充分条件与必要条件习题课 1

充分条件、必要条件和充要条件的联系和区别： (1)若 ，但 ， 则 p 是 q 的充分不必要条件； (2)若 ，但 ， 则 p 是 q 的必要不充分条件； (3)若 ，但 ， 则 p 是 q 的充要条件； (4)若 ，但 ， 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件；

一、练习 必要不 充分条件 充分不 必要条件 既不充分也 不必要条件 充要条件 1.现规定电路中，记“开关K 闭合”为p，“灯泡L 点亮”为q，指出下列各电路图中p是q的什么条件？ (A) (B) (C) (D) L K A K A 必要不 充分条件 充分不 必要条件 既不充分也 不必要条件 充要条件

一、练习 2. 设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要 条件，D是B的充分条件，则 （1） D是C的什么条件？ （2）A是B的什么条件？ A D C B (1) D是C的充要条件． (2) A是B的充分而不必要条件． 3. 已知A={x | x满足条件p}，B={x | x满足条件q}， （1）如果A⊆B，则p是q的什么条件？ （2）如果B⊆A，则p是q的什么条件？ （3）如果A=B，则p是q的什么条件？

B D C A A 一、练习 4.若a、b、c都是实数，试选出适当的条件填空： A：ab=0， B：a+b=0， C：a2+b2=0， D：ab>0中， （1）_______是“a、b互为相反数”的充要条件； （2）“a、b都不为0”是_______的必要条件； （3）“a=0”的一个充分条件是________； B D C 变式：“a=0”是________的充分条件； A 5.设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是（ ） A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<3 A

二、例题 例1.求证：∠A=∠B=60o是△ABC为等边三角形的 充要条件 证明：（1）充分性 ∵∠A=∠B=60o （2）必要性 ∴∠C=60o ∴△ABC为等边三角形 （2）必要性 ∵△ABC为等边三角形 ∴∠A=∠B=∠C=60o 故∠A=∠B=60o 综上所述，∠A=∠B=60o是△ABC为等边三角形 的充要条件 思考：若求证的是“∠A=∠B=60o的一个充要条件是 △ABC为等边三角形”呢？ 要证明充要条件，必须分别证明充分性和必要性！

二、例题 例1.求证：∠A=∠B=60o是△ABC为等边三角形的 充要条件 思考：若求证的是“∠A=∠B=60o的一个充要条件是 在证明充要条件时，要注意下面两种情况的区别： （1）求证：A是B的充要条件； 充分性：A B，必要性：B A （2）求证：A的一个充要条件是B. 充分性：B A，必要性：A B

二、例题 例2.求直线l：ax-y+b=0经过两直线l1：x-y-1=0和 l2：3x-5y+1=0的交点的充要条件。 解： ∵由 可得 ∵由 可得 解： ∴直线l1和l2的交点为(3，2) ∵若直线l经过点(3，2)，则3a-2+b=0，即3a+b=2 ∴3a+b=2为直线l经过直线l1和l2的交点的必要条件

二、例题 例2.求直线l：ax-y+b=0经过两直线l1：x-y-1=0和 l2：3x-5y+1=0的交点的充要条件。 ∴3a+b=2为直线l经过直线l1和l2的交点的必要条件 又∵若3a+b=2成立，则b=2-3a ∴ax-y+b=ax-y+2-3a=a(x-3)-(y-2)=0 ∵直线a(x-3)-(y-2)=0恒过定点(3，2) 而点(3，2)即为直线l1和l2的交点 ∴3a+b=2为直线l经过直线l1和l2的交点的充分条件 综上所述，直线l经过直线l1和l2的交点的充要条件 为3a+b=2

小结 求命题p的充要条件的方法： （1）先找p的必要条件 （2）再证明q为p的充分条件 即再由 p 成立 q，则q为p的必要条件 即再由 q 成立 p ，则q为p的充分条件

三、练习 1.已知命题“若p，则q”，则下列说法正确的有__________ （3）（4） （1）若原命题为真命题，则 p是q的充要条件； A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分又不必要条件 B 注：利用命题的等价性：p是q的什么条件等价于﹁q是 ﹁p的什么条件。

二、例题 例3.已知p：|x-4|≤6，q：x2-2x+1-m2≤0，(m>0)， 若﹁p是﹁q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 由x2-2x+1-m2≤0，(m>0)可得1-m≤x≤1+m(m>0) ∴﹁p：x<-2，或x>10 ﹁q：x<1-m，或x>1+m(m>0) ∵﹁p是﹁q的必要不充分条件 ∴ {x| x<1-m，或x>1+m(m>0) } {x| x<-2，或x>10 } ≠ 或 解得m≥9 ∴实数m的取值范围是{m|m≥9}

二、例题 例3.已知p：|x-4|≤6，q：x2-2x+1-m2≤0，(m>0)， 若﹁p是﹁q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 由x2-2x+1-m2≤0，(m>0)可得1-m≤x≤1+m(m>0) ∴p：-2≤x≤10 ，q：1-m≤x≤1+m(m>0) ∵﹁p是﹁q的必要不充分条件 ∴ q是p的必要不充分条件 ∴ {x| -2≤x≤10 } {x| 1-m≤x≤1+m(m>0)} ≠ 或 解得m≥9 ∴实数m的取值范围是{m|m≥9}

四、练习 1.已知p： x2-8x-20≤0 ，q：x2-2x+1-m2≤0，(m>0)， 若﹁ q是﹁ p的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 变式:已知p： x2-8x-20≤0 ，q：x2-2x+1-m2≤0，(m>0)， 若﹁ q是﹁ p的充分条件，求实数m的取值范围.

ax 四、练习 2.从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件” 或“既不充分也不必要条件”中选出适当的一种填空： (1) “ A B ” 是 “ A∩B = A ” 的 ． (2) “ x∈A ” 是 “ x∈A∩B ” 的 ． (3) “ a=b=0 ” 是 “ ab=0 ” 的 ． (4) “ 0<x<5 ” 是 “ x - 2 < 5” 的 ． (5) “ 二次函数 的图象过原点 ” 是 “ c = 0 ” 的 ． y= +bx + c（a ≠ 0） ax 2 充分不必要条件 必要不充分条件 充分不必要条件 充分不必要条件 充要条件

解： x x x 四、练习 3.已知p：m<-3，q：方程x2-x-m=0无实根，那么p是q的什么条件，试证明你的观点. = 0 m 方程 无实根，则 1 4 Δ= (- 1) – 4·1· (- m) = 1 + 4m < 0 即m < -　 ． 2 = 0 m - x - x 2 ∴m < -３ 方程 　 无实根．　 ∴p是q的充分条件． = 0 m - x - x 2 ∵方程 无实根 m < -３，　 ∴p不是q的必要条件． ∴综上所述，p是q的充分而不必要条件．

四、练习 若x,y是非零实数，且x>y, 求证： 的充要条件是xy>0. 证明：（1）充分性 又

三、练习 若x,y是非零实数，且x>y, 求证： 的充要条件是xy>0. 证明：（2）必要性

引申 ①从命题角度看 ㈠若p则q是真命题,那么p是q的充分条件 q是p的必要条件. ㈡若p则q是真命题，若q则p为假命题,那么p是q 的充分不必要条件，q是p必要不充分条件. (三）若p则q，若q则p都是真命题,那么p是q的充要条件 （四）若p则q，若q则p都是假命题,那么p是q的既不充分也不必要条件，q是p既不充分也不必要条件.

引申 ②从集合角度看 命题“若p则q”

常用正面叙述词及它的否定.   正面词语 否定词语 等于 小于 大于 是 都是 不等于 不小于 不大于 不是 不都是

常用正面叙述词及它的否定. 正面词语 否定词语 至多有 一个 至少有 一个 至多有 n个 任意的 所有的 一个也 没有 至少有 n+1个 常用正面叙述词及它的否定.   正面词语 否定词语 至多有 一个 至少有 一个 至多有 n个 任意的 所有的 一个也 没有 至少有 n+1个 至少有 两个 某个 某些

四、练习 5.已知p：x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0， 那么p是q的什么条件，试证明你的观点.