§1.2 命题及其关系、充分条 件与必要条件 基础知识 自主学习 要点梳理 1.命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以________ 的陈述句叫做命题.其中_________的语句叫真命题, __________的语句叫假命题. §1.2 命题及其关系、充分条 件与必要条件 基础知识 自主学习 判断真假 判断为真 判断为假

2.四种命题及其关系 （1）四种命题 命题 表述形式 原命题 若p，则q 逆命题 __________ 否命题 ___________ 逆否命题 若q,则p

（2）四种命题间的逆否关系 逆命题 逆否命题 否命题

(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有_____的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假 性___________. 3.充分条件与必要条件 (1)如果p q,则p是q的________,q是p的________; (2)如果pq,qp,则p是q的__________. 4.特别注意：对于“若p，则q”形式的命题，命题的 否命题是既否定命题的条件,又 否定命题的结论；而 命题的否定是只否定命题的结论. 相同 没有关系 充分条件 必要条件 充要条件

基础自测 1.下列语句是命题的是 （ ） ①求证 是无理数； ②x2+4x+4≥0； ③你是高一的学生吗？ ④一个正数不是素数就是合数； 1.下列语句是命题的是 （ ） ①求证 是无理数； ②x2+4x+4≥0； ③你是高一的学生吗？ ④一个正数不是素数就是合数； ⑤若x∈R，则x2+4x+7>0. A.①②③ B.②③④ C.②④⑤ D.③④⑤

解析 ①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句.而 ②④⑤是命题，其中④是假命题，如正数 既不是 素数也不是合数，②⑤是真命题，x2+4x+4=(x+2)2≥0 恒成立，x2+4x+7=(x+2)2+3>0恒成立. 答案 C

2.命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是 （ ） A.“若x<y，则x2<y2” B.“若x>y,则x2>y2” C.“若x≤y，则x2≤y2” D.“若x≥y,则x2≥y2” C

3.(2009·江西文,1)下列命题是真命题的为（ ） A. B.若x2=1,则x=1 C.若x=y,则 D.若x<y,则x2<y2 解析 得x=y,A正确，B、C、D错误. A

4.（2008·湖北理，2）若非空集合A、B、C满足 A∪B=C,且B不是A的子集，则 （ ） A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件 D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是 “x∈A”的必要条件 解析 由题意知，A、B、C的关系可用 右图来表示. 若x∈C，不一定有x∈A，而x∈A,则必有x∈C， ∴“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件. B

5.(2009·四川文,7)已知a,b,c,d为实数,且c>d,则 “a>b”是“a-c>b-d”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 ∵c>d,∴-c<-d,a>b, ∴a-c与b-d的大小无法比较； 当a-c>b-d成立时，假设a≤b,-c<-d, ∴a-c<b-d,与题设矛盾，∴a>b. 综上可知，“a>b”是“a-c>b-d”的必要不充分 条件. B

题型分类 深度剖析 题型一 命题的关系及命题真假的判断 【例1】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否 命题，并判断它们的真假. 题型一 命题的关系及命题真假的判断 【例1】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否 命题，并判断它们的真假. （1）面积相等的两个三角形是全等三角形. （2）若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根. （3）若x2+y2=0，则实数x、y全为零. → 题型分类 深度剖析 思维启迪 写成“若p，则q”的形式 写出逆命题、否命题、逆否命题 判断真假

解 （1）逆命题：全等三角形的面积相等,真命题. 否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形， 真命题. 逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命 题. (2)逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1,假命题. 否命题：若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根，假命题. 逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q≥1,

(3)逆命题:若实数x,y全为零,则x2+y2=0,真命题. (1)在写一个命题的逆命题、否命题、逆 否命题时，首先要看这个命题是否有大前提.若有大 前提，必须保留其大前提，大前提不能动. （2） 原命题和其逆否命题等价. 探究提高

知能迁移1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否 命题，并判断其真假. （1）若m,n都是奇数，则m+n是奇数. （2）若x+y=5,则x=3且y=2. 解 （1）逆命题:若m+n是奇数，则m,n都是奇 数，假命题. 否命题：若m、n不都是奇数,则m+n不是奇数, 假命题. 逆否命题：若m+n不是奇数,则m,n不都是奇数, （2）逆命题：若x=3且y=2，则x+y=5,真命题. 否命题：若x+y≠5，则x≠3或y≠2，真命题. 逆否命题：若x≠3或y≠2，则x+y≠5,假命题.

题型二 充要条件的判断 【例2】指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充 分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条 件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sin A=sin B; (2)对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6; (3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B; (4)已知x、y∈R，p：(x-1)2+(y-2)2=0， q：(x-1)(y-2)=0. 首先分清条件和结论，然后根据充要条 件的定义进行判断. 思维启迪

解 （1）在△ABC中，∠A=∠B sin A=sin B，反 之，若sin A=sin B，因为A与B不可能互补（因为三 角形三个内角和为180°),所以只有A=B. 故p是q的充要条件. (2)易知, p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然 q p, 但 p q,即 q是 p的充分不必要条件,根据原命题 和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件. (3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有 x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件. (4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2, 所以pq但q p,故p是q的充分不必要条件.

探究提高 判断p是q的什么条件，需要从两方面分 析:一是由条件p能否推得条件q,二是由条件q能否推 得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命 题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观 化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题 的等价性，转化为判断它的等价命题.

知能迁移2 （2009·安徽理，4）下列选项中,p是 q的必要不充分条件的是 （ ） A.p:a+c>b+d,q:a>b且c>d B.p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图象不过 第二象限 C.p:x=1，q:x2=x D.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0,且a≠1)在（0,+∞）上 为增函数

解析 由于a>b,c>d a+c>b+d，而a+c>b+d却不一定 推出a>b,c>d.故A中p是q的必要不充分条件.B中,当 a>1,b>1时，函数f(x)=ax-b不过第二象限,当f(x)=ax- b不过第二象限时，有a>1,b≥1.故B中p是q的充分不 必要条件.C中，因为x=1时有x2=x，但x2=x时不一定有 x=1，故C中p是q的充分不必要条件.D中p是q的充要条 件. 答案 A

题型三 充要条件的证明 【例3】 （12分）求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个 负数根的充要条件为a≤0或a=1. 思维启迪 （1）注意讨论a的不同取值情况； （2）利用根的判别式求a的取值范围. 证明 充分性： 当a=0时，方程变为2x+1=0，其根为 方程只有一负根. 2分 当a=1时，方程为x2+2x+1=0，其根为x=-1, 方程只有一负根. 4分 当a<0时,Δ=4(1-a)>0，方程有两个不相等的根，

且 <0，方程有一正一负根. 6分 必要性： 若方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根. 当a=0时，适合条件. 8分 当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有实根， 则Δ=4-4a≥0，∴a≤1， 当a=1时，方程有一负根x=-1. 10分 若方程有且仅有一负根， 综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为 a≤0或a=1. 12分

探究提高 （1）条件已知证明结论成立是充分性. 结论已知推出条件成立是必要性； （2）证明分为两个环节，一是充分性;二是必要性. 证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”,而 应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明； （3）证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这 就要分清哪是条件，哪是结论.

知能迁移3 求证方程x2+ax+1=0的两实根的平方和大 吗？为什么？ 证明 设x2+ax+1=0的两实根为x1,x2, 则平方和大于3的等价条件是 ∴|a|> 这个条件是必要条件但不是充分条件.

思想方法 感悟提高 方法与技巧 1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必 须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并 列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其 中一个（或n个）作为大前提. 2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命 题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都 是真的. 思想方法 感悟提高 方法与技巧

3.命题的充要关系的判断方法 (1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假. (2)等价法：即利用 的等价关系，对 于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断:若AB,则A是B的 充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要 条件.

失误与防范 1.否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论， 而命题的否定是只否定命题的结论.要注意区别. 2.判断p与q之间的关系时,要注意p与q之间关系的方 向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆. 失误与防范

定时检测 一、选择题 1.（2009·重庆文，2）命题“若一个数是负数，则 它的平方是正数”的逆命题是 （ ） 它的平方是正数”的逆命题是 （ ） A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数，则它是负数” C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 解析 原命题的逆命题:若一个数的平方是正数， 则它是负数. 定时检测 B

2.（2009·浙江理，2）已知a,b是实数，则“a>0且 b>0”是“a+b>0且ab>0”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当a>0且b>0时，一定有a+b>0且ab>0.反之， 当a+b>0且ab>0时，一定有a>0,b>0.故“a>0且b>0” 是“a+b>0且ab>0”的充要条件. C

3.（2008·广东文，8）命题“若函数f(x)=logax (a>0,a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的 逆否命题是 ( ) A.若loga2≥0，则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定 义域内不是减函数 B.若loga2<0，则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定 C.若loga2≥0，则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定 义域内是减函数 D.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义 域内是减函数

解析 由互为逆否命题的关系可知,原命题的逆否命 题为：若loga2≥0，则函数f（x）=logax(a>0,a≠1) 在其定义域内不是减函数. 答案 A

4.已知A={x||x-1|≥1,x∈R},B={x|log2x>1,x∈R}, 则“x∈A”是“x∈B”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 A={x|x≥2或x≤0}，B={x|x>2}， x∈A x∈B，但x∈B x∈A. B

5.集合A={x||x|≤4,x∈R,},B={x|x<a},则“AB” C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 A={x|-4≤x≤4},若AB，则a>4, a>4 a>5,但a>5a>4. 故“A B”是“a>5”的必要不充分条件. B

6.（2009·北京文，6） 的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 这说明 外 还可以取其他的值.所以 的 充分而不必要条件. A

二、填空题 7.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x 的取值范围是______. 解析 x［2，5］且x{x|x<1或x>4}是真命题. 由 得1≤x<2 . [1,2)

8.设p:|4x-3|≤1;q:(x-a)(x-a-1)≤0，若p是q的充 解析 p: ≤x≤1,q：a≤x≤a+1, 易知p是q的真子集，

9.(2009·江苏,12)设 和 为不重合的两个平面， 给出下列命题：①若 内的两条相交直线分别平行 于 内的两条直线，则 平行于 ； ②若 外一条直线l与 内的一条直线平行，则l和 平行； ③设 和 相交于直线l，若 内有一条直线垂直于 l，则 和 垂直； ④直线l与 垂直的充分必要条件是l与 内的两条直 线垂直. 上面命题中，真命题的序号为________（写出所有真 命题的序号）.

解析 命题①是两个平面平行的判定定理，正确;命 题②是直线与平面平行的判定定理，正确；命题③中 在 内可以作无数条直线与l垂直,但 与 只是相交 关系，不一定垂直，错误；命题④中直线l与 垂直 可推出l与 内两条直线垂直，但l与 内的两条直线 垂直推不出直线l与 垂直，所以直线l与 垂直的必 要不充分条件是l与 内两条直线垂直. 答案 ①②

10.已知命题p: 命题q:1-m≤x≤1+m,m>0, 三、解答题 10.已知命题p: 命题q:1-m≤x≤1+m,m>0, 若 的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 解 p：x∈[-2,10]，q：x∈[1-m,1+m],m>0, ∵ 的必要不充分条件，∴pq且q p. ∴［-2，10］［1-m，1+m］.

11.已知p:|x-3|≤2，q:(x-m+1)(x-m-1)≤0，若 解 由题意p:-2≤x-3≤2,∴1≤x≤5. ∴ :x<1或x>5. q:m-1≤x≤m+1, ∴ :x<m-1或x>m+1. 又∵ 的充分而不必要条件，

12.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要 条件. 解 （1）a=0适合. （2）a≠0时，显然方程没有零根. 若方程有两异号实根，则a<0； 若方程有两个负的实根，则 必有 解得0<a≤1.

因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的 充要条件是a≤1. 返回