电工电子技术 电子电路教研室

第2章 电路常用分析方法 2.1 等效变换法 2.2 支路电流法 2.3 叠加定理 2.4 节点电压法 2.5 戴维宁定理与诺顿定理 2.1 等效变换法 2.2 支路电流法 2.3 叠加定理 2.4 节点电压法 2.5 戴维宁定理与诺顿定理 2.6 最大功率传递定理

2.1 等效变换法 电路等效的一般定义：如果一个二端网络（对外有两个端钮的网络）和另一个二端网络的伏安关系完全相同，则这两个二端网络对任意的外电路来说是等效的 . 在计算中可把一个复杂的二端网络用简单的二端网络代替，从而简化计算过程。

若几个理想电压源串联，对外可等效成一个理想电压源，其电压等于相串联理想电压源端电压的代数和。 2.1.1 电源的等效变换 理想电压源串联 若几个理想电压源串联，对外可等效成一个理想电压源，其电压等于相串联理想电压源端电压的代数和。 + _ u us1 － us2 － + u 等效电路 注意参考方向

理想电流源并联 若几个理想电流源并联可等效成一个理想电流源，其等效源的输出电流等于相并联理想电流源输出电流的代数和。 等效电路

任意二端网络与理想电压源并联 任意二端网络与理想电压源并联对外等效为此此理想电压源 .

任意二端网络与理想电流源串联 任意二端网络与理想电流源串联对外均可将其等效为此理想电流源

实际电压源、电流源模型的等效互换 图a 图b 如果要让实际电压源、实际电流源等效应满足

注意 （1）这种等效并不局限于电源模型，可以这样总结：电压为US的理想电压源和电阻R0串联都可以等效为电流为US/ R0的理想电流源和这个电阻并联。 （2）电压源和电流源的等效是对外电路而言的，或是对电源输出电流、端电压的等效，对电源内部讲是不等效的。 （3）理想电压源和理想电流源之间不能等效。 （4）等效互换时要特别注意理想电压源的极性和理想电流源的电流方向。

例 求电路中的电流 。 解：

例 求电路中流过6Ω电阻的电流 6 I I 2A 6 10 4 2A 10 4 + + + 2A 30V + 10 40V _ 30V 40V _ _ _ I 6 10 4 + + 30V 60V _ _

2.2 支路电流法 支路电流法：以支路电流为未知量、根据元件的 VCR,应用基尔霍夫定律（KCL、KVL）列方程组求解电路的方法 。 对于有n个节点、b条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有b个。只要列出b个独立的电路方程，便可以求解这b个变量。

支路电流法的解题步骤: b a + - U2 R2 R3 R1 U1 I1 I3 I2 例 ： 对节点 a： I1+I2–I3=0 1. 在图中标出各支路电流的参考方向，对选定的回路 标出回路循行方向。 2. 应用 KCL 对节点列出 ( n－1 )个独立的节点电流方程。 3. 应用 KVL 对回路列出 b－( n－1 ) 个独立的回路电压方程(通常可取网孔列出)。 4. 联立求解 b 个方程，求出各支路电流。 b a + - U2 R2 R3 R1 U1 I1 I3 I2 例 ： 对节点 a： I1+I2–I3=0 对网孔1： I1 R1 +I3 R3=U1 1 2 对网孔2： I2 R2+I3 R3=U2

例 (1) 应用KCL列(n-1)个节点电流方程 对节点 a： I1 – I2 –I5 = 0 对节点 b： I3 – I4 +I5 = 0 对节点 c： I2 + I4 – I = 0 (2) 应用KVL选网孔列回路电压方程 对网孔abda：I5 R5 – I3 R3 +I1 R1 = 0 对网孔acba：I2 R2 – I4 R4 – I5 R5 = 0 对网孔bcdb：I4 R4 + I3 R3 = U (3) 联立解出 I5 试求电流I5。

2.3 叠加定理 齐次性与叠加性是线性电路中非常重要的特性，齐次性是指当一个激励作用于线性电路时，电路中任意的响应与该激励成正比。而叠加性是由叠加定理反映的。 叠加定理内容：当线性电路中有几个独立源（激励）共同作用时，电路中任意支路的电流和电压（响应）等于电路中各个独立源单独作用时，在该支路产生的电流或电压的代数和。 这里某个电源单独作用，是指其它电源不作用，即其它电压源的输出电压和电流源的输出电流为零，那么理想电压源相当于短路，理想电流源相当于开路。

例1 如图a所示含两个电源的电路，在求电流I1 原电路 = R1 (a) R3 I1 US1 + – R2 US2 R1 R2 R1 R2 + – + – + R3 R3 US2 US1 (b) (c) 单独作用 US2 单独作用 US1 US1 单独作用时((b)图)

I´1 I1 原电路 = R1 (a) R3 I1 US1 + – R2 US2 R1 R2 R1 R2 + – + – + R3 R3 US2 US1 (b) (c) 单独作用 US2 单独作用 US1 US2单独作用时((c)图)

例2 用叠加定理求图a中的电流IX 20V电源单独作用时 4V电源单独作用时

10A电源单独作用时

5A电源单独作用时

应用叠加定理时应注意： （2）叠加方式是任意的，可以一次使一个独立源单独作用，也可一次使几个独立源单独作用。 （1）此定律只适应于线性电路的电压和电流，不适用于直接计算功率。如在例1中电阻R1的功率 （2）叠加方式是任意的，可以一次使一个独立源单独作用，也可一次使几个独立源单独作用。 （3）叠加时应注意电压和电流的参考方向，求其代数和。 （4）若电路中有受控源，应用叠加定理在每次独立源单独作用时，受控源要保留其中，其数值要随每一独立源单独作用时，控制量数值的变化而变化。

2.4 节点电压法 电路中任选一个节点作为参考点，其余的每个节点到参考点之间的电压降，称为相应各节点的节点电压（node voltage）或节点电位（node potential）。 节点电压法（node voltage method）是以节点电压为未知量，用节点电压表示各支路电流，应用KCL列写节点电流方程求出节点电压，进而求解电路中各支路的电压、电流、功率的方法。节点电压法适用于支路较多、节点较少的电路。

以下图所示电路为例，说明节点电压法的应用。 电路中选节点 4作参考点，列写节点1、2、3的KCL方程。

un1, un2, un3分别为 节点1、节点2、节点3的节点电压。 经整理可得

上式可写成如下形式 G11=G1+G5 节点1的自电导 G22=G1+G2+G3 节点2的自电导 G33=G3+G4+G5 节点3的自电导 节点的自电导等于接在该节点上所有支路的电导之和。

G12= G21 =-G1 节点1与节点2之间的互电导 G23= G32 =-G3 节点2与节点3之间的互电导 互电导为接在节点与节点之间所有支路的电导之和，总为负值。

iS11=iS1-iS2 流入节点1的电源电流的代数和。 流入节点取正号，流出取负号。

对于含n+1个节点的电路，在选好参考点之后，列出下面n个方程求各节点电压。

例 应用结点法列写电路结点方程。 节点1： 节点2：

如果以b点位参考点，应用节点法列方程可得 含有两个节点的电路 求电压U 如果以b点位参考点，应用节点法列方程可得 上式中分母是连接到a点所有支路中的电导之和，总为正。分子的各项可正可负，电压源正极连接到a点取正，电压源负极连接到a点取负。上式称为弥尔曼定理

例 试求图中各支路电流。 b a I2 I3 42V + – I1 12 7A 3 Is 6 解: (1) 求节点电压 Uab (2) 求各电流

2.5 戴维宁定理与诺顿定理 工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题。 如图a，求流过R5的电流I5，可把电路画成如图b的形式，就是把电路除R5外其余的部分当作一个有源二端网络，此二端网络对所计算的支电路（R5）而言，仅相当于一个电源，它为R5提供电能，因此，这个有源二端网络一定可以等效成一个电源的形式。 a) b)

电源可用两种电路模型来表示：一种是理想电压源串联内阻的电路，另一种是理想电流源并联内阻的电路。可见N可等效成两种电源，因此可得出下面两个定理：戴维宁定理（Thevenin’s theorem）和诺顿定理（Norton’s theorem）。

戴维宁定理 定理内容：线性有源二端网络N，就其端口来看可等效为一个理想电压源串联电阻支路，理想电压源的电压等于网络N的开路电压uoc。串联电阻R0（戴维宁等效电阻）等于网络中所有独立源为零时所得网络N0的等效电阻Rab。

应用戴维宁定理求解电路的解题步骤 （1）求网络N的开路电压uoc。计算方法视具体电路而定。前面讲过的串并联等效、分流分压关系、电源的等效变换、叠加定理、节点法等都可用。 （2）求R0：断开待求支路，剩余的二端网络中所有独立源置零（电压源短路、电流源开路），求此无源网络端钮a、b之间的等效电阻。求戴维宁等效电阻的方法有电阻串并联等效法、开路电压短路电流法、外加电源法，如果二端网络中不含受控源，通常采用电阻串并联等效法。 （3）画等效电路，求解待求量。

例：应用戴维宁定理求解图中的电流I5 解：(1) 求开路电压Uoc

(2) 求戴维宁等效电阻R0 =

(3)根据已求得的Uoc、R0画出戴维宁等效电路，接上负载，求I5

例：图示电路中, 用戴维宁定理求I。

解：(1)将 支路断开， 得有源二端网络ab，求开路电压

(2)将有源二端网络的电源置零，如图所示, 可求得戴维宁等效电阻 (3) 求I

I R4 例: 求图示电路中的电流 I。 已知R1 = R3 = 2, R2= 5, R4= 8, R5=14, E1= 8V， + – R2 IS I R5 例: 求图示电路中的电流 I。 已知R1 = R3 = 2, R2= 5, R4= 8, R5=14, E1= 8V， E2= 5V, IS= 3A。 (1)求UOC 解： R4 R0 + – I B A UOC=E E1 + – E2 IS A R3 R1 R2 R5 U0C B I3 A R3 R1 R2 R5 R0 B E1 I3 = R1 + R3 =2A =14V UOC=I3R3 –E2+ISR2 (2)求 R0 R0 + R4 E = 0.5A I= (3) 求 I R0 = (R1//R3)+R5+R2=20 

2.5.2 诺顿定理 任何一个有源二端线性网络都可以用一个理想电流源和内阻并联的电路等效代替。理想电流源的电流就是此二端线性网络的短路电流，电阻等于该网络中所有独立源为零值时所得网络N0的等效电阻。

应用诺顿定理求解电路的解题步骤 (1)求将ab端口短路，设短路电流的参考方向，然后计算（计算方法视具体电路而定） (2)求 R0，同戴维宁定理。 (3)画等效电路，求解待求量。

a 例： R1 R2 IG R1 R2 IG G RG G RG R3 R4 R4 R3 E – b 已知：R1=5 、 R2=5  – + G R3 R4 R1 R2 IG RG 例： E – + G R4 R2 IG RG R1 R3 已知：R1=5 、 R2=5  R3=10 、 R4=5  E=12V、RG=10  试用诺顿定理求检流计中的电流IG。 有源二端网络

IS I R =(R1//R3) +( R2//R4 ) = 5. 8 IS = I1 – I2 = 1. 38 A– 1.035A E a b – + R3 R4 R1 R2 I1 I4 IS I3 I2 I 因 a、b两点短接，所以对电源 E 而言，R1 和R3 并联，R2 和 R4 并联，然后再串联。 R =(R1//R3) +( R2//R4 ) = 5. 8 IS = I1 – I2 = 1. 38 A– 1.035A = 0. 345A 或：IS = I4 – I3

(2) 求等效电源的内阻 R0 a b R3 R4 R1 R2 R0 R0 =(R1//R2) +( R3//R4 ) = 5. 8 (3) 画出等效电路求检流计中的电流 IG R0 a b IS RG IG

2.6 最大功率传递定理 一个含源线性二端网络，当所接负载不同时，二端网络传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。线性有源二端网络可以用戴维宁或诺顿等效电路来代替，因此可在下图中研究这一问题。

RL P P max 对P求导：

例 电路如图所示，若RL可任意改变，问RL为何值时其上获得的功率最大，并求最大功率。 解：（1）求开路电压

(2)求 R0 （3）由最大功率传递定理知

注意 最大功率传输定理用于一端口电路给定,负载电阻可调的情况; 一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是50%;