第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

四种命题关系及真假的判定 若a、b、c∈R，写出命题“若ac＜0，则ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假．

分析　认清命题的条件p：ac＜0和结论q：Δ＝b2－4ac＞0，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题．根据方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根的条件，得Δ＝b2－4ac＞0，根据不等式ac＜0和不等式Δ＝b2－4ac＞0的关系，判断三个命题的真假．

解　逆命题：若ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈R)有两个不相等的实数根，则ac＜0，是假命题．如当a＝1，b＝－3，c＝2时，方程x2－3x＋2＝0有两个不等实根x1＝1，x2＝2，但ac＝2＞0. 否命题：若ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根，是假命题．因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题． 逆否命题：若ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根，则ac≥0，是真命题．因为原命题是真命题，它与原命题等价．

规律总结　由一个命题可以写出其他三种形式的命题，其关键是认清原命题的条件和结论，严格按照逆命题、否命题、逆否命题的形式定义依次写出．判断命题的真假，需要依据相关的定义、公式、定理和结论等知识．当然，有些命题间有“同真假关联性”，也可以作为判断的依据．

变式训练1 写出下述命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断命题的真假． (1)若x2＋y2＝0，则x、y全为0； (2)若a＋b是偶数，则a、b都是偶数； (3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0.

【解析】　因为原命题是“若p，则q”的形式，根据其他三种命题的构造方法，分别写出逆命题、否命题、逆否命题． (1)逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0，命题为真； 否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为0，命题为真； 逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0，命题为真． (2)逆命题：若a、b都是偶数，则a＋b是偶数，命题为真； 否命题：若a＋b不是偶数，则a、b不都是偶数，命题为真； 逆否命题：若a、b不都是偶数，则a＋b不是偶数，命题为假． (3)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或x＝7，命题为真； 否命题：若x≠3且x≠7，则(x－3)(x－7)≠0，命题为真； 逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0，则x≠3且x≠7，命题为真．

充分条件与必要条件的判定 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一种作答)． (1)在△ABC中，p：A＞B，q：sinA＞sinB； (2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6； (3)在△ABC中，p：sinA＞sinB，q：tanA＞tanB； (4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.

分析　在上述题目中，给出了四个小题．各小题内容涉及三角函数、不等式和方程的许多知识．首先认定条件和结论，再利用相关知识判断命题的真假，进一步判断p和q的关系．

解　(1)在△ABC中，由正弦定理 = ， 故sinA＞sinB⇔a＞b，又由a＞b⇔A＞B， 所以sinA＞sinB⇔A＞B，即p是q的充要条件． (2)因为命题“若x＝2且y＝6，则x＋y＝8”是真命题，故p⇒q；命题“若x＋y＝8，则x＝2且y＝6”是假命题，故q不能推出p.所以p是q的充分不必要条件． (3)取A＝120°，B＝30°，p不能推出q；取A＝30°，B＝120°，q不能推出p ．所以p是q的既不充分也不必要条件． (4)因为P＝{(1,2)}，Q＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，PQ. 所以p是q的充分不必要条件．

规律总结　在充要条件的判断中，首先搞清哪个是命题的条件，哪个是命题的结论，准确理解充分性和必要性的含义．常用的判断方法有：①定义法直接判断；②利用逆否命题的等价性转化然后判断，特别是条件和结论都是从否定形式给出时，更有必要；③利用集合间的包含关系，转化后再判断．总之，要注意恰当利用两个条件的特点，采取适当的方法判断．

变式训练２ (1)是否存在实数m，使得2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件；

【解析】　(1)欲使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件，只要 ⊆{x|x＜－1或x＞3}，则只要－ ≤－1，即m≥2. 故存在实数m≥2，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件． (2)欲使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件， 则只要 ⊇{x|x＜－1或x＞3} ． 故不存在实数m，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件．

充分必要条件的证明 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一根为1的充分必要条件是a＋b＋c＝0. 分析　分两个步骤完成，即必要性和充分性分别证明．充分性、条件：a＋b＋c＝0，结论：ax2＋bx＋c＝0有一根为1；必要性、条件：ax2＋bx＋c＝0有一根为1，结论：a＋b＋c＝0.

证明　①必要性，即“若x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，则a＋b＋c＝0”． ∵x＝1是方程的根，将x＝1代入方程，得a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.结论成立． ②充分性，即“若a＋b＋c＝0，则x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根”． ∵a＋b＋c＝a×12＋b×1＋c＝0， ∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根． 综合①②知命题成立．

规律总结　充要条件证明的关键是：根据定义确定哪个是已知条件，哪个是结论；再去确定充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题．证明的过程实质上是两个互逆的推理过程．证明的方式有时可以直接证明，有时转化后再证明．

变式训练3 求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.

【证明】　①充分性：∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0， 方程x2＋mx＋1＝0有实根． 设x2＋mx＋1＝0的两个实根为x1、x2， 由根与系数的关系知x1x2＝1>0， ∴x1、x2同号． 又∵x1＋x2＝－m≤－2， ∴x1、x2同为负根． ②必要性：∵x2＋mx＋1＝0的两个实根x1、x2均为负， 且x1x2＝1， ∴m－2＝－(x1＋x2)－2＝－ －2 ＝－ ＝－ ≥0， ∴m≥2. 综合①②知命题得证．

反证法的应用 用反证法证明：设三个正实数a、b、c满足条件 ＋ ＋ ＝2，求证：a、b、c中至少有两个不小于1.

分析　用反证法证题时，首先对结论进行否定，即“a，b，c中至多有一个不小于1”共有两种情况：“a、b、c三数均小于1”和“a、b、c中有两数小于1”．由此作为基础，推出矛盾．

证明　假设a，b，c中至多有一个不小于1，这包含下面两种情况： ①a、b、c三数均小于1，即0<a<1,0<b<1,0<c<1， 则 ＞1， ＞1， ＞1， ∴ ＋ ＋ >3，与已知条件矛盾． ②a、b、c中有两数小于1，设0<a<1,0<b<1，而c≥1， 则 ＞1， ＞1， ∴ ＋ ＋ >2＋ >2，也与已知条件矛盾． ∴假设不成立，∴a、b、c中至少有两个不小于1.

规律总结　反证法有两种情形：其一，利用互为逆否的两个命题同真同假的关系，将不易判断真假的命题，转化为易判断真假的逆否命题(尤其是对否定语句的命题)，充分利用等价转化的思想方法，此时证明的命题为原命题的逆否命题．其二，假设结论不成立，利用已知条件，推出与已知或已知定理相矛盾的结论，此时证明的命题不再是原命题的否命题．总之，不论哪种情形的反证法，正确的反设，是正确运用反证法的前提．

变式训练4 已知a、b、c是互不相等的非零实数． 求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．

【证明】　(反证法)假设三个方程中都没有两个相异实根， 则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0. 上述三个不等式两边分别相加有 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0， 即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0. ① 由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立． ∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．

1．否命题是将原命题的条件否定后作条件，将原命题的结论否定后作结论得到的命题．写否命题最容易出现错误，学习中要注意掌握以下常见词语和其否定词语. 原词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个 至多有n个 至少有一个 任意的 任意两个 p或q 能 否定词语 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 至少有两个 至少有n＋1个 一个也没有 某个 某两个 綈q且綈p 不能 注：在实数范围内，“不大于”就是“≤”，“不小于”就是“≥”．

2．对于不是“若p，则q”型的命题，先将命题改写为“若p，则q”的形式，才能写出命题的逆命题、否命题和逆否命题，凡是不能写成“若p，则q”形式的命题，是没有所谓的逆命题、否命题和逆否命题的． 3．互为逆否命题的真假性是一致的(这是反证法的理论基础)，互逆命题和互否命题的真假性没有关系．

4．充分、必要条件的判断方法 (1)定义法 ①p是q的充分不必要条件⇔ ②p是q的必要不充分条件⇔ ③p是q的充要条件⇔ ④p是q的既不充分也不必要条件⇔ (2)集合法 若A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件．

5．用反证法证明问题的一般步骤 (1)反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； (2)归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾； (3)结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 6．适宜用反证法证明的数学命题 (1)结论本身以否定形式出现的命题； (2)关于唯一性、存在性的命题； (3)结论以“至多”“至少”等形式出现的命题．

若p：x2－2x－3＞0，q： ＞0，则 的什么条件？

错解　∵ ：x2－2x－3≤0⇔－1≤x≤3， ： ≤0⇔－2＜x＜3， ∴ 的既不充分也不必要条件．

错解分析　上述解法的错误在于对命题的否定的概念理解错误，误认为 ： ≤0.事实上，当x2－x－6＝0也属于 的一部分，这样导致了不等价变换．

正解　p：x2－2x－3＞0⇔x＜－1或x＞3， ∴ ：－1≤x≤3. q： ＞0⇔x＜－2或x＞3，∴ ：－2≤x≤3. ∴ ⇒ ，但 ， ∴ 是 的充分不必要条件