高中数学选修 2—1 第一章 常用逻辑用语之知识整合与学段复习 洞口三中 方锦昌 2008年9月

§1.1 命题及其关系 §1.1.1 命题 【例1】下列语句：① 是无限循环小数；②x2-3x+2=0；③当x=4时，2x>0；④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥难道菱形的对角线不互相平分吗？⑦把门关上. 其中不是命题的是 . ② ④ ⑦

【例2】 将命题“a>0时，函数y=ax+b的值随x值的增加而增加”改写成“若p则q”的形式，并写出否命题. 【解法一】原命题改为： a>0时，若x增加，则函数y=ax+b的值随之增加. 否命题为： a>0时，若x不增加，则函数y=ax+b的值也不增加. 【解法二】原命题也可改为： 当x增加时，若a>0 ，则函数y=ax+b的值随之增加. 否命题为：当 x增加时，若a≤0 ，则函数y=ax+b的值不增加.

【例3】有A、B、C三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条 A盒子上的纸条写的是：“苹果在此盒内” 【解】若苹果在A盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为真，不合题意． 若苹果在B盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的是假，C盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B盒内． 同样，若苹果在C盒内，则B、C两盒子上的纸条写的为真，不合题意． 综上，苹果在B盒内．

复习要点 1、命题的概念及结构； 2、命题的形式及表述； 3、命题的分类及判断.

练习与巩固 1.下列语句是命题的一句是（ ） A.你能帮我学好数学吗 B.地上有个月亮 C.四边形的对角线 D.整数集与自然数集 1.下列语句是命题的一句是（ ） A.你能帮我学好数学吗 B.地上有个月亮 C.四边形的对角线 D.整数集与自然数集 2.用数学符号表达“x不大于y”的实际含义是（ ） A.x≠y B.x<y 且 x=y C. x<y D.x<y 或 x=y

练习与巩固 3.下列语句中，能作为命题的一句是（ ） A.3比5大 B.太阳和月亮 C.高一年级的学生 D. x2+y2=0 3.下列语句中，能作为命题的一句是（ ） A.3比5大 B.太阳和月亮 C.高一年级的学生 D. x2+y2=0 4.下列语句中不是命题的是（ ） A.台湾是中国的 B.两军相遇勇者胜 C. 上海是中国最大的城市 D. 连接A、B两点

练习与巩固 5.判断下列语句是不是命题，若是，判断其真假，并说明理由. （1）矩形难道不是平行四边形吗？ （2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ （3）一个实数不是正数就是负数. （4）大角所对的边大于小角所对的边. （5）x+y是有理数，则x，y也都是有理数. （6）求证x∈R，方程x2+x+1=0无实根.

练习与巩固 6. 现有张三、李四、王五三人，张三说李四在说谎，李四说王五在说谎，王五说张三和李四都在说谎，请问：张三、李四、王五谁在说谎？谁说的是真话？

§1.1.2 四种命题 A．所给命题为假 B．它的逆否命题为真 C．它的逆命题为真 D．它的否命题为真 §1.1.2 四种命题 【例 4】对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是（　） A．所给命题为假 B．它的逆否命题为真 C．它的逆命题为真 D．它的否命题为真 【解析】先写出“正方形的四个内角相等”的逆命题、否命题、逆否命题，然后逐一判断． 【答案】B 【例 5】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假： （1）若a，b都是偶数，则a+b是偶数； （2）若m>0，则方程x2+x-m=0有实根. （课本P9 习题1.1 A组：第2题）

复习要点 1、四种命题的结构及其关系； 2、命题的等价性及其应用.

练习与巩固 7. 已知命题p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根；命题q：关于x的方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，已知命题p和q中，一个为真命题，一个为假命题，求m的取值范围.

§1.2 充分条件与必要条件 §1.2.1充分条件与必要条件 1.定义： §1.2 充分条件与必要条件 §1.2.1充分条件与必要条件 1.定义： （1）当“若p则q”形式的命题为真时，记作p q ，称p是q的充分条件，q是p的必要条件. （2）当“若p则q”形式的命题为假时，记作p q ，称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 2.判断方法： （1）利用逆否命题的等价性. （2）利用集合关系：A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}. ①若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件. ②若B A，则p是q的充分条件，q是p的必要条件. ③若A=B，则p是q（q是p）的充分且必要条件.

§1.2.2 充要条件 1.定义： 一般地，如果既有p q ，又有q p，记作p q ，称p是q的充要条件，显然q也是p的充要条件. §1.2.2 充要条件 1.定义： 一般地，如果既有p q ，又有q p，记作p q ，称p是q的充要条件，显然q也是p的充要条件. 2.判定方法： （1）如果若p则q、若q则p都是真命题，p就是q 的充要条件，否则不是. （2）若条件p的集合A，条件q的集合B满足A=B，则p是q的充要条件，否则不是. 3.充要条件的证明： 证充分性和必要性

§1.2 充分条件与必要条件 【证明】 ①充分性：∵a-b+c=0 即 a•(-1)2+b•(-1)+c=0 §1.2 充分条件与必要条件 【例 6】求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的的充要条件是a-b+ c=0. 【证明】 ①充分性：∵a-b+c=0 即 a•(-1)2+b•(-1)+c=0 ∴-1是ax2+bx+c=0的一个根. ②必要性： ∵ ax2+bx+c=0有一个根是-1 ∴ a•(-1)2+b•(-1)+c=0，即 a-b+ c=0. 由①②知ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+ c=0.

§1.3 简单的逻辑联结词 1、逻辑连结词的基本形式及含义 （1）且（and）：p∧q； （2）或（or）： p∨q； §1.3 简单的逻辑联结词 1、逻辑连结词的基本形式及含义 （1）且（and）：p∧q； （2）或（or）： p∨q； （3）非（not）： ﹁ p. 2、复合命题 的判断及 其真值表 “1=真”， “0=假”. p q p∧q p∨q ﹁ p 1

§1.3 简单的逻辑联结词 A．p或q为真，p且q为假，非p为真 B．p或q为假，p且q为假，非p为真 C．p或q为真，p且q为假，非p为假 §1.3 简单的逻辑联结词 【例 7】由“p：8＋7＝16，q：π>3” 构成的复合命题，下列判断正确的是（　　） A．p或q为真，p且q为假，非p为真 B．p或q为假，p且q为假，非p为真 C．p或q为真，p且q为假，非p为假 D．p或q为假，p且q为真，非p为真 【解析】因为p假，q真，由复合命题的真值表可以判断，p或q为真，p且q为假，非p为真． 【答案】A

§1.4 全称量词与存在量词 §1.4.1全称量词 【例 8】下列命题是全称命题吗？并请判断它们的真假： （1）平行四边形是圆内接四边形； （2）对于任意m∈R且m<0，是方程mx2+(2m+3)x+1-m=0有两个相异实根的充要条件； （3）三角形的三个内角中，至少有一个角不少于60°.

复习要点 1、全称命题—含有全称量词的命题； 2、全称量词的种类： “ 对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、“对每一个”、“任给”、“所有的”等； 3、全称命题的表示形式： x∈M，p(x). 4、全称命题的判定： 要对M中每一个元素x，证明p(x)成立；如果在M中找到一个x0，使p(x0)不成立，则这个全称命题为假命题.

§1.4.2 存在量词 1、特称命题—含有存在量词的命题； 2、存在量词的种类： “ 存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”等； 3、特称命题的表示形式： x∈M，p(x). 4、特称命题的判定： 只需在M中找到一个元素x0 ，使p(x0)成立即可；如果在M中，使p(x)成立的元素x不存在，则这个特称命题为假命题.

【例 9】用符号“ ”与“ ”表示下面含有量词的命题. （1）不等式|x-1|+|x-2|<3有实数解； （2）若a，b是偶数，则a+b也是偶数. 【解】 （1） x∈R，使|x-1|+|x-2|<3. （2） a，b ∈R，且a，b为偶数， 有a+b为偶数.

§1.4.3 含有一个量词的命题的否定 （1）两组对边平行的四边形是平行四边形； （2）能被3整除的数，一定能被6整除； 【例 10】写出下列命题的否定. （1）两组对边平行的四边形是平行四边形； （2）能被3整除的数，一定能被6整除； （3）有些三角形三个角均为60°； （4）至少有一个实数，既不大于0也不小于0； （5）对任意三角形，两边之和大于第三边； （6）存在实数a，b，c，使abc>0.

复习要点 1、命题p的否定即“非p”；全称命题的否定是特称命题，反之亦然： （1）命题p： x∈M，p(x). 2、命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若则”的形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论.

练习与巩固 8. 写出下列命题的否定并判断其真假： （1）平面上存在一点到线段两端点的距离相等； （2）奇数都不能被4整除.

本章小结