从双基到四基，从两能到四能 ——学习《义务教育数学课程标准（2011版）》 北京教育学院 张丹 2012.4.8

修改后的基本框架 前言：数学和数学教育的价值、课程性质、基本理念、设计思路（含核心概念）。 课程目标：总目标、学段目标 课程内容：分学段按照数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践分别阐述 实施建议 附录：有关行为动词的解释、案例

一、课程目标 在目标的结构上仍按： 总体目标 学段目标 总体表述 第一学段 知识技能 数学思考 问题解决 情感态度 第二学段 第三学段

一、课程目标——总目标 1. 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。 2. 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。 3. 了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。

创新意识 创新机遇 知识与技能 知识积累 已知A，求证B 思想与经验 经验积累 由条件推断结果 由结果探究成因

史宁中 “创新能力的基础创新能力依赖于三方面:知识的掌握、思维的训练、经验的积累,三方面同等重要.关于“知识的掌握”,我国的中小学数学教育是没有问题的;关于“经验的积累”,大概还差得很多;关于“思维的训练”,我们做得也不够,只能打五十分.那么为了创新型国家的建立我们现在的教育只做了一半的工作.我们没有更多地在基础教育阶段教孩子如何去创新,帮他们从小的事情、小的发现开始积累经验,没有这样的意识。”

关于中国数学双基教学的思考 ——基于中美学生数学学习的系列实证研究 关于中国数学双基教学的思考 ——基于中美学生数学学习的系列实证研究 一个国际比较 研究中的观点 美国德拉华大学 蔡金法

问：是否需要重新考虑对 “双基”的投入？ 中国学生在计算题上的绝对优势并没有在一些过程开放的复杂问题解决上表现出来 问：是否需要重新考虑对 “双基”的投入？ 中国学生在计算题上的绝对优势并没有在一些过程开放的复杂问题解决上表现出来 图 中美学生在四类问题上的平均分数（用百分数表示）

数学活动经验 史宁中指出：“基本活动经验是指学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验”。

活动经验包括什么（张奠宙等） 直接数学活动经验:直接联系日常生活经验的数学活动所获得的经验 间接数学活动经验:创设实际情景构建数学模型所获得的数学经验 专门设计的数学活动经验:由纯粹的数学活动所获得的经验

活动经验包括什么（张奠宙等） 意境联结性数学活动经验:通过实际情景意境的沟通, 借助想象体验数学概念和数学思想的本质 这类数学活动经验, 不是直接产生于某种实际活动, 而是将抽象的数学概念和法则, 借助举例、比喻、联想等方法, 寻求某种具体的形象化的支撑, 获得具体的意象固着点, 获得某种相对现实的数学经验.

活动经验包括什么（徐斌艳） 基本的数学操作经验； 基本的数学思维活动经验； 发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的经验”。

我对数学活动经验的理解 第一，基本活动经验是在学生的生活经验基础上，在特定的数学活动中积累的。 情境的作用——原型（元角分、温度计） 探究过程、思考过程、反思过程

学生方法1：把圆的四边去掉变成正方形，但我们不知道这4个 部分怎样求？

割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣。 …… 割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣。

学生方法2：可以在圆上画方块，如果不足一个方块可以用其他 地方的方块来补，但我们不知道怎样补最合适？

我对数学活动经验的理解 第二，基本活动经验是一种组合体，包括了数学活动中的主观体验、以及获得的客观认识；包括数学活动的结果，更包括活动的过程。 第三，数学活动经验的类型目前还没有统一，但其核心应该是如何思考的经验，促进学生学会运用数学的思维方式进行思考。

我对数学活动经验的理解 第四，数学活动经验最终可以帮助学生建立自己的数学现实和数学学习的直觉，这种直觉一旦生成，在后续学习和问题解决中将起到重要作用。由此可见，数学活动经验既是数学学习的产物，也是学生进一步认识和实践的基础。 第五，基本活动经验的积累，大致需要经过“经历、内化、概括、迁移”的过程。

我对数学活动经验的理解 对于广大教师而言，一个当务之急的研究就是寻找基本活动经验的“证据”，即在具体的数学活动中，学生的经验体现在什么地方？他们为什么会存在这样的经验…… 积累和设计好的活动……

数学的基本思想 。 数学产生与发展所依赖的思想 学习数学以后具有的思维能力 抽象：把与数学有关的知识引入数学内部 推理：促进数学内部的发展 。 数学产生与发展所依赖的思想 学习数学以后具有的思维能力 抽象：把与数学有关的知识引入数学内部 推理：促进数学内部的发展 模型：沟通数学与外部世界的桥梁

抽象三个层次 抓住事物特征、语言表达； 抓住事物本质、符号表达； 抓住事物关联、模型表达。

推理能力 推理一般包括合情推理和演绎推理。 在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。

推理能力 教育理念 　　杨振宁：我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力，我在美国学到了归纳能力。（见《我的生平》）

模型思想 模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。

小学阶段的“模型” 整体与部分之间的关系 操场上有18人，又来了一些人（3排，每排4人），现在有多少人？ 路程、速度和时间，总价、单价和数量

数学思想 处于“数学的基本思想”下一层次的数学思想，还有很多。 数形结合、函数、方程、分类、转化等

发现和提出、分析和解决问题 鼓励学生提出问题：问题“场” 启发学生思考的最好的办法是教师与学生一起思考，一起发现和提出问题，一起分析和解决问题。 教师要能暴露自己的思考路径，教学中为什么要提出这些问题供大家思考，遇到情境可以从哪些方面提出问题，遇到这些问题后应该从哪些角度来分析，解决了这个问题又可以提出哪些新的问题。

一年级学生提出的问题 为什么能够站稳的都是立体图形？我们能想办法让平面图形站稳吗？（李瑞彤） 七巧板中为什么没有长方形？（邹忱烨） 为什么一般的书都设计成长方形的？（张梓凯） 为什么数学书第45页的图形涂色后看起来像是立体图形，而没有涂色前看起来是平面的？（周彦成）   为什么正方形对折后能成为两个完全一样的三角形，而长方形不能？（李明远）

一年级学生提出的问题 为什么数学书第45页的图形涂色后看起来像是立体图形，而没有涂色前看起来是平面的？（周彦成） 为什么有两个条件就可以提出一个数学问题？（李明远） 最大的数是多少？有最大的数么？ 数有很多很多，我们能学完吗？ 妈妈说有负数，负数是比0还小吗？那怎么可能呢？要这样的数有什么用呢？我怎么也写不出比0小得数。

五年级学生提出的问题 第一个班： 1．学习质数和合数有什么用？ 2．有没有一个办法，能快速地找到质数？ 3．质数有没有公式？

五年级学生提出的问题 第二个班： 1. 有没有最大的质数？ 2. 合数的因数是不是有无限多？ 1. 有没有最大的质数？ 2. 合数的因数是不是有无限多？ 3. 2与3差1，3与5差2，5与7差2，11与7差4，…质数是否有一定的规律？ 4. 哥德巴赫猜想研究的是什么？

综合与实践 “综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题。“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合。提倡把这种教学形式体现在日常教学活动中。

综合与实践 选题：发现并选择可以研究的问题，并清晰地加以表述。 开题（或称为“析题”）：通过分析、讨论，进一步明确需要解决的问题，设计合理可行的解决问题的方案和步骤。 做题：通过自主探究、合作交流等实际操作环节，实施解决问题的方案，得到解决问题的成果。 结题：总结、反思并交流解决问题的成果、解决问题的过程、收获或体会、进一步研究的问题等，并开展自评、互评和他评。

六年级五班第二小组 组长：王天时 组员：谢雨欣、蒋子重、贲迪、 林宏睿、臧玉冰、林一衡 小学生矿泉水瓶最佳周长 调查报告 六年级五班第二小组 组长：王天时 组员：谢雨欣、蒋子重、贲迪、 林宏睿、臧玉冰、林一衡 背景分析 研究分析 研究结论 研究内容 研究反思 研究方法 研究日志 研究步骤

调查背景 小组分工 调查方法 调查问卷 数据统计 结果分析 调查结论

楼梯的设计 ——综合实践报告 组长：王天石 组员：吴雨柠 孙艺郡 范靖琪 林宜家 韦仁杰

发现和提出、分析和解决问题 启发学生思考的最好的办法是教师与学生一起思考，一起发现和提出问题，一起分析和解决问题。 教师要能暴露自己的思考路径，教学中为什么要提出这些问题供大家思考，遇到情境可以从哪些方面提出问题，遇到这些问题后应该从哪些角度来分析，解决了这个问题又可以提出哪些新的问题。 这也体现了“从头到尾”思考问题的理念。

案例（平方差公式） 如何让学生思考 a2 - b2。

归纳教学的例子：尝试。 为得到公式 a2 – b2 = (a-b)(a+b) 首先进行化简，令 b=1。变化 a 可以得到： 22 – 1 = 4 - 1 = 3 32 – 1 = 9 - 1 = 8 42 – 1 = 16 - 1 = 15 52 – 1 = 25 - 1 = 24 62 – 1 = 36 - 1 = 35 因为 8 = 2×4，15 = 3×5，24 = 4×6 ，35 = 5×7， 可以想到 a2–1 = (a-1)(a+1)，然后考虑一般的 b。

二、核心概念 提出了10个核心概念：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。

核心概念的分析 有一些是名称或内涵发生较大变化的：数感、符号意识、数据分析观念； 有一些是保持了原有名称，基本保持了原有内涵：空间观念、推理能力、应用意识； 有一些是新增加的：运算能力、模型思想、几何直观、创新意识。

核心概念的分析 第一层，主要体现在某一内容领域的核心概念。数感、符号意识、运算能力主要体现在数与代数领域，空间观念主要体现在图形与几何领域，数据分析观念主要体现在统计与概率领域； 第二层，体现在不同内容领域的核心概念，包括几何直观、推理能力和模型思想； 第三层，超越课程内容，整个小学数学课程都应特别注重培养学生的应用意识和创新意识。

提出核心概念的意义 核心概念往往是一类课程内容的核心或聚焦点，它有利于我们把握课程内容的线索和层次，抓住教学中的关键。

数感 数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。

数与数量的感悟 实际上就是建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系，这既包括从数量到数的抽象过程中，对于数量之间共性的感悟；也包括在实际背景中提到一个数时，能将其与现实背景中的数量联系起来，并判断其是否合理。如小学生看100本书，在7000平方米中有两只东北虎。

13个

46个

109个

1000个

数量关系的感悟 量与量之间关系（大小、函数——线性函数的增长率）的感觉。 比如，出租车对时间和路程之间关系的感悟。

运算结果的感悟（估计）

估算的要求 能结合具体情境，选择恰当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”（一学段） 在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算（二学段）

估算的例子 学校组织987名学生去公园游玩。如果公园的门票每张8元，带8000元钱够不够？

估算的例子 本例的目的是希望学生了解在什么样的情境中需要估算，能结合具体情境，选择适当的单位是第一学段估算的核心。比如，在此例中适当的方法是把987人看成1000人，所以适当的单位是“1000人”。 一般来说，估计教室的长度时，通常以“米”为单位；估计书本的长度时，通常以“厘米”为单位。也可以用身边熟悉的物体的长度为单位，如步长、臂长等。

350名同学要外出参观， 有7辆车，每辆车56个座位， 估一估够不够坐？ ①7×56≈350（个） 350个=350个 看作50 ②7×56≈420（个） 420个>350个 看作60

车重986千克，这辆车可以过桥吗？ 共6箱 限重3吨 每箱重285千克 3t

运算能力 运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。 一是指运算；一是指运算能力。运算能力不仅仅会算和算正确，还包括对于运算的本身要有理解，比如运算对象、运算的意义、算理等。

“理法”平衡的策略 鼓励学生自己探索方法，必要时使用原型、直观模型等 将学生的方法与法则进行联系 ——借助原型、直观模型等 ——在法则中找到“影子” ——体现竖式的“压缩”过程 适当体现法则的价值 在后续的练习中也应重视

研究的背景 难 抽象简洁的数学符号 书写形式的独特性 过程中的综合性 4 8 1 6 3 1 8 乘 1×3 减 4-3 加 10+8

分 桃 子 北师大版教材三年级上册

有10个桃子，平均分给2只猴子，每只猴子分多少个？

有48个桃子，平均分给2只猴子，每只猴子分多少个？

活动要求： 1.先动手分一分，动作要快。 2.用数学的方式表示分的过程。 3.看谁写的让别人一看就知道你是怎么分的。

40÷2=20(个） 8÷2=4(个） 20+4=24 (个）

十位 个位 十 一 2 4 2 4 8 8 4 8 8

十位 个位 十 一 2 4 40÷2=20(个） 8÷2=4(个） 20+4=24 (个） 2 4 8 8 4 8 8

有48个桃子，平均分给3只猴子，每只猴子分多少个？

十位 个位 4÷3=1······1 十 一 1 6 3 4 8 3 1 8 1 8 18÷3=6

符号意识 符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。

内容之间的联系 字母表示数 正反比例 方程 一般性表示和运算 等量关系 变化规律 模型

④

④

④

④

结构化的整体认识 变化的量——变量之间有关系——变化情况不同——一类变化情况——模型 三种表达方式的作用：我先画图看看趋势，然后通过表格数据来仔细看变化的趋势。

空间观念 空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。

几何直观 几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

几何直观 能利用图形描述问题，能利用图形发现解决问题的思路，能借助图形理解和记忆我们所得到的结果。 空间观念从本质上是一种感觉；而几何直观是建立在概念及其关系上的直觉。

图的作用

数据分析观念 了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。

不同的情况选择不同的统计量 体育课上11名男同学100米跑的成绩： 13秒2 17秒 13秒5 15秒8 12秒 17秒1 16秒7 15秒6 17秒 16秒6 16秒7 平均数：15秒6，中位数：16秒6 （1）如果选择参加一项比赛，希望有一半的男同学可以参加，选择哪个成绩作为标准？ （2）如果希望确定一个较高的标准，选择哪个成绩作为标准？（答案不唯一） 可以修改为：如果要确定一个标准，你如何确定？为什么

数据的随机性 数据的随机主要有两层涵义：一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。 两个案例：摸球、上学时间

应用意识 应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。

创新意识 创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。

结语：如何品读《标准》 结合着自己的教学实践读：配案例 比较的视角：不同的、相同的 同伴一起读：不同的角度 不断的读：思考基本问题

谢谢聆听