计算机硬件技术基础 计算机硬件技术基础课程群 傅扬烈 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

第3章 电阻电路的一般分析方法 3.1 支路电流法 3.1.1 2b法 第3章 电阻电路的一般分析方法 3.1 支路电流法 3.1.1 2b法 将具有n个节点、b条支路的电路记为电路图 。其中，“节点”是指3条以上支路的交汇点，而“支路”是指一段具体的电路，可由一个电路元件组成，也可由多个电路元件串联组成。根据图论知识，电路图G(n,b)的独立KCL方程数为n-1个，独立KVL方程数为b-n+1个。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

对于电路图G(n,b) ，当用其支路电压和支路电流作为待求变量列写方程时，共有2b个变量，而KCL方程数为n-1,KVL方程数为b-n+1个，再加上b条支路的VAR方程，共有 2b个方程，正好可以求解出2b个变量，这就是2b法的基本思想。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

例3.1用2b法列写图3.1所示电路方程。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

（1）KCL方程（取独立节点如图3.1所示） （2）KVL方程（取绕行方向如图3.1所示） 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

（3）VAR方程 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

3.1.2 支路电流法 支路电流法可由2b法演化而来。在2b法中，用VAR方程中以支路电流表示的电压代入KVL方程，可以得到b-n+1个以支路电流为变量的方程，再加上n-1个KCL方程，共有 b个以支路电流为变量的方程。而方程组的变量数就是电路的支路数，也是b个，方程组的规模为b*b ，刚好可以求解。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

仍以例3.1为例，将（3-3）式所表示的VAR方程代入（3-2）式所表示的KVL方程中，有 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

（2）选定参考节点，对n-1个独立节点列写 KCL方程； （3）选定b-n+1个独立回路，指定其绕行方向，按（3-6）式列写KVL方程； 用支路电流法求解电路的步骤如下： （1）选定各支路电流变量及其参考方向； （2）选定参考节点，对n-1个独立节点列写 KCL方程； （3）选定b-n+1个独立回路，指定其绕行方向，按（3-6）式列写KVL方程； （4）对上述b*b的线性方程组进行求解，即可求得各支路电流。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

例3.2 如图3.2（a）所示电路，用支路电流法求电压U、电流I和电压源发出的功率P。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

解题思路：将电压源与电阻的串联组合看作一条支路，则该电路的拓扑参数为：n=2，b=3 。用支路电流法可列1个KCL方程和2个 KVL方程。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

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例3.3 如图3.3所示电路，求各支路电流。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

3.2 节点电位法 3.2.1 网孔电流法 所谓电路的网孔，是指不包含任何支路的回路。 3.2 节点电位法 3.2.1 网孔电流法 所谓电路的网孔，是指不包含任何支路的回路。 对于电路图G(n,b)，其独立的KCL方程数为n-1，独立的KVL方程数为b-n+1个，电路的网孔数也为 b-n+1个。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

在图3.4所示电路中，设各网孔电流分别为I1 , I2和I3 ，其绕行方向如图3.4所示。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

用网孔电流表示各支路电流和三个独立节点的 KCL方程为: 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

用网孔电流来表示支路电流可以使各节点自动满足 ，所以只需按网孔回路列写出 方程即可，从而减少了电路方程组的规模。 用支路电流表示各网孔回路的 方程为 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

以网孔电流I1,I2和I3为电路变量的方程组，称为网孔电流方程。 用网孔电流方程求出的解是中间变量（即假想的网孔电流），将网孔电流代入（3-7）式就可以求出各支路电流、元件电压和元件功率。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

其中R11，R22，R33和分别为三个网孔的自阻，即R11=R1+R2+R3，R22=R3+R4+R5，R33=R2+R4+R6，它们分别为各自网孔回路所有元件（包括电源）的电阻之和，其值总是正的。 和分别为网孔1与网孔2和网孔1与网孔3之间的公共电阻，称为它们之间的互阻，其值为R12=-R3，R13=-R2。同样还有R21和R23以及R31和R32等互阻，其值分别为R21=-R3，R23=-R4，R31=-R2，R32=-R4。 互阻的值可正可负，也可以为零。当相邻网孔的网孔电流同向流过公共电阻时，它们之间的互阻为正值，否则为负值。如果两个网孔之间没有公共支路，或它们之间的公共支路元件的电阻为零（如电压源），则它们之间的互阻为零。显然，如果所有网孔电流都取同一个绕行方向，则所有互阻都是负的。

式中，有R21=R12=-R3，R13=R31=-R2，R23=R32=-R4。当电路中不含任何受控源时，总有Rik=Rki，否则二者不等。 式所示网孔电流方程的右端项Us11、Us22和Us33为网孔内所有电压源的电压代数和，其值的正负规定为：按网孔电流的绕行方向，电压源的电压为电压升时其值为正，电压降时其值为负。

在应用网孔电流法求解电路时，有些特殊情况需要注意： （1）因为电流源的内阻为无穷大，所以网孔回路中如果含有（受控）电流源支路，其自阻将变为无穷大，相应的网孔电流方程就不成立。在这种情况下，如果流过电流源的网孔电流只有一个，则该网孔电流就等于电流源电流（网孔电流的方向与电流源电流的方向相同时为正，否则为负），其网孔电流方程不需要列写；如果有多个网孔电流流过电流源，则需要按替代定理的思路另行处理（见例3.6）。

（2）一般来说，遇到电流源与电阻的并联组合时，可以将其等效变换为电压源与电阻的串联组合，这样就可以减少一个网孔，还可避免出现自阻为无穷大的情形。 （3）当电路中存在无伴电流源（即没有电阻与其并联）支路时，则只能按（1）中的方式处理。

例3.4用网孔电流法求图3.5所示电路中各支路电流i1 ～ i6。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

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例3.5 如图3.6所示电路，用网孔电流法求电流I。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

根据替代定理，将电流源用端电压为u1的电压源来替代，其网孔电流方程为: 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

3.2.2 回路电流法 回路电流法方程组的规模与网孔电流法一样，建立回路电流方程的基本思路也一样。 3.2.2 回路电流法 回路电流法方程组的规模与网孔电流法一样，建立回路电流方程的基本思路也一样。 例3.7 如图3.8所示电路，用回路电流法求电压u。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

如图3.8所示，其回路电流方程为: 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

在列写回路电流方程时，首先要注意回路及回路电流方向的选取。如何选取回路，需要具体情况具体分析，主要原则是使所建立的回路电流方程尽量直观、简单和后续计算尽量方便;还要注意各回路之间的公共电阻以及各回路电流流过公共电阻时的方向。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

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解：选取回路如图3.9（2）所示。由题中所给条件易知 ， 所以其回路电流方程为： 可解得： 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

解题思路：该题有2个无伴电流源支路（其中1个是受控电流源），用回路电流法求解时应分别只让1个回路电流流过它们，从而只需列写1个回路电流方程。另外，由于受控电流源的电流未知，所以需要增补一个控制量与回路电流之间的关系方程。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

解：选取回路如图3.10所示。其回路电流方程为： 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

3.2.3 节点电压法 在电路G(n,b) 中任意选取一个节点作为参考节点，其余n-1个独立节点相对于该参考节点之间的电压称为节点电压。 3.2.3 节点电压法 在电路G(n,b) 中任意选取一个节点作为参考节点，其余n-1个独立节点相对于该参考节点之间的电压称为节点电压。 节点电压法以电路的节点电压为待求变量，并对n-1个独立节点建立用节点电压表示的KCL方程，求解该KCL方程组即可求得各节点电压。节点电压只是电路计算的中间结果，利用这些结果可以方便地求出各支路电流、元件电压和元件功率。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

图3.11所示电路为G(4,6)电路，取参考节点如图所示，各支路电流变量及其参考方向和各节点编号已标示于图中。用u1—u6表示各支路电压，其参考方向与其对应的支路电流参考方向相同。用un1—un3表示对应的节点电压。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

可以证明，用节点电压表示的支路电压自动满足KVL。 用节点电压表示支路电压为: 可以证明，用节点电压表示的支路电压自动满足KVL。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

所以，在节点电压法中，只需列写电路G(n,b)的n-1个独立的、用节点电压表示的 KCL方程即可，不必列写KVL方程。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

将各支路电流用节点电压表示为: 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

代入（3-14）式并整理得: 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

该方程还可以写成如下形式: 式中，G1~G6为各支路的电导。设： 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

则（3-17）式可写为： 其中，Gii(i=1--3)为各节点的自导，其值为各节点所连接支路的电导之和。由自导的定义可知，自导总是正的。 Gij(I,j=1—3,i≠j)为任意两个节点之间的互导，其值为两个节点之间支路电导的相反数。由互导的定义可知，互导总是负的。当电路中没有受控源时，有Gij=Gji(I,j=1—3,i≠j) ，否则不成立。当两个节点之间无支路相连时，其对应的互导为零。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

在应用节点电压法求解电路时，有些特殊情况需要注意： （1）因为电压源的内阻为零，所以电路中如果含有无伴（受控）电压源支路，则该支路的自导将变为无穷大，相应的节点电压方程就不成立。在这种情况下，应将电压源的负极所在的节点设为参考节点，则正极所在节点电压就等于电压源的电压，不需要列写该节点的节点电压方程，减少了一个变量的求解；或者用替代定理的思路将电压源用电流源进行替代（电流值未知）。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

（2）遇到电流源与电阻的串联组合时，由于电流源的内阻为无穷大，所以该支路的电阻也为无穷大，其电导为零，相当于电阻被短路。另外，还可用替代定理的思路将电流源与电阻的串联支路用同样大小的电流源进行替代，其效果也相当于电阻被短路。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

例3.10 如图3.12所示电路，用节点电压法求电压uab。 解：选取参考节点如图3.12所示 其节点电压方程为: 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

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例3.11 如图3.13所示电路，求电流i1和i2。 解题思路：该电路含有受控源。在列写节点电压方程时，可将受控源视为独立源，再将控制量用节点电压表示即可进行求解。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

解：选取参考节点如图3.13所示,其节点电压方程为: 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

例3.12 如图3.14（a）所示电路，求电流源端电压u和电流i。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

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解：方法1。其节点电压方程为: 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

方法2。选取参考节点如图3.14（c）所示 其节点电压方程为 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

例3.13 如图3.15所示电路，求电压U。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

其节点电压方程为： 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

例3.14 如图3.16（a）所示电路，已知u=8V，求电阻R。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

解：选取参考节点如图3.16所示,其节点电压方程为: 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

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例3.15 如图3.17（a）所示电路，用节点电压法求电流i。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

解：将电流 所在支路替换为电流源，并选取参考节点如图3.17（b）所示,其节点电压方程为: 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

3.3 叠加定理 叠加定理描述了线性电路的可加性或叠加性，其内容可描述为：在线性电路中，多个独立电源共同作用时产生的电路响应等于各独立电源单独作用时所产生的电路响应之和。 在上述叠加定理的描述中，某个独立电源单独作用的含义是指除该独立电源外，所有其它的独立电源均需“置零”，即独立电压源短路，独立电流源开路。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

例如对于图3.18所示电路，可用节点电压法求出其输出电压u为: 图3.18 叠加定理 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

图3.18所示电路的响应可以分解为图3.19和图3.20两个电路的响应之和： 图3.19 电压源单独作用时的响应 图3.20 电流源单独作用时的响应 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

在用叠加定理求解线性电路时，还需要注意以下几点： 1．电路的分解只针对独立电源进行，电阻和受控电源均要保留在各分解电路中； 2．在各分解电路中，被置零（即不作用）的电压源应短路，被置零的电流源应开路； 3．各分解电路中的电压极性和电流流向应与原电路中的一样，否则会出错。 4．在具有3个以上独立电源的线性电路中，既可以按每个独立电源单独作用进行电路的分解，也可以将其中的某些独立电源视为一组（即同时作用或同时不作用）进行电路的分解。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

例3.16 如图3.21所示电路，用叠加定理求电流I1及I2 。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

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解题思路：同上题一样，电路中只有两个独立电源，所以只需画出其两个分解电路，然后分别进行求解，最后将两个分解电路的结果相加即可。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

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例3.18 如图3.26所示电路，用叠加定理求电压U。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

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3.4 等效电源定理 在分析电路时，有时只需关注某一支路（或元件）的电压、电流或功率，此时该支路（或元件）以外的电路就构成了一个有源二端网络（或电路），相当于一个电源。实际的有源二端电路结构往往比较复杂，不便于对特定支路（元件）进行分析。此时就需要将有源二端电路等效变换成最简单的电源模型，这就是等效电源定理的内容。电源的最简模型就是实际电源模型，有电压源模型和电流源模型两种。等效电源定理是戴维宁定理和诺顿定理的合称。将有源二端电路等效成实际电压源模型就是戴维宁定理，而将有源二端电路等效成实际电流源模型则是诺顿定理。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

3.4.1 戴维南定理 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

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戴维南等效电路的结构是已知的（电压源和电阻的串联），参数是未知的，所以应用戴维南定理的关键是求出有源二端电路Ns的开路电压和戴维南等效电阻这两个未知电路参数。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

例3.20 如图3.31（1）所示电路，求电流i。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

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例3.21 如图所示电路，求电阻R分别为1 Ω 、2 Ω和5Ω时电流I的值。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

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3.4.2 诺顿定理 诺顿定理是戴维宁定理的对偶形式，其内容为：任何一个线性有源二端电路Ns（也称为线性有源一端口电路），对外电路而言，可以等效为一个电流为isc的理想电流源和一个电阻Rsc的并联模型（该模型称为诺顿等效电路）。其中， isc为有源二端电路端口间的短路电流， Rsc为有源二端电路中所有独立电源置零后（即N0）的端口输入电阻。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

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例3.23 用诺顿定理重新求解例3.20。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

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例3.24 用诺顿定理重新求解例3.21。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群

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在实际应用中，一般是将有源二端电路简化成戴维宁等效电路，主要原因有：（1）求解过程简单。 （2）后续求解方便。 实际上，戴维宁定理和诺顿定理描述的是如何将复杂电源简化成最简模型的方法。由于实际电源的两种模型之间可以相互等效，所以戴维宁等效电路与诺顿等效电路之间也可相互等效。 在实际应用中，一般是将有源二端电路简化成戴维宁等效电路，主要原因有：（1）求解过程简单。 （2）后续求解方便。 15-16-1学期 淮海工学院 计算机工程学院 计算机硬件技术基础课程群