第三章 电阻电路的一般分析

3-1 电路的图 3-2 KCL和KVL的独立方程数 3-3 支路电流法 3-4 网孔电流法 3-5 回路电流法 3-6 结点电压法

重 点 1、电路的图、“树” 的概念 2、结点法 3、网孔法 难 点 1、树的概念 2、一般分析中处理受控源问题 3、结点法的纯压源处理、回路法的 纯流源处理

本章一般分析方法的基本思想： (KVL、KCL)+VAR = 电路方程 支路法、 回路法(网孔法)、 结点法 网络图论与矩阵分析、计算方法等构成电路的计算机辅助分析的基础。其中网络图论主要讨论电路分析中的拓扑规律性，从而便于电路方程的列写。

3-1 电路的图

一、 电路的图 1、定义： 电路的节点和支路的集合，称为电路的图，用G表示。在图上，每一条支路的两端都连接到相应的节点上。 意义：电路的图表明了其联接特性(但不表明支路特性)，适用于同结构的电路。

2、 有向图 3、连通图 有向图是指各个支路规定了i、u关联参考方向的图，反之，称为无向图。 当图G 中的任意两个节点之间至少存在一条路径时，称为连通图。

4、子图 如Gi的每个结点、支路，也是G的结点和支路， 则称Gi是G的一个子图.

二、 树的概念: 1 定义： 一个连通图G的树T是指G的一个连通子图，它包含G的全部节点，但不含任何回路。 树支数 连支数 树数 1 定义： 一个连通图G的树T是指G的一个连通子图，它包含G的全部节点，但不含任何回路。 树中的支路称为“树支” ；不属于T 的其他支路称为“连支” 。 树支数 连支数 树数 (其中: n是节点数，b是支路数)

2 基本回路: 只含一条连支的回路称为单连支回路，它们的总和为一组独立回路，称为“基本回路”。树一经选定，基本回路唯一地确定下来。 2 基本回路: 只含一条连支的回路称为单连支回路，它们的总和为一组独立回路，称为“基本回路”。树一经选定，基本回路唯一地确定下来。 基本回路数(组)

3-2 KCL和KVL的独立方程数

1、问题的提出： 4个节点，6条支路 KCL: 只有三个是独立的 KVL: 1 2 3 4 只有三个是独立的

4个节点，6条支路 KCL方程3个独立； KVL方程3个独立. 2、结论： KCL的独立方程数： KVL的独立方程数：

3、说明： 树支数 连支数 (1) KVL: 独立方程数 独立回路数 单连支回路组 b-(n-1) 个 独立回路：每个回路至少有一条新支路 平面图上的全部网孔是一组独立回路 (2) KCL: 独立方程数 单树支割集组 n -1

3-3 支路电流法

一、2B法 1．方法 (n个节点、b 条支路) 以支路电压和支路电流作为变量，对节点列写独立电流（KCL）方程，对回路列写独立电压（KVL）方程，再对各个支路写出其电压电流关系方程，简称支路方程。从而得到含2b个变量的2b个独立方程。又称为“2B法”。

2 ．变量 b个支路电流和b个支路电压，共2b个变量 。 3．方程结构 方程结构为b个支路VAR方程，n-1个电流（KCL）方程，b-(n-1)个电压（KVL）方程，共2b个方程

2B法 例题

二、支路电流法

(一)、问题的提出 对前面2b法例题： 如果我们把支路关系带入电压方程，便有：

因此有以下关系：对应6个支路电流的6个方程，方程是完备而充分的。 该回路全部R 上电压降代数和 该回路全部Us 上电压升代数和 应该说，这就比2b法少了b个方程。下面，我们就要以此总结出直接列写电路b个支路电流方程的方法。 (代数和) *特别注意KVL关系特点

（二）支路电流法 1．方法 (n个节点、b 条支路) 以支路电流作为变量，对独立节点列写电流（KCL）方程，对独立回路列写电压（KVL）方程，且由各个支路的支路方程将支路电压用支路电流表示出来。从而得到含b个变量的b个独立方程。又称为“1B法”。

2 ．变量 b个支路电流，共1b个变量 。 3．方程结构 方程结构为n-1个电流（KCL）方程，b-(n-1)个电压（KVL）方程，共b个方程。

4．列出支路电流法的电路方程的步骤如下： (1) 选定各个支路电流的参考方向 (2) 按KCL对(n - 1)个独立节点列写电流方程 (n个节点、b 条支路) (1) 选定各个支路电流的参考方向 (2) 按KCL对(n - 1)个独立节点列写电流方程 (3) 选取(b –n + 1)个独立回路，指定回路的绕行方向，应用KVL，以支路电流为变量列写电压方程 (代数和) 其中： 顺正逆负 顺负逆正 和式应含回路中的全部支路。 (4) 联立上述方程式，求解

5．说明 当电路存在纯电流源支路时，可设电流源的端电压为变量，同时补充相应方程。 适用于支路数少的电路的分析 支路电压法与之类似

例题 支路电流法（1B法） 支路电压法（1B法）

3-4 回路电流法(网孔电流法)

回路电流法(网孔电流法): 要点： 一种以回路电流(网孔电流)为独立变量，对各个独立回路(网孔)列写KVL方程，从而求解电路的系统方法。 (1) 回路电流的概念 (2) 回路方程中各项的含义？决定其正负号的规律？ (3) 何谓网孔分析法？

一、引子： 能不能简化？(这是科学家创新的原动力) 在前面，我们学习了支路法。得到了这样一些重要结论：对于一个有 n个节点、b 条支路的电路，可列写(n-1)个独立的KCL方程、l =b-n+1 个独立的KVL方程，总的方程数是 b个，解出b个 ik是完备而充分的。 我们可分析这样一个电路： (1) (2) (3) 3 条支路、 3个方程是完备而充分的。 能不能简化？(这是科学家创新的原动力)

因此，从需要解3个方程变成了解2个方程的问题，可以说问题得到了简化。 (1) (2) (3) 首先由(1)得： 代入(2)、(3)得： (4) (5) 整理得： (6) (7) 因此，从需要解3个方程变成了解2个方程的问题，可以说问题得到了简化。 纯数学问题，没有新东西？ 不！找到了新的电路理论概念！找到了直接列写的新的系统方法。

二、回路电流概念的建立： (5) (4) (1) (2) (3) 分析知，方程2、3与4、5完全是同样的KVL关系， 如2与4均为回路1的KVL方程： 这就说明了，对方程4、5来说，i1不但流过了R1，而且还单独流过了R2；i3也是不但流过了R3，还单独流过了R2。它们之间好象是独往独来，互不干扰，形成了各自回路的环流。 电学家们敏捷的抓住了这个数学结论，赋予了恰当的物理意义，提出了回路电流这一崭新的概念，把这种由数学分析得来的，沿着回路流动的该环流，称为回路电流，以 il 表示。 在上例中，有 仅为表达式变了，在4中， 即流过R2的电流同时有两支：i1和i3；对3、5的讨论亦然。

(8) (9) 得： 显然易见，这种回路电流是人为规定的，是假想的电流，不可能用什么方法能单独在R2支路上测出 和 ，但它却具有明确的物理意义。 用回路电流据KVL可列写方程数少于支路数的电路方程因为独立回路数总是少于支路数，使电路分析简化。 下面就要推出回路法的系统方法：

三、回路法的系统方法 以(8)为例-----回路1 令： 其中： 即回路1电阻电压的代数和等于回路1电压源电位升的代数和 (8) (9) 自阻 互阻 自压降 互压降 即回路1电阻电压的代数和等于回路1电压源电位升的代数和

在如图参考方向下，由于 il1与回路1的绕行方向一致，故它按关联参向所产生的电压顺绕行方向来看应为正；而 il2流过R2 时其方向与回路1的绕行方向相反，它按关联参向所引起的电压顺着回路1的绕向来看应为负，因此： 把这种关系归结到电阻上，有： 注意：因为一般按绕向取方向（为一致），且电压、电流为关联参向，故自阻总是正的；但互阻的正负却要视具体情况而定，因其为公共电阻，当列某一回路方程时，如其它回路与该回路在电阻上的方向相反，则互阻为负，反之为正（当选网孔为独立回路，并全部按顺时针绕向，则互阻总是负的）

其中： usk与回路绕向一致为负，反之为正 (8) (9) 同理，可以对方程9作以上分析，得到双回路电路的标准回路方程： 电压源电位升的代数和 自阻 互阻 usk与回路绕向一致为负，反之为正 现在，我们完全可以利用标准方程及相关概念，直接写出方程8、9了。

下面，通过双回路电路的标准回路方程的分析，将其方法推广到具有n个结点、b条支路的一般性电路，其有 l =b-n+1 个独立的回路电流方程： 其中： 电压源电位升的代数和 自阻 互阻(没有公共电阻则 互阻为零) usk与回路绕向一致为负，反之为正

回路电流法的一般步骤： 选定l个独立回路电流，回路电流的参向任定，一般取顺时针，且回路选作网孔； 2) 按il 绕向列l个回路电流方程，自阻总是正的，互阻的正负由相关回路通过公共电阻时与本回路方向是否一致而定，一致取正，反之取负 当选网孔、均取顺时针绕向时，互阻总是负的； 对于ull，当usk与绕向一致为负，反之为正； 3) 联解得il 4) 指定支路电流参向，其为有关回路电流的代数和。

网孔电流法： 当在回路电流法中选独立回路为网孔，即回路电流为网孔电流，均取绕向为顺时针，相应的回路电流法又称为网孔电流法。 优点：其互阻总是为负，且全部网孔就是 一组独立回路。 缺点：只适于平面电路。 非平面电路

例题 1: 如图，求I1 1 2 3 + U1 - + U2 - 选树如图所示，则只需要对连支I1所决定的基本回路列写方程即可。

例题 2 该电路既含独立流源，又含受控流源。可将之分别划归回路1和回路3，使得两回路电流分别等于已知量。只需对回路2建立回路方程再利用受控关系，即可。

例题 3:

回路电流法.网孔电流法 综 述

网孔法 1 .方法 选择电路的网孔电流作为独立变量，对各个网孔列写电压（KVL）方程，由于平面电路的全部网孔为一组独立回路，因此可以得到一组完备的独立电流方程，从而求解电路中的待求量。

2.变量 网孔电流 3.方程结构 网孔数个KVL电压方程 4.矩阵形式 其中，Rm为网孔电阻矩阵，Im为网孔电流向 量，Um为节点电压源向量

5.说明 当电路存在纯电流源支路时，可设电流源的端电压为变量，同时补充相应方程 当电路中存在受控源时，可将受控源按独立源一样处理，其后将受控源的控制量用网孔电流表示出来，然后移项 适用于支路多、网孔少的电路分析 只能运用于平面电路。

回路法 1 .方法 以连支电流为变量，对用连支确定的基本回路列写KVL方程，从而求解电路中的待求量。 2.变量： 连支电流 3.方程结构：

其中，Rl为回路电阻矩阵，Il为连支电流向量， Ul为回路电压源向量 4.矩阵形式 其中，Rl为回路电阻矩阵，Il为连支电流向量， Ul为回路电压源向量 5.说明 选树应尽量将电流源或受控流源所在的支路选为 连支，这样可减少方程的数量。 可以运用于非平面电路。

3-5 结点电压法

思路： 结点法 要点： 2b法方程 支路法方程 回路(网孔)法方程 还有简化方法？ 1) 结点方程中自导恒为正、互导恒为负，为什么？ KCL、KVL、VAR (2b) KCL、KVL (b) KVL (b-n+1) 2b法方程 支路法方程 回路(网孔)法方程 KCL ? (n-1) 还有简化方法？ 结点法 要点： 1) 结点方程中自导恒为正、互导恒为负，为什么？ 2) 在结点法中，怎样处理纯电压源支路和受控源问题？

un1 , un2 , un3 1、结点法的概念和定义： 如图 结点电压： 电路中，任选某结点为参考结点—零电位点，其它结点与参考结点之间的电压为结点电压。 1 3 2 结点电压的性质： 1) 其参向均指向参考结点 2) 对n个结点的电路，结点电压有n-1个 3) 结点电压为一组独立的电路变量 独立 完备 自动满足KVL

结论： 电路有n-1个独立的结点电压，又有n-1个独立的KCL方程，假如我们对n -1个结点列KCL，同时代入以结点电压表示的VAR，在n -1个方程中刚好是n -1个未知的结点电压，显然，这组方程是完备的、充分的、独立的，能唯一确定出n -1个结点电压。 结点法： 一种以结点电压为变量，应用KCL，列写与结点电压数相等的独立方程，解得结点电压，以此求解电路支路变量的系统方法。

2、结点方程的建立与系统方法 如图, 先列独立结点的KCL： 而支路关系为： 代入KCL：

整理得： 以结点电压表示的KCL方程 流出的电流=流入的电流 找系统化方法 以此方程为例讨论： 令： 有： 为流入结点1的电流源电流（之和） 为结点2与结点1关联支路的公共电导之和，称为互导 为结点1关联的各支路电导之和，称为自导 其中： 为结点3与结点1关联支路的公共电导之和，称为互导

不难看出： 代表本结点电压所产生的电流，称为自流 由设定条件知：其总是流出本结点。 故在方程中，总有： 代表它结点电压对本结点1的电流贡献，称为互流 由设定条件知：其总是流入结点1。 故在方程中，总有： 自导总是反映了本结点电压引起电流流出；互导总是反映了它结点电压引起电流流入的作用故在方程中恒有： 自导>0、互导<0

类推可得： 亦可用该方程由电路直接得到相应的结点电压方程 推广到具有n个结点的电路(其有n-1个独立结点电压)结点电压标准方程为：

结点法的一般步骤： 其中： 为各结点自导， >0 为各结点间互导，<0 如结点间无公共电导，=0 为流入结点的电流源电流（之和） (入正出负) 其中： 为各结点自导， >0 为各结点间互导，<0 如结点间无公共电导，=0 结点法的一般步骤： 1、指定参考结点，标出结点电压，其参向均指向参考结点 2、列结点方程(n-1个)，注意自导总为正；互导总为负. 对本结点的is写is11等时，其“入正出负”. 3、联解得un，然后据欧姆定律得各支路电流.

3、例题 例题1 —— 存在纯压源的情况 方法一：将纯电压源的电流作为变量添加在方程中 I 添加方程： 即可

方法二： 因为U1=5V已知，故只列方程2、3即可.

例题2——存在受控源的情况 ,建立节点节点方程 i 在建立节点节点方程时，受控源可以按独立源对待，但需补充受控源与其所涉及到的节点电压变量之间的关系。 如图选定参考节点，U3= -1V已知，补充支路电流i ，则节点方程为： 添加方程:

节点法 1 .方法 任选电路中某一节点为参考节点，其他节点与此参考节点间的电压称为“节点电压”。节点法是以节点电压作为独立变量，对各个独立节点列写KCL电流方程，得到含(n-1)个变量的(n-1)个独立电流方程，从而求解电路中待求量。

2.变量 (n-1)个节点电压 3.方程结构 (n-1)个KCL电流方程 4.矩阵形式 其中，Gn为节点电导矩阵，Un为节点电压向量， Jn为节点电流源向量

5.解题步骤 选定参考节点； 直接写出节点电压方程（实质上是电流方 程），注意自导总为正值，互导总为负值； 联立上述方程式，求解。

6.说明 存在纯电压源支路时，可设电压源的电流为变量， 同时补充相应的方程。 存在纯电压源支路时，可设电压源的电流为变量， 同时补充相应的方程。 存在受控源时，可将受控源按独立源处理，其后 将受控源的控制量用节点电压表示出来，然后移项。 适用于支路多、节点少的电路分析。 可以运用于非平面电路。