左台益 Tai-Yih Tso 國立臺灣師範大學數學系 2010. 09. 30 動態數學軟體之教學設計 左台益 Tai-Yih Tso 國立臺灣師範大學數學系 2010. 09. 30

摘要 抽象數學通常需借助外在表徵作為個體內在建構與外部溝通數學思維之仲介。 自由軟體GeoGebra是整合幾何、代數、微積分及統計試算表等多重表徵的數學學習數位工具且以開放碼公諸於世使其自然形成有機體成為不斷發展之數學學習資源。 本報告將從中學數學學習面向概述GeoGebra教學設計及其相關的資源應用。

運用動態鏈結多重表徵於數學學習 數學抽象概念通常需藉助外在的表徵作為個體內在建構與外部溝通的仲介。 在數學的發展過程中，人們不僅深入發展數學的知識，同時也建構出各種表徵形式以溝通及存取抽象數學思維。 學習者要瞭解、學習與應用數學，不僅要思考數學的本質意義，且要能充分掌握其各種表徵以及表徵之間的轉換與轉移（Lesh, 1987; Kaput, 1987, 1989, 2008），透過外在表徵的理解與操作來建構此概念的內在表徵（Goldin, 2000）。

數位學習活動架構 現今的數學教學趨勢即是運用資訊科技整合多重表徵於學習系統，來鼓勵學習者透過自我探索以建構知識。而在數位學習活動中，設計者應從科技特色、學習理論及學科本質等三方面來做考量。

數位學習活動架構 科技特色 學科本質 學習理論 學習者為中心 生活議題為主軸 多重表徵學習環境 增進學生 深入了解 數學概念 多媒體 動態模擬 網路科技工具 科學探索 活動 科技特色 學科本質 學習理論

數學數位學習環境設計構念

多重表徵數位學習環境實作參考因素 Ainsworth（2006）針對多重表徵的學習環境提出DeFT理論，認為教學設計者在布置教學環境時，應考量下列三個與學習有關的基本面向： 多重表徵學習環境之設計參數（Design parameters） 多重表徵的基本功能（Functions） 學習者與表徵間進行互動時所要進行的認知作業（Task）

多重表徵學習環境之設計參數 在設計多重表徵之學習環境時，應考量到五個與表徵有關的設計參數著手 表徵的數量(number) 表徵物所呈現的訊息量(information) 表徵系統的形式(form) 表徵的呈現次序(sequence) 表徵間的轉換(translation)

多重表徵的基本功能

與多重表徵互動時需進行的認知作業 學習者應理解表徵物的形式 學習者應理解表徵物與被表徵物間的關連 學習者應理解如何選擇合適的表徵 學習者可能需理解如何建構合適的表徵 學習者可能需理解不同表徵物間的關連與轉換

數位設計工具：GeoGebra簡介 GeoGebra是由Markus Hohenwarter教授在2001年於奧地利Salzburg大學攻讀數學教育博士所發展出的一套自由軟體 結合了幾何、代數、微積分及統計試算表等功能並透過JavaScript做為人機介面溝通的橋樑 以開放源碼（open source）方式使其成為不斷發展的有機體 不到10 年的期間（2002 ~ 2010）就已發展出51種多國語言且跨平台的軟體

數位設計工具：GeoGebra特色 GeoGebra能夠如同DGS一樣，透過點、線、圓等基本作圖工具進行動態構圖 提供CAS中的函數繪圖、根解以及微分、積分等基本數值運算功能 而在3.2版中更加入了能夠做基本統計運算的試算表，嘗試結合幾何、代數、微積分、統計試算 DGS CAS GeoGebra

GeoGebra的溝通介面與表徵 誠如上述所言，GeoGebra在3.2版中涵蓋了幾何、代數、統計與微積分等領域，因此介面的設計上主要包含了三大視區與指令輸入模式，分別是： 幾何視區（Graphics View） 代數視區（Algebra View） 試算表視區（Spreadsheet View） 指令列（Input Bar）

GeoGebra的三大視區與指令輸入模式 代數視區 幾何視區 試算表視區 指令列

動態鏈結 動態數學軟體GeoGebra做為數學學習工具，具有如下基本功能：動態圖形、動態行為、拉曳認知行動、多重表徵。 Hohenwarter & Preiner（2007）將此行為稱為表徵間的雙向連結（Bidirectional Connection of Representations）。

GeoGebra基本操作說明 構圖工具：當使用者選定工具後，在工具列右側會出現工具的操作提示及說明 指令操作：按F1可得到操作提示及指令說明 幾何物件可透過代數變數來改變屬性 示範操作

GeoGebra動態網頁 提供教師或教材設計者將作品以動態網頁形式放置在網際網路上供社群使用，形成一種可分享的公共資源。 透過JavaScript來擴增applet的功能以及連結網頁中的元件功能（例如按鈕、文字方塊等等），與使用者進行互動 JavaScript具有簡化人機溝通介面、整合多元資源、結構各項學習活動等幾項基本功能。

GeoGebra動態網頁實例 設定GGB中物件的變數值 方法： setValue(物件名稱, 數值) 例如： document.ggbApplet.setValue(“a”, 1); document.ggbApplet.setVisible(“c”, 3);

GeoGebra動態網頁實例 顯示或隱藏GGB中的物件 方法： setVisible(物件名稱, 顯示條件) 例如： document.ggbApplet.setVisible(“H”, true); document.ggbApplet.setVisible(“H”, false);

GeoGebra教學設計 國中課程 高中課程 大眾科普 線型函數 幾何證明 二次函數 複數乘法 空間中的直線 與平面 二次不等式 九章算術

複數乘法數位設計 教學目標 透過六個活動引導學生整合複數乘法的一般式、極式以及幾何變換的表徵 一般式：(a+bi)(c+di) 極式：r(cosθ+isinθ)*s(cosφ+isinφ) 幾何變換：旋轉與伸縮 電腦環境 動態連結多重 表徵學習環境 使用探索 學生建構 數學概念 設計 科技特色 學習理論 數學結構 GeoGebra動態網頁 DeFT理論 一般式、極式、幾何變換

複數乘法之動態視窗環境設計 設計結果 一、複數乘法之動態視窗學習環境 (一)一般式轉極式 (二)極式轉一般式 (三)一般式乘積 (四)極式乘法 (五)極式除法 (六)棣美弗定理 二、學習環境的特色 (一)動態連結多重表徵性質 (二)視窗型環境 (三)教學內容

動態視窗環境之教學成效 E 3 – 2 11 1 5 後測 前測 表徵 整合型 表徵轉 移型(+) 移型(–) 單一表 徵型(+) 徵型(–) 合計 3 – (7%) 2 (5%) 11 1 12 (29%) 5 18 (44%) 6 (15%) 28 (68%) 8 (20%) (0%) E

二次不等式數位設計 教學目標 透過四個活動引導學生統合運用圖形與代數表徵，形成過程概念(procept)。 函數的表徵：圖形、代數、表列 二次不等式的解 二次多項式的正定性

二次不等式之動態視窗環境設計 活動一：二次函數點集及其圖形 活動二：二次函數圖形與x軸交點 活動三：解二次不等式 活動四：二次不等式之正定性

利用數線標示 兩根由右至左 三區域函數值 分別為正、負、正 解二次不等式可分解型的解題思維： 1.多重表徵策略 2.純代數策略 以因式分解式 與x2項係數 繪製拋物線概圖 由圖形解讀出 不等式的解 因式分解 並找出 二次方程式兩根 利用數線標示 兩根由右至左 三區域函數值 分別為正、負、正 找出二次 不等式的解

解二次不等式恆正恆負型的解題思維： 1.多重表徵策略 2.純代數策略 解二次不等式恆正恆負型的解題思維： 1.多重表徵策略 2.純代數策略 判別式為負 方程式無實根 函數圖形 與x軸無交點 由圖形解讀出 不等式的解 判別式為負 方程式無實根 記憶法則或 帶入數字計算 求出 不等式的解 產生錯誤 產生錯誤 產生錯誤

空間中的直線與平面 之動態視窗環境設計 活動一：平面上 直線的參數式 活動二：平面中，直線方程式與方向向量、法向量的關係 活動三：空間中，以法向量描述平面 活動四：空間中，ax+by=c所代表的圖形? 活動五：空間中，平面與法向量的關係 活動六：空間中，直線與方向向量 活動七：空間中，直線方程式與方向向量的關係

發展中的台灣GeoGebra中心 國立臺灣師範大學數學系的ELME也預計在近期向國際GeoGebra中心（International GeoGebra Institute, IGI）申請成為台灣GeoGebra中心 將採用研究群的方式進行 歡迎台灣從事動態幾何研究學者、具有豐富數學數位教材設計經驗之教師、以及GeoGebra的使用者，共同組成一個兼具研究與教學實務的GeoGebra研究中心

台灣GeoGebra中心目標與運作功能 教師培訓 教材發展與分享 研究與發展 建立GeoGebra認證網絡 建立中學數學課程的教材資源中心 發行ELME通訊 研究與發展 結合數學師資培育與數學教育研究

GeoGebra認證制度 GeoGebra使用者 GeoGebra專家 GeoGebra輔導員 GeoGebra中心輔導員 GeoGebra與JavaScript的設計 GeoGebra輔導員 舉辦過GeoGebra工作坊，並有能力進行相關行動研究 GeoGebra中心輔導員 具豐富經驗GeoGebra使用者、輔導員與研究者，並通過國際GeoGebra中心的認可

GeoGebra工作坊與教材中心 GeoGebra工作坊 http://sites.google.com/site/taiwanggb/curses GGB教材中心 http://sites.google.com/site/taiwanggb/ggbreresources ELME http://science.math.ntnu.edu.tw/ELME/ 台灣GeGeobra中心 http://www.geogebra.tw

GeoGebra相關網站 TaiwanGGB論壇 http://groups.google.com/group/taiwanggb/ 阿壽工坊 http://140.111.115.8/longlife/GeoGebra/ 昌爸工作坊 http://www.mathland.idv.tw/ 錦和高中數學學習網GeoGebra教學 http://learn.jhsh.tpc.edu.tw/~smath/link1.html GeoGebra（台師大數學系　陳創義教授） http://140.122.140.4/~cyc/_private/geogebra/

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