实践所证实，但不是由别的命题证明出来的。 定理：是用逻辑方法证明是正确的命题 一个好的公理应满足三项基本要求： （1）相容性：（2）独立性：（3）完备性：

第五节 推理与证明

一、推理的意义和规则 1、推理  推理是从前提推出结论的思维过程，前提是指已知的命题集合，结论是从前提出发应用推理规则推出的命题。在逻辑上，由前提 推出结论 的严格定义如下： 若 为真， 则称 推结论 的推理正确， 是 的逻辑结果或有效结论。 记作 。

2、推理的结构： 推理是由前提和结论两部分组成 3、推理的逻辑基础是充足理由律 4、推理的规则 推理必须遵守一定的规则，凡是正确的推理形式，即由前提推出结论的逻辑规律，就称其为推理规则。中学数学中常用的推理规则有：

(1) 合简规则： （2）附加规则： （3）假言推理规则： （4）假言三段论规则： （5）析取三段论规则： （6）拒取式规则： （7）蕴合规则： （8）蕴析规则： （9）反证法推理规则：

10）演绎推理规则：若集合A中的每一个 都具有性质F，则集合A的任意非空子集B中的每个 也具有性质F。

5、推理的分类 演绎推理、归纳推理和类比推理 1．演绎推理 2、演绎推理的形式： 以一般的原理原则为前提，推到某个特殊的场合作出结论的推理方法，也称演绎法。 2、演绎推理的形式：

（1）三段论。 ∵ 菱形是平行四边形(大前提) 正方形是菱形 (小前提) ∴ 正方形是平行四边形(结论) 三段论是由两个前提推出的一个结论的推理形式。 三段论的结构：大前提、小前提、结论 三段论的理论依据是什么

是逻辑中被称为公理的一个规律：如果某一集合M中的所有元素x都具有性质F，而x0是集合M中的一个元素，那么x0也具有性质F 三段论的推理规则 用符号表示为

逻辑公理的推广：如果集合M中的每个元素具属性F，那么集合M中的任一非空真子集N的每一个元素也具有属性F。 矩形的对角线也互相平分

用符号表示为： 推理规则为 例如：

（2）选言推理：前提中有一个选言命题 推理规则为：

（3）联言推理：前提中有一个联言命题 推理规则为：

（4）假言推理：它的前提中至少有一个假言命题，从假言命题的真值情况可知，当 （肯定式） （否定式）

假言推理的推理规则： （5）关系推理：前提和结论都是关系命题的推理。前面讲的关系有：相等、平行、相似、对称、大于、包含等等。常用的有对称关系推理和传递关系推理。

A）对称关系推理：是根据对称关系进行推演的推理，例如 推理规则为： （R表示对称关系） 数学中的对称关系有哪些？ “全等”、“相似”、“平行”、“垂直”、“同解”、“等于”

B)传递关系推理：是根据传递关系进行推演的推理。例如 推理规则为： （R表示传递关系） 数学中的传递关系有哪些？ “大于”、“包含”、“平行”、“相似”

二、数学证明 数学证明是根据一些真实的命题（定理或公理或已知的条件）来确定某一命题真实性的思维形式。 1）数学证明的结构：已知、求证、证明 论据、论题、论证 2）数学证明的常用方法： 直接证法（演绎证法）与间接证法和数学 归纳法

1、直接证法 由论题的已知条件和已知定义、公理、定理等作为论据，利用逻辑推理规则直接推出论题结论真实性的证明方法。 在数学中证明论题时，关键在于构建从已知到求证的命题逻辑链，打通推理的信道，即找到证明的途径。通常，寻找证明途径的思考方法有综合法与分析法。

（1）综合法：如果思考推理过程的方向是从已知到求证，即从已知到未知，那幺，这种证明的方法称为综合法。（由因导果） （2）分析法：如果思考推理过程的方向与综合法正好相反，是从求证到已知，即从未知到已知，那幺，这种证明方法称为分析法。（执果索因） 已知 待证结论

综合法与分析法只是思考顺序不同，它们的逻辑依据是一样的，都是依据假言推理规则和假言三段论推理规则。上述命题的推理形式可分别表示为： 2、间接法 就是不直接证明论题，而是通过证明命题的否定是假的，或者通过证明命题的逻辑等价命题是真的，从而间接地确立论题的真实性的方法。间接证法又分为同一法和反证法。

（1）反证法： 代表一种逻辑矛盾 反证法的推理规则是什么？ 反证法的理论依据是什么？ 是排中律

（2）同一法 对于符合同一原理的命题，当不易直接证明时，可以改证它的逆命题，只要证明其逆命题正确，原命题就正确。这种间接证法叫做同一法。 同一法的理论依据是什么？ 同一原理

3、数学归纳法 数学归纳法是用来证明与某些与自然数有关的数学命题 的一种推理方法。它是根据归纳公理综合运用归纳、演绎推理的一种特殊的数学证明方法。 数学归纳法有两种基本形式，即第一数学归纳法原理和第二数学归纳法原理，前者依据的是皮亚诺归纳公理，后者依据的是自然数的最小数原理。 归纳公理：若M是正整数集N*的子集，即 ，且满足① ② 当 。则 。

由归纳公理很容易推出第一数学归纳法原理（第一数学归纳法）： 设p（n）是一个与正整数有关的命题。如果① p（1）成立；②若p（k）成立，则p（k+1）成立。那么对任何正整数n，p（n）都成立。 最小数原理：自然数集N的任意非空子集A中必有一个最小数。由此可以得到第二数学归纳法原理，即：设p（n）是一个与正整数有关的命题。如果① p（1）成立；②假设p（n）对于满足 的所有正整数l都成立，有p（k）成立。那么对任何正整数n，p（n）都成立。

作业： P229 16，18（1），22，24，25，27（1）