第 7 章　 連續型的機率分配

目標 1.了解離散型與連續型機率分配的差異。 2.計算均勻機率分配的平均數與標準差。 3.計算均勻分配的機率值。 4.列出常態機率分配特徵。 5.定義與計算 z 值。 6.使用標準常態分配，計算常態分配中，觀測資料在兩點間的機率。 7.使用標準常態分配，計算常態分配中，觀測資料在某一點以上（或以下）的機率。

離散型機率分配 可假設為只有特定的輸出結果 離散型機率分配的種類包含： 二項分配 卜瓦松分配

連續型機率分配來自於測度 連續型機率分配的種類包含： 均勻分配 常態分配 其他

均勻機率分配 均勻分配的圖形是長方形。 均勻分配是由最小值與最大值所定義。

均勻分配的平均數 其中，a 為最小值，而 b 為最大值

均勻分配的標準差

均勻分配的機率函數

均勻分配圖形內的面積

範例 學生等候巴士的時間呈現均勻分配，從 0 到30 分鐘。平均等候時間為多久？ 等候時間的標準差為多少？

範例 continued 等候巴士的時間超過 25 分鐘的機率為多少？也就是計算等候時間介於 25 至 30 分鐘的機率： 　等候時間介於 10 至 20 分鐘的機率：

常態機率分配的特徵 常態機率分配和其所伴隨的常態曲線有下列幾個特徵： 常態曲線的形狀為鐘形，以及在分配的正中央會出現一個單峰。其算數平均數、中位數及眾數都位在這個最高峰上。因此，有一半曲線面積在這個中間點之下，另一半則在這個中間點之上。 常態機率分配是依據平均數所形成的對稱分配。如果我們從中間點對折，左右兩邊的面積應該是相等的。

常態機率分配的特徵（續） 常態曲線由中間值開始向兩邊平滑的下降。它是一個漸近線。也就是曲線會慢慢的接近 X 軸，但是不會接觸到 X 軸。也就是曲線的雙尾會往兩個方面無限延伸。 常態分配的位置是由平均數 μ 所決定，分配的分散程度是由標準差 σ 所決定。

常態分配的特徵

標準常態機率分配 標準常態分配的平均數等於 0 以及標準差等於 1。 也可以稱為 z 分數、z 統計量等。

標準常態機率分配 z 值 表示所選取的值，標示為 X，與平均數μ之間的差距，再除以標準差σ。同時有正負號。 公式如下：

範例 玻璃工廠領班的週薪為常態分配，其平均數是$1,000、標準差是 $100。請計算一位領班的週薪x 為 $1,100 的 z 值是多少？計算另一位領班的週薪 x 為 $900 的 z 值是多少？

範例 continued 在Ｘ = $1,100 時， 在Ｘ = $900 時， 　在Ｘ = $900 時， z 值等於 1，代表某領班的週薪 $1,100 比平均數高出 1 個標準差；z值等於 －1，代表另一位領班的週薪 $900 比平均數低 1 個標準差。

在常態曲線下的面積 大約有 68% 的面積在平均數加減一個標準差內：μ ± σ 大約有 95% 的面積在平均數加減二個標準差內：μ± 2σ 幾乎全部面積(99,73%)在平均數加減三個標準差內：μ ± 3σ

在常態曲線下的面積

範例 Autolite 電池公司的品保部門想要測試電池壽命。公司某種電池的平均壽命是 19 小時，電池壽命遵循常態分配，且標準差是 1.2 小時。請問： 1.大約 68% 的電池壽命介於哪兩個數值間？ 2.大約 95% 的電池壽命介於哪兩個數值間？ 3.幾乎所有電池的壽命介於哪兩個數值間？

範例 continued 1.約有 68% 的電池壽命落在 17.8 與 20.2 小時間，由 19 ± 1 × 1.2 而得。 2.約有 95% 的電池壽命落在 16.6 與 21.4 小時間，由 19 ± 2 × 1.2 而得。 3.幾乎全部的電池壽命落在 15.4 與 22.6 小時間，由 19 ± 3 × 1.2 而得。

範例 continued

範例 承玻璃工廠領班週薪的範例，其服從平均數μ= $1,000、標準差σ= $100 的常態分配。請計算某領班的週薪介於 $1,000 與 $1,100 間的機率是多少？我們以機率符號表示：P($1,000 < 週薪 < $1,100)。

範例 continued 所計算出來的結果是 z = 1.00，可由附錄 B.1 找到相對的機率值。下表摘錄自附錄 B.1。為了要找到機率值，先往下移動找到 1.0 的那一行，再往右水平移動找到0.00的那一列，交叉點就是所要找的機率值，0.3413。

範例 continued 介於 $1,000 與 $1,100 間常態曲線下的面積是 0.3413 = 34.13%，也就是說，有 34.13% 領班的週薪介於 $1,000 與 $1,100 間。或是隨機選取一位領班，其週薪在 $1,000 與 $1,100 間的機率是 0.3413。 將上述的資料整理成下圖。

範例 承玻璃工廠領班週薪的範例，其服從平均數μ= $1,000、標準差σ= $100 的常態分配。請計算下列各題的機率： 1. 週薪在 $790 與 $1,000 間。 2. 週薪少於 $790。

範例 承玻璃工廠領班週薪的範例，其服從平均數μ= $1,000、標準差σ= $100 的常態分配。請計算介於 $840 至 $1,200 間常態曲線下的面積。

範例 承玻璃工廠領班週薪的範例，其服從平均數μ= $1,000、標準差σ= $100 的常態分配。 請計算領班週薪介於 $1,150 至 $1,250 間的機率是多少？

範例 Layton 輪胎橡膠公司希望對新的 MX100 型號輪胎設定最低保證行駛里程數。經過測試指出，里程數服從常態分配，其中平均數為 67,900 英里、標準差為 2,050 英里。同時，公司希望未來尚未到達保證里程數但輪胎已經磨損，而要求更換新輪胎的比例不要超過 4%。請計算該公司的最低保證里程數應該是多少？

範例 continued x 表示最低保證里程數，計算 z 值 注意到上述算式中有兩個未知數，z 與 x。要找出 x，必須先求出 z 值。在常態曲線下方平均數μ左邊的面積是 0.5，所以平均數與數值 x 之間的面積是 0.5－0.04 = 0.46，在表格中最接近 0.46 的面積是 0.4599，因此得出z 值是 1.75。因為這個值是在平均數的左邊，所以它實際上是－1.75。

範例 continued 已知μ與 x 間的距離是－1.75σ或是 z = -1.75，現在我們可以計算出 x（也就是最低保證里程數）：

範例 continued 因此，Layton 公司可以宣稱，如果 MX100 型輪胎行駛的里程數不到 64,312 英里就磨損的話，將可以免費更換新的輪胎。同時公司也可以確認在這個計畫之下，大概只有 4% 的輪胎會因此而更換。