常用逻辑用语 第一章 “数学是思维的科学” 逻辑是研究思维形式和规律的科学. 逻辑用语是我们必不可少的工具. 通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑用语的用法,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.

四 种 命 题

观察下列语句 1.若x>1,则2x>1 2.若两个三角形相似，则它们面积相等。 3.若 4. 求方程x-5=0的解 5. 肺炎是如何传播的？ 以上哪些是命题？ 一般疑问句，祈使句等不能 判断真假，故不是命题

前面3个命题均是“若p, 则q”的形式 例1 指出下列命题中的条件p和结论q: (1) 能被2整除的整数是偶数; (2) 全等三角形面积相等. 表面上不是“若p, 则q” 的形式,但可以改变为“若p, 则q” 形式的命题.

若一条直线到圆心的距离不等于半径，则它不是圆的切线。 练习 1、把下列命题改写成“若P则Q”的形式“： （1）末位是0的整数，可以被5整除； 若一个整数的末位是0，则它可以被5整除。 （2）到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线； 若一条直线到圆心的距离不等于半径，则它不是圆的切线。

情景创设 （1）同位角相等 ， 两直线平行。 （2）两直线平行 ， 同位角相等。 （3）同位角不相等，两直线不平行 （1）同位角相等 ， 两直线平行。 （2）两直线平行 ， 同位角相等。 （3）同位角不相等，两直线不平行 （4）两直线不平行，同位角不相等 请观察上面命题中条件和结论与命题（1）中的条件和结论有什么区别与联系？

互逆命题：第2个命题的条件和结论分别是第1个命题的结论和条件，那么这两个命题叫互逆命题。 （1）同位角相等 ， 两直线平行。 （2）两直线平行 ， 同位角相等。 互逆命题：第2个命题的条件和结论分别是第1个命题的结论和条件，那么这两个命题叫互逆命题。

（1）同位角相等 ， 两直线平行。 （3）同位角不相等，两直线不平行 （1）同位角相等 ， 两直线平行。 （3）同位角不相等，两直线不平行 互否命题：第3个命题的条件和结论是第1个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。

（1）同位角相等 ， 两直线平行。 （4）两直线不平行，同位角不相等 （1）同位角相等 ， 两直线平行。 （4）两直线不平行，同位角不相等 互为逆否命题：第4个命题的条件和结论分别是第1个命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题。

（1）同位角相等 ， 两直线平行。 （2）两直线平行 ， 同位角相等。 （3）同位角不相等，两直线不平行 （4）两直线不平行，同位角不相等 原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 否命题 若 p 则 q 逆否命题 若 q 则 p

若p,则q 若q,则p 若非p，则非q 若非q，则非p 互逆 若p,则q 若q,则p 互 否 互 逆 否 互否 互否 若非p，则非q 若非q，则非p 互逆

若一个点在线段的垂直平 分线上, 则它到这条线段两端点的距离相等。 例题 1、把下列各命题写成“若P则Q”的形式： （1）正方形的四边相等。 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。 （2）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 若一个点在线段的垂直平 分线上, 则它到这条线段两端点的距离相等。

逆命题：若一个四边形四条边相等，则它是正方形。 2、分别写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题： （1）正方形的四边相等。 否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。 原命题： 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。 逆否命题：若一个四边形四条边不相等，则它不是正方形。

逆命题： 否命题： 逆否命题： 若X2－３Ｘ＋２＝０， 则Ｘ＝１或Ｘ＝２ 。 若Ｘ１且Ｘ２， 则Ｘ２－３Ｘ＋２ ０。 2、分别写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题： （1）正方形的四边相等。 （2）若X=1或X=2，则X2－3X+2=0。 否命题： 若Ｘ１且Ｘ２， 则Ｘ２－３Ｘ＋２ ０。 逆否命题： 若X2－３Ｘ＋２  ０， 则Ｘ１且Ｘ ２ 。

结论1：要写出一个命题的另外三个命题关键是分清命题的题设和结论（即把原命题写成“若P则Q”的形式） 注意：三种命题中最难写 的是否命题 结论2：（1）“或”的否定为“且”， （2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”， (4) “全”的否定为“不全” 。

若一条直线到圆心的距离不等于半径，则它不是圆的切线。 练习 1、把下列命题改写成“若P则Q”的形式“： （1）末位是0的整数，可以被5整除； 若一个整数的末位是0，则它可以被5整除。 （2）对顶角相等。 若两个角是对顶角，则这两个角相等。 （3）到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线； 若一条直线到圆心的距离不等于半径，则它不是圆的切线。

若一条直线是圆的切线，则它到圆心的距离等于半径。 2、填空： （1）命题“末位为0的整数，可以被5整除”的逆命题是： 若一个整数可以被5整除，则它的末位是0。 （2）命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等”的否命题是： 若一个点不在线段的垂直平分线上，则它到这条线段两端点的距离不相等。 （3）命题“对顶角相等”的逆否命题是： 若两个角不相等，则它们不是对顶角。 （4）命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是： 若一条直线是圆的切线，则它到圆心的距离等于半径。

2.四种命题的真假 看下面的例子： 1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 (真) 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 (真) 否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 (真) 逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 (真) 2）原命题：若a=0, 则ab=0。 (真) 逆命题：若ab=0, 则a=0。 (假) 否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。 (假) 逆否命题：若ab≠0,则a≠0。 (真) 3) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。 （假） （真） 逆命题：若ac2>bc2,则a>b。 （真） 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。 （假） 逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。

总结： 命题不一定为真。 （1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否 （2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、 （1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否 命题不一定为真。 （2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、 逆否命题不一定为真。 想一想？ 由以上三例及总结我们能发现什么？ 即：原命题与逆否命题的真假是等价的。 逆命题与否命题的真假是等价的。

四种命题的关系 原命题 若p则q 互逆命题 真假无关 逆命题 若q则p 互否命题真假无关 互为逆否 同真同假 互为逆否 同真同假 否命题 互逆命题 真假无关 逆命题 若q则p 互否命题真假无关 互为逆否 同真同假 互为逆否 同真同假 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆否命题 若﹁ q则﹁p

例题讲解 例1：设原命题是：当c>0时，若a>b，则ac>bc. 写出它的逆命 题、否命题、逆否命题。并分别判断它们的真假。 分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。 原命题的条件是“a>b”， 结论是“ac>bc”。 （真） 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. （真） 否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc. （真） 逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.

例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、 逆否命题，并分别指出其真假。 分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。 解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 （真） 否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0. （真） 逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0. （假） 小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。

练一练 1.判断下列说法是否正确。 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真； （对） 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 （对） 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 （错） 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 （错） 2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。 答：0个、2个、4个。 如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 （假） 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 （假） 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 （假） 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。 （假）

3.在下列横线上,填写”互逆””互否””互为逆否” (1)命题:”若q则┐p”与命题”若┐q则p” (2)命题:”若┐p则q”与命题”若q则┐p” (3)命题:”若q则p”与命题”若非p则非q” 互否 互逆 互为逆否

小结： 1、本节内容： （1）三个概念； （2）一个符号； （3）四个命题的关系 （4）四种命题的真假关系