選擇題 命題注意事項 國立台南大學數學教育系 謝 堅.

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  選擇題 命題注意事項 國立台南大學數學教育系 謝 堅

◎題幹:試題中陳述問題的部份 選項:所有試題所列的備選答案 答案:指該題的正確解答 誘答選項:指答案以外的所有選項, 且每個都需具有足夠不對 ※名詞釋義: ◎題幹:試題中陳述問題的部份 選項:所有試題所列的備選答案 答案:指該題的正確解答 誘答選項:指答案以外的所有選項, 且每個都需具有足夠不對 的理由。

◎題幹:  甲×3-5=乙,則甲×12+丙=?  選項:  乙×4+丙+20 (答案)  乙×4+丙+5 (誘答選項)  乙×4+丙×4+5 (誘答選項)  乙×4+丙×4+20 (誘答選項)

◎如果涉及統計(量的研究)作業 ,選項的個數最好一致。 ◎多數的選擇題都是四選一。 ◎能產生多少個良好的誘答選項, ※選項的個數: ◎如果涉及統計(量的研究)作業 ,選項的個數最好一致。 ◎多數的選擇題都是四選一。 ◎能產生多少個良好的誘答選項, 是決定選項個數的重要因素。

※正確選項答案出現頻率: ◎採隨機亂數編寫選項。 ◎各選項出現的頻率儘量相同。

※如何製作合理的誘答選項: ◎教師應思考學童可能出現的錯誤 答案,建立良好的誘答選項,讓多 數算錯的學童也有答案可以選。

◎一個有誘答力的選項,會吸引概  念不正確或不具備該能力的學生  選擇,但概念正確的學生,仍能  分辨出正確答案與誘答選項。

◎為使誘答選項具有誘答力,設計  選項時,每個選項的詞語表達、  長度、題幹間的邏輯性都應該儘  量相同。

◎答案是46,下列是不佳的選項 36 46 56 66 或44 45 46 45 ◎儘量讓算對與多數算錯的人都有 答案可以選 ※以『71-25=?』為例: ◎答案是46,下列是不佳的選項  36 46 56 66 或44 45 46 45 ◎儘量讓算對與多數算錯的人都有  答案可以選

※以『71-25=?』為例: ◎標準答案46之外,學童還可能出 現那些答案? ◎那些錯誤答案發生的機率比較大? 機率大的就是好的誘答選項。

56 (向十位借1又還回去) 54 (大減小7-2,5-1) 51 (1不夠減5,只好留下來) 50 (1不夠減5,只好變成0) ※以『71-25=?』為例: ◎可能的錯誤答案: 56 (向十位借1又還回去) 54 (大減小7-2,5-1) 51 (1不夠減5,只好留下來) 50 (1不夠減5,只好變成0) 96 (將減號看成加號)

是否適合當做選擇題的選項? ◎以上皆是最好不要出現,因為所 有的選項都是正確的答案,學童 可能選擇第一個正確的答案。 ※以上皆非、以上皆是, 是否適合當做選擇題的選項? ◎以上皆是最好不要出現,因為所 有的選項都是正確的答案,學童 可能選擇第一個正確的答案。 ◎以上皆非應考慮出現的時機。

◎如果正確答案甲出現的機率是 60%,錯誤答案乙、丙出現機率 都是15%。錯誤答案丁、戊、己、 庚、辛出現的機率都是2%。 ◎甲、乙、丙一定是選項,第四個 選項可以考慮是『以上皆非』。 ◎所有算錯學童都有答案可以選。

◎要能評量重要的學習結果。 ◎避免題目逐字不變的摘自教材。 ◎避免措辭含糊不清的題目。 ◎試題文字力求簡明扼要,避免出 現跟答案無關的內容。 ※命題規範:一般原則 ◎要能評量重要的學習結果。 ◎避免題目逐字不變的摘自教材。 ◎避免措辭含糊不清的題目。 ◎試題文字力求簡明扼要,避免出 現跟答案無關的內容。

◎避免題目的敘述提供答題線索。 ◎避免題目之間彼此提供答題線索 ◎編寫只有一個正確或清楚標準答 案的題目。 ◎確定該題型為最適合的題目型式

◎題幹中清楚界定問題,且應僅提 出一個明確的問題。 ◎不要將四個是非題拼湊成一個選 擇題,以致缺少一個明確的中心 問題。 ※命題規範:題幹與選項部份 ◎題幹中清楚界定問題,且應僅提 出一個明確的問題。 ◎不要將四個是非題拼湊成一個選  擇題,以致缺少一個明確的中心  問題。

◎下列關於七角柱的描述何者正確 頂點和邊的個數一樣多 面的個數是邊的個數的2倍 頂點的個數:邊的個數=3:2 面的個數的3倍比邊的個數多2

◎下列敘述何者正確?ˉ 一個等邊四邊形一定是另一個等   邊四邊形的放大或縮小圖ˉ 一個線對稱圖形,對稱軸兩邊的   圖形一定全等ˉ 三角形的底邊一定比對應的高長 梯形又叫作等邊四邊形

◎題幹中儘量少用否定的陳述, 如果題幹中使用否定的陳述, 要加以明顯強調否定用字。

◎下列哪一個數『不是』101101的 質因數?ˉ  7 11 13 17

◎評量的重點是數學知識,不是國 文能力,也不是小心的答題:

◎小明和4個朋友一起買午餐 小明的4個朋友一起買午餐 小明等四個朋友一起買午餐

◎將各選項中的共用字詞放在題幹  上,以免重複。

◎下列哪一個數的因數個數最多? 12因數的個數最多 18因數的個數最多 21因數的個數最多 31因數的個數最多

◎題幹本身應為完整的敘述,不能  只是一個字、詞或是一個名詞。 ◎若以「未完成敘述句」作為題  幹,題幹應能傳達完整問題。

◎91和221的最大公因數是 1 7 13 17

◎題幹應只有一個核心概念,否則  失去診斷價值。

◎請問下面哪一個說法錯誤? 在數字923.404中,第一個4是 第2個4的100倍 0.9再多0.1讀做「零點十」 在數字23.403中,0在百分位 0.01是0.001的10倍

◎題幹要簡潔,避免無關陳述 (100字以內約為合理範圍)。

◎冰箱裡擺著一瓶容量1.25公升, 含有大量三聚氫氨的毒牛奶,不 知情的ㄚ幹先生昨天半夜偷喝掉 了一些,還剩下0.48瓶,為了不 讓ㄚ幹先生死後有所遺憾,請幫 他算算看一共偷喝掉了多少公升 的毒牛奶?  0.6 0.65 0.7 0.75

◎題意需明確完整,使受試者不必  閱譯選項即了解題意。 ◎試題必須重新組織,避免抄襲課  文。

◎A(2、3),B(5、1),C(6、2), D(8、2) 請問下列敘述何者正確? A,B,C三點共線 A,B,D三點共線 A,C,D三點共線 B,C,D三點共線

◎選項不要放在題幹中間,以免題  幹被選項分裂為二。

◎整數甲和乙的 乘積 因數和 差數 和數 不是甲和乙的公倍數?

◎避免正確選項是兩個完全相反的  觀念或事實的選項之一。

◎前兩個選項一定有一個是正確的 ◎下列敘述何者正確?ˉ 線對稱圖形,對稱軸兩邊的圖形 一定全等 線對稱圖形,對稱軸兩邊的圖形 一定不全等    ˉ ◎前兩個選項一定有一個是正確的  本題變成是非題

◎使所有選項在形式上平行。

◎下列式子中,哪一項是正確的?  12.1+1.4=26.2。  12.1+1.4=2.62。  12.1+1.4=13.5。  12.1<1.4。

◎儘可能以邏輯或順序的方式(如由  小至大、時間先後等)安排選項。

◎將一個圓柱體的側面展開後,發 現正好是一個正方形,請問該圓 柱體的高是底面半徑的多少倍? (圓周率=3.14) 3.14 12.56 1 6.28

◎避免錯誤選項中出現學生可能不  知道的字或太專業的名詞。

◎1度水,1台斤,1英磅  章魚或獨角仙有幾隻腳  等值分數,算術平均數

◎選項間應彼此獨立、互斥,避免  意義重疊。

◎已知4957÷□7的商小於100,  請問□內可以填入哪些數字? 1~4 1~5 5~8 4~9

◎每一個問題至少撰寫三個以上的  選項,但不要超過五個。 ◎避免正確選項較具概括性,以致  於其比錯誤選項的應用範圍更  廣。 ◎正確選項的位置要有變化。

◎每個選項應有足夠的誘答力,以 吸引內容未精熟的學生。 ◎選項避免出現「總是、一定、絕  對、從來、所有」等副詞。 ◎謹慎使用「以上皆是」、「以上  皆非」、「不一定」的選項。

◎有一種細菌每天繁殖的速度是前 ◎避免錯誤選項中有不合理的陳述 一天的兩倍,第10天這種細菌數 目是1000個,請問第幾天細菌的 數目是250個?

◎現在時間是早上6點15分25秒,當時針走了2大格,分針轉了2/5圈,秒針走了45小格後,就是小明出門的時間,請問小明何時出門? 8點40分15秒 8點39分15秒 8點40分10秒 8點39分10秒

※命題規範:數學科一般原則 ◎取材需為課程中重要觀念且情境  自然合理,符合學生的生活經驗

◎在長600公尺馬路的一邊種樹,頭 尾都種,每隔12公尺種一棵榕 樹,每隔8公尺種一棵麵包樹,請 問榕樹和麵包樹同時出現幾次?

◎多多帶了30000元去買一臺液晶螢 幕,老闆找給他2708元,請問一 臺液晶螢幕價值多少元?

一次付清  分期付款  二者相同  無法比較 ◎洗衣機特賣, 一次付清是13860元; 如果分6期付款,每次付2310元, 哪種付錢方式比較省錢? 一次付清  分期付款  二者相同  無法比較 ◎2310×6=13860

◎試題的擬定應側重概念理解、程  序知識、問題解決三方面的評量  避免過於呆板或瑣碎的記憶。

◎國小階段最缺概念理解的題目, ◎國小階段問題解決的題目多數都  不是真實的情境,而是虛擬出的  假情境。

◎面對問題「一瓶水4/5公升,3/11 瓶水有多少公升?」時,我們可 以透過「分子乘以分子,分母乘 以分母」的方式算出答案。 請問下列說法何者正確?

分母乘以分母,是將1瓶水平分 成55等份的意思。 分母乘以分母,是將1公升平分 分子乘以分子,是算有12個1/55 瓶水的意思。 分子乘以分子,是算有12個1/55 公升的水的意思。

◎一個邊長是10公分的正方體黏 土,將這個正方體黏土揉成一個 球, 請問下列敘述何者正確?

球的直徑比10公分長,球的體積 是1000立方公分。 球的直徑比10公分長,但是球的 體積不是1000立方公分。 球的直徑比10公分短,球的體積 球的直徑比10公分短,但是球的

100公分 500公分。 1000公分 2000公分。 ◎有一棵神木,二十個大人手牽著 手剛好可以圍繞神木一圈,請問 神木的直徑大約是幾公分? 100公分   500公分。 1000公分  2000公分。

◎不以冷僻艱深的數學材料為命題  內容,也避免要求學生做過於繁  雜的演算過程。 ◎每個試題只問一個問題,避免同  時包含太多概念。

◎試題若含圖表,圖表必須是答題  重要資訊的來源且須簡潔清楚。 ◎圖示一般以參考為主,但不宜與  事實差距太大。

◎命題時評量目標一定要符合對應 的能力指標(單元或活動目標) ◎不可以產生數學概念上的錯誤或 迷失概念 ◎其它注意事項 ※數學科選擇題命題注意事項: ◎命題時評量目標一定要符合對應 的能力指標(單元或活動目標) ◎不可以產生數學概念上的錯誤或  迷失概念 ◎其它注意事項

4-d-02:能報讀較複雜的長條圖

◎上圖是童子軍活動各分隊人數統 計圖。請問下列哪一個敘述是正 確的?(難:.425;鑑:.453) 第一隊女生人數是男生的2/5 第二隊女生人數是男生的5/7 第三隊女生人數比男生多4人 第四隊女生人數是男生的2倍

◎4-s-02:能透過操作,認識基本      三角形與四邊行的簡單        性質。 ◎如果一個等腰三角形的其中兩個  角別為75度與30度,則另一個角  是幾度? 30 45 75 105 度

◎5-s-01:能透過操作,理解三角       形內角和為180度

◎把同樣多的水倒進存希、欣怡和  安娜的杯子中,發現 存希的杯子裝不滿、 欣怡的杯子會滿出來、  安娜的杯子剛好滿滿的, 請問誰的杯子最大?

◎杯子最大指的是杯子的體積, 杯子的容量最大指的是杯子能裝最多的水,兩者意義不同。

◎求道路的面積 給路寬恰當嗎?能算出答案嗎?

◎長方形面積=平行四邊形面積 ◎重疊部份的面積是否相等? 長方形+平行四邊形-重疊部份 長方形+ 長方形 -重疊部份

◎求道路的面積  給路寬恰當嗎?能算出答案嗎?

※教師命題時評量的對象: 任課班級的學生 全校同年級的學生 某縣市同年級的學生 全國同年級的學生

◎評量自己班級學童時: 題意不清學童也能夠順利作答, 因為在課堂活動中已形成共識。 ◎評量全縣市或全國學童時: 必須考慮每一個學童是否都能正 確的理解題意。

◎能同時被4、6整除的數中, 最小的數是哪一個? 0 2 12 24 ◎題目的描述學生是否都有共識?

◎如果在整數範圍討論整除:  『0』是合理的答案。 ◎如果在正整數範圍討論整除:  『12』是合理的答案。 ◎本題限制討論的範圍是正整數,  是全班、某版本、全國的共識?

※整除: ◎是全班、某版本、全國的共識? ◎是否為數學界或課程標準中的  專有名詞? ◎ 2是否整除0.1? 0.3是否整除0.1?

◎整除在64年國小數學課本(全國統 一版本)中出現,現在課程標準中 標準名詞解釋並沒有引入整除。

◎標準名詞解釋的說明中出現整除 ◎當餘數為0時,稱之為整除。 ◎一不為0的整數甲若能整除另一 整數乙,甲稱為乙的因數,乙稱 為甲的倍數。國小階段只學習正 因數(倍數),國中階段引入負因 數(倍數)的學習。

◎64年國小課本透過整除引入因數 的意義,主要的理由是國小學童   無法理解數學上因數與倍數的定  義。

a是b的因數(b是a的倍數)  a,b都是整數。 a≠0。 存在一個整數q,使得 b=a×q。 為什麼要規定a≠0? ※數學上因、倍數的定義: a是b的因數(b是a的倍數)  a,b都是整數。 a≠0。 存在一個整數q,使得 b=a×q。 為什麼要規定a≠0?

0 2 12 24 ◎能同時被4、6整除的數中,最小 的數是哪一個? ◎除以4、6的商數大於0,餘數是0 的整數中,最小的數是哪一個? ◎除以4、6餘數是0的正整數中, 最小的數是哪一個? 0 2 12 24

◎如果討論的範圍是正整數 國小試題稱之為大於0的整數 或正整數? ◎如果討論的對象是平均速率 國小試題稱之為速度或速率?

◎下列關於三角柱的描述,何者  不正確? 有6個頂點9條邊 上底和下底互相平行且全等 底面和側面互相垂直 側面都是長方形

◎您心中的三角柱是什麼?  是全班、某版本、全國的共識? ◎正三角柱 vs 直三角柱        vs 斜三角柱

◎直角柱:  側面的邊和兩個底面都垂直的角  柱稱為直角柱,直角柱的側邊是長  方形區域。 ◎斜角柱:  側面的邊和兩個底面都不垂直的 角柱稱為斜角柱,斜角柱的側邊 是平行四邊形區域。

◎正角柱:  當直角柱的底面是正多邊形區域  時,一般稱為正角柱。

◎如果課本只討論正三角柱: 三角柱指的是正三角柱 ◎如果課本同時討論正三角柱和直 三角柱: 三角柱指的是直三角柱 其中正三角柱是三角柱的特例 ※各版本所定義或討論的三角柱: ◎如果課本只討論正三角柱:  三角柱指的是正三角柱 ◎如果課本同時討論正三角柱和直  三角柱: 三角柱指的是直三角柱 其中正三角柱是三角柱的特例

◎如果課本同時討論正三角柱、直  三角柱和斜三角柱:  三角柱指的是所有三角柱 正三角柱和直三角柱是特例 ◎課本對角柱的定義會影響答案。  64年版國小課程只討論正角柱。

◎當全國使用同一套數學課本: 數學問題的題意不清,並不會引 起太大的困擾,因為很容易在課 堂活動中形成解題的共識。 ◎當全國使用多種數學課本: 命題者必須出一些大家沒見過的 數學問題,為了將問題情境或限 制描述清楚,題目會變的很長。

◎題庫光碟或學校月考多數選擇題  的描述都太精簡,可能不適用於  大型測驗。 ◎自行命題或將填充或問答題修改  為選擇題時,請注意溝通及選擇  題命題注意事項。

※命題時圖形有下列四種意義: 圖形是示意圖,對解題沒有幫 助,沒有該圖也不影響解題。 圖形是題意的一部份,沒有該  圖則無法解題。

圖形是為了節省描述的文字,沒  有該圖則無法解題。 有圖形或沒有圖形,可以改變試 題的評量重點。

圖形是示意圖,對解題沒有幫助 ,沒有該圖也不影響解題。 ◎長5公分,寬3公分的長方形,面  積是多少平方公分?   

◎漢堡一個賣25元,果汁一杯賣20  元,炸雞一塊賣50元,薯條一包  賣15元,各買一份要多少元? ◎試題中畫出漢堡,果汁,炸雞, 薯條的圖像並標示其價錢。

圖形是題意的一部份,沒有該圖 則無法解題。 ◎速食店商品的售價如下圖,各買 一份要多少元? 畫出漢堡,果汁,炸雞,薯條的  一份要多少元? 畫出漢堡,果汁,炸雞,薯條的 圖像並標示其價錢。

◎如下圖所示,長方形面積是多少  平方公分?  5 3 單位:公分  

圖形是為了節省描述的文字,沒有 ◎要很多文字才能描述清楚相對位置。 該圖則無法解題: 甲 丙 ◎甲乙丙丁的相對位置 乙 該圖則無法解題:       甲                 丙 ◎甲乙丙丁的相對位置 乙     如右圖,請問乙在甲的  什麼方向?        丁  ◎要很多文字才能描述清楚相對位置。

丁一定在甲的北方 丁一定在乙的東南方 丁一定在丙的東方 條件不足,無法確定丁的位置 ◎甲、乙、丙、丁四個人站在正方  形的四個頂點。甲說:乙在我的東北方,丙說:乙在我的北方。  請問下列敘述何者正確?  丁一定在甲的北方  丁一定在乙的東南方   丁一定在丙的東方  條件不足,無法確定丁的位置

   丁     乙    甲     丙

       乙     甲     丁        丙 ◎沒有描述清楚圖形的相對位置時 ,可能會出現很多意外的答案。

有圖形或沒有圖形,可以改變試 題的評量重點。

甲有5個桃子、乙有3個桃子,  兩個人合起來共有幾個桃子? 甲有5個桃子、乙有3個桃子,   ♠♠♠♠♠ ♠♠♠  

◎一盒蘋果有8顆,媽媽把每一顆 蘋果都平均切成4份,請問每一 份是幾盒蘋果? ◎本題評量重點為何? 提供圖形是否會改變評量重點?

◎離散量情境分數命名活動 ◎1÷4=1/4 (等分除:整數除以整數) 1/4÷8=1/32 (分數除以整數)

◎一塊披薩平分成12等份,哥哥吃 了全部的一半,姊姊吃了哥哥的 一半,兩人一共吃了幾塊? ◎本題評量重點為何? 提供圖形是否會改變評量重點?

※題幹與選項的單位: ◎命題者必須清楚知道題幹的單位 及答案的單位是什麼。 ◎儘量將待答的單位描述清楚。

1/2 1/4 3/4 1/6 ◎陳老先生將一塊3公頃的土地平分 給3個兒子,大兒子分到全部的 1/2,二兒子分到全部的1/4,剩  給3個兒子,大兒子分到全部的  1/2,二兒子分到全部的1/4,剩  下的給小兒子,請問大兒子的土  地比小兒子多多少? 1/2 1/4 3/4 1/6 ◎答案是多少?為什麼?

◎答案可以是: 全部土地的1/4(全部是1) 3/4公頃(單位是公頃) 75公畝(單位是公畝) 7500平方公尺(單位是平方公尺)

 3個 ………. 等分除概念 1/4盒 ………. 分數概念 半盒的一半……日常生活用語 ◎一盒蘋果有12個,將一盒蘋果平 分成4份,其中的1份是多少? ◎答案可以是:  3個 ………. 等分除概念 1/4盒 ………. 分數概念 半盒的一半……日常生活用語

◎長50公分,寬60公分,高40公分 長方體的體積是多少? 120000立方公分 0.12立方公尺   ◎題幹只問多少(沒有強調單位), 選項一定要有單位,但是可以有 不同的單位。

120000 12000立方公分 ◎題幹有問單位,選項可以沒有單 ◎長50公分,寬60公分,高40公分 長方體的體積是多少立方公分? 120000 12000立方公分   ◎題幹有問單位,選項可以沒有單 位(國小階段最好描述單位)。

120000 12000立方公分 ◎題幹中的甲是一個數字,選項 ◎長50公分,寬60公分,高40公分 長方體的體積是甲立方公分, 請問甲=? 120000 12000立方公分   ◎題幹中的甲是一個數字,選項  不可以有單位。

※數學上的定義 vs 日常生活用語 ◎0.9 (=,≠)1 ◎0.3 (=,≠)1/3

◎直觀的看: 0.9 ≠ 1 ◎數學上的定義: a=b  >0,∣a-b∣< 0.9 = 1

◎甲身上的錢以萬為單位無條件進 位後是8萬元,問甲最多有多少 錢? 79999元 80000元 

◎數學定義的觀點:80000元  8萬是區間「70000<x≦80000」 的代表數,所以最大值是80000。 ◎非數學定義觀點:79999元  剛好是80000元,何必取概數。

◎小明有1000元,花了4百多元後, 大約剩下多少錢? 5百多元  5百元或6百元 5百多元或6百元 

◎數學定義的觀點:5百元或6百元 5百多元以百為單位取概數是5百 ◎非數學定義的觀點:5百多元 5百多元是日常生活用語。  5百多元以百為單位取概數是5百 元或6百元(沒說明取概數方法)。 ◎非數學定義的觀點:5百多元  5百多元是日常生活用語。

◎圓錐有多少個頂點(多少條邊)? 1個  無限多個 很多個 

※數學問題 vs 國語問題 ◎進行「相反數」教學時,教學的 重點是什麼? ◎進行「倒數」教學時,教學的重 點是什麼?

◎ 5 8 相反數 0 +3 -3 0 倒數 1 8/5 5/8 1

長4公分,寬6公分的長方形, 在比例尺1:1000的圖形中,長4 放大為3倍後面積為何? 公分,寬6公分的長方形,實際的 面積為何?  放大為3倍後面積為何? 在比例尺1:1000的圖形中,長4 公分,寬6公分的長方形,實際的  面積為何? ◎兩個問題的題意是否都清楚?

◎放大為3倍: 新、舊圖形相似,且新圖形的長  度是舊圖形對應長度的3倍 新、舊圖形相似,且新圖形的面  積是舊圖形對應面積的3倍

實際及原圖形相似,且實際圖形 實際及原圖形相似,且實際圖形 ◎比例尺1:1000: 的長度是原圖形長度的1000倍?  的長度是原圖形長度的1000倍? 實際及原圖形相似,且實際圖形  的面積是原圖形面積的1000倍?

◎比例尺1:1000是數學語言:  一定要形成共識,可以透過課堂  教學或試題中下定義形成共識。 ◎放大為3倍是日常生活用語:  考慮是否可以溝通,如果可以溝  通,不必說明,如果不可以溝通  ,應(舉例)該說明之。

◎3點5分到3點8分,經過幾分鐘? ◎3月5日到3月8日,經過幾天? ◎民國前一年到元年,經過幾年? ◎這個星期五到下個星期二,中間  隔了多少天?

3點5分到3點8分,經過幾分鐘? 3月5日到3月8日,經過幾天? ◎多數成人的答案: 第題是3分鐘,第題是4天。 ◎為什麼相同的問法(文字描述)會 產生二種不同的答案?

◎涼麵包裝上印著製造日期:5月4 日19時,有效日期:5月6日12 時,下午3點買的涼麵,保存期限 還有多久?

※選項之間不可以有包含關係: ◎異分母加減要先進行什麼步驟? 通分 約分 擴分 平分

◎通分包含約分與擴分,選通分一 定是正確的答案。 ◎一定要湊成四個選項嗎? ◎是否要建立選最佳答案的共識?

交集必須是空集合(∮)。 聯集必須是宇集合。 ◎選擇題的選項必須滿足交集是空 集合,儘量滿足聯集是宇集合。 ※各選項之間儘量滿足分割的條件: ※分割: 交集必須是空集合(∮)。 聯集必須是宇集合。 ◎選擇題的選項必須滿足交集是空  集合,儘量滿足聯集是宇集合。

  有交集      分割

◎甲+1000=乙+2000,請問下列 敘述何者成立? 甲>乙 甲<乙 甲=乙    甲≧乙

是答案,一定也是答案。 ◎前三個選項已經包含甲和乙大小 ◎選項包含於,如果或 關係的所有可能(三一律),  關係的所有可能(三一律), 第四個選項一定不會是答案。 ◎選項包含於,如果或 是答案,一定也是答案。

◎甲+1000=乙+2000,請問下列 敘述何者成立? 甲比乙大 甲比乙小 甲和乙一樣大 無法比較

◎前兩個選項一定有一個是正確的 ◎下列敘述何者正確?ˉ 線對稱圖形,對稱軸兩邊的圖形 一定全等 線對稱圖形,對稱軸兩邊的圖形 一定不全等    ˉ ◎前兩個選項一定有一個是正確的  本題變成是非題

◎98÷2=49,98÷49=2。 98是2和49的什麼數? 最大公因數 最小公倍數 公因數 公倍數 ◎如何修改題目?

◎如果答案是最小公倍數,選公倍 數一定也成立。因為最小公倍數  包含在公倍數裡面。

98是2和49的最大公因數 98是2和49的最小公倍數 98是2和49的公因數,但不是最大 98是2和49的公倍數,但不是最小 ◎98÷49=2,98÷2=49。請問下列 敘述何者成立? 98是2和49的最大公因數 98是2和49的最小公倍數 98是2和49的公因數,但不是最大 公因數 98是2和49的公倍數,但不是最小 公倍數

700 760 800 3800 元 ◎上等茶葉1公斤1000元,中等茶葉 1公斤600元,將上等茶葉2公斤和 ※合理的答案 vs 最佳答案 ◎上等茶葉1公斤1000元,中等茶葉  1公斤600元,將上等茶葉2公斤和 中等茶葉3公斤混合出售,賣多少 錢才不會虧本? 700 760 800 3800 元

◎最大數字3800元一定是合理的答 案,760元是最佳答案。 ◎一定要選最佳答案是否為共識?

※特例 vs 等價類(集合) ◎五邊形的內角和是多少度? ◎下圖中五邊形內角和是多少度? ◎上題是特例。  下題是等價類。

◎水平線特例 vs 平行線等價類 ◎特例: ◎等價類: 給一杯水,傾斜後找出水平線或 水平面(看到某一個現象)。 所有與水平線平行的直線都是水 平線。

◎看到分數『3/5』會想到什麼? ◎學過最簡分數後, 看到分數『3/5』會想到什麼?

◎特例  等價類(分數) ◎剛開始,分數3/5是特例 ◎最簡分數3/5是等價類, 3/5,6/10,9/15,12/20,…. ◎特例  等價類(分數) ◎剛開始,分數3/5是特例 3/5,6/10,9/15,12/20,…. 是不同的分數(等值分數)。 ◎最簡分數3/5是等價類,  {3/5,6/10,9/15,….}的代表

◎哪個形體的頂點有6個(給圖形)? ◎哪種形體的頂點有6個? 三角柱 四角柱 五角柱 六角柱 ◎評量特例或等價類?

◎那些圖形的對角線等長? 梯形  菱形  長方形 平行四邊形 ◎評量特例或等價類?

只有甲圖 只有甲圖及乙圖只有丙圖 甲、乙、丙圖 ◎ 甲圖 乙圖   丙圖 上面的圖形中,那些圖形的對角線等長? 只有甲圖  只有甲圖及乙圖只有丙圖  甲、乙、丙圖 ◎評量特例或等價類?

◎我們透過量角器的測量,可得知 三角形的三個角總和為: 90°   180°  270°  360° ◎評量特例或等價類?

◎改法1: ◎用量角器量量看,右邊這個三角 形三個角角度的總和大約是多少 度? ◎本題評量重點是特例。

◎改法2: ◎任意三角形三個角角度的總和是 多少度? ◎本題評量重點是等價類。

◎哪些圖形的對角線等長? 哪些圖形的對角線一定等長? 哪些圖形的對角線可能等長? 長方形 梯形 箏形 菱形 ◎答案是多少?為什麼?

◎評量的重點是等價類: ◎一定要所有的例子都成立。 ◎文字描述有一定成立的意思,此 答案是長方形(所有的長方形對角 線都等長)。 類問題評量重點都是等價類。

◎評量的重點是特例: ◎所有長方形的例子都成立。 ◎文字描述有可能成立的意思,此 等腰梯形的例子也成立。 長方形及梯形都是合理的答案。 類問題評量重點都是特例。

※定義 vs 定理 ◎何謂定義? 為什麼要下定義? ◎何謂定理? 為什麼要證明定理?

◎國小的定義:操作型的定義 為方便使用工具檢驗下定義 ◎數學上的定義:well-defind 利用最少性質下定義

◎平行四邊形的定義只有一個 ◎平行四邊形的定理可以有很多個 兩雙對邊互相平行的四邊形。 兩雙對邊等長的四邊形 兩雙對角相等的四邊形 一雙對邊平行且相等的四邊形 對角線互相平分的四邊形

◎國小階段只引入操作形的定義, 無法証明定理。因此國小階段 不能評量定理(等價類)

◎兩雙對邊等長的四邊形是什麼圖 形? 平行四邊形  梯形 箏形     任意四邊形 ◎評量特例或等價類? 評量定義或定理?

◎ 見左圖,下列敘述 何者不成立? 兩雙對邊互相平行 兩雙對邊分別等長 兩雙對角分別相等 兩條對角線等長 ◎本題評量重點為何?

◎本題評量重點是特例(題目給定一 個圖形) 。 ◎本題評量重點是定理,但是可以 透過測量圖形得到答案。 ◎本題可以評量國小學童。

◎下列關於平行四邊形的敘述何者 不成立? 兩雙對邊互相平行 兩雙對邊分別等長 兩雙對角分別相等 兩條對角線等長 ◎本題評量重點為何?

◎本題評量重點是等價類。 ◎本題評量重點是定理。 ◎國小學童可以檢查特例是否成立 ,但是無法証明等價類成立。 有很多,很多個特例成立,也無 法保証等價類成立。

14個 16個 46個 86個 ◎橘子一籃,吃掉6個以後,剩下的 8個裝成一盒,10個裝成一盒, 都可以剛好裝完,請問一籃橘子 ※儘量少命可以由答案倒推的題目。 ◎橘子一籃,吃掉6個以後,剩下的 8個裝成一盒,10個裝成一盒, 都可以剛好裝完,請問一籃橘子 最少有多少個? 14個 16個 46個 86個

◎本題的評量目標:最小公倍數 由答案倒推的評量目標:  整數的減法及除法 ◎透過答案嘗試倒推的能力  是評量的重點嗎?

◎哥哥給弟弟2張遊戲卡,這2張遊 戲卡是哥哥原有遊戲卡的1/5 ,哥哥原來共有幾張遊戲卡? 2 5 7 10 張

◎透過題幹直接算出答案: ( )×1/5=2  2÷1/5=10 ◎利用答案倒推: (10÷5)×1=2 ◎何者是命題時的評量重點?

◎5元硬幣和1元硬幣合起來有20 個,總錢數是68元,請問5元硬幣 有多少個?  12個  8個 5個 1個 ◎如何修改題目?

5元硬幣個數是1元硬幣個數的3倍 1元硬幣個數是5元硬幣個數的2倍 5元硬幣比1元硬幣多4個 5元硬幣比1元硬幣少6個 ◎5元硬幣和1元硬幣合起來有20 個,總錢數是68元,請問下列敘 述何者成立? 5元硬幣個數是1元硬幣個數的3倍 1元硬幣個數是5元硬幣個數的2倍 5元硬幣比1元硬幣多4個 5元硬幣比1元硬幣少6個

※選擇題不宜限制解題策略: ◎利用質因數分解法算算看,36和  48的最小公倍數為何?  96 144 288 1728

96 144 288 1728 ◎因為看不到學童的解題過程,所 ◎36=2×2×3×3 以選擇題不宜限制解題策略。 48=2×2×2×2×3 36和48的最小公倍數為何? 96 144 288 1728

8時65分 9時5分 9時 9時10分 ◎數學能力普測的時間是50分鐘, 題目是30題選擇題,測驗時間從 ※有多餘條件的試題: ◎數學能力普測的時間是50分鐘, 題目是30題選擇題,測驗時間從 上午8時40分開始,小于只花了25 分鐘就寫完,請問他在幾時幾分 寫完? 8時65分 9時5分 9時 9時10分

◎數學能力普測的時間是50分鐘和 題目是30題選擇題是多餘資訊 因為選項中沒有與50和30這兩個 數字有關的答案,因此它們變成  因為選項中沒有與50和30這兩個  數字有關的答案,因此它們變成  沒有意義的多餘資訊

6小時20分 8小時20分 4小時 2小時 ◎小儒每星期二、四要要上英語才 藝班,時間是下午4時20分開始,  藝班,時間是下午4時20分開始,  每次上課時間為120分鐘,請問小  儒一星期上英語才藝班的時間有多久?  6小時20分 8小時20分  4小時    2小時

◎下午4時20分開始是有意義的多餘  資訊,因為選項中有與4時20分有  關的答案。

※解讀題意是否有共識: ◎請問大於0.3,但是小於0.4的所  有三位小數共有多少個? 9個  90個 99個 100個

0.310算三位小數: 0.310不算三位小數: ◎0.310算不算三位小數: 答案是99個(0.301 〜 0.399) 答案是90個(扣除0.310〜0.390) ◎0.310是三位小數是否為共識?

甲攤 乙攤 丙攤 三攤都一樣 ◎三家水果攤賣一樣的蘋果, 甲攤買十送二,乙攤打八折, 丙攤第二個蘋果打六折。 如果媽媽想省錢,買那一攤的蘋 果比較好? 甲攤    乙攤 丙攤   三攤都一樣

◎甲攤買十送二: 買5是否送1? 買100送20後是否再送2? 每買滿10個就送2個。 ◎乙攤打八折:  不論買幾個都打八折?

◎丙攤第二個蘋果打六折: 只有第二個蘋果打六折? 每買2個蘋果,第2個蘋果就打 六折?

◎假設1個蘋果賣10元(題幹中給不  給這個條件,難度是否改變?) ◎買1個蘋果   買2個蘋果 甲:10元    甲:20元 乙:8元 乙:16元 丙:10元 丙:16元

◎買10個蘋果 買11個蘋果 甲:100元 甲:110元 (多出2個蘋果) (多出2個蘋果) 乙:80元 乙:90元。 丙:80元 丙:88元 ◎買蘋果的個數不同,答案不一樣

◎甲、乙兩店賣一樣的10元蛋糕 甲店:第二個蛋糕打八折。 乙店:買100元送2個蛋糕。 如果營養午餐需要100個蛋糕,用 下列什麼方法買最便宜?

◎買100個蛋糕指的是: 買100個蛋糕,帶回120個蛋糕 帶回100個蛋糕。

◎下列那些敘述和打八折相同? 原價減三成 原價乘以五分之三 同樣的商品第二件6折   同樣的商品買四送一 題意是否明確? 如何修改題目?

◎港幣2元大約可以兌換新台幣9元 港幣和新台幣的比是多少?  2:9 9:2  1:9 1:2  題意是否明確? 如何修改題目?

◎港幣和台幣有很多東西可以比。 ◎紙張大小,重量,厚度,錢數, 幣值,流通量等都可以比。 ◎1元錢幣個數比(買相同東西): 港幣:台幣=2:9 ◎幣值的比(相同錢幣的購買力): 港幣:台幣=9:2

放大3倍: 放大為3倍: 原圖形長度a,新圖形長度4a。 ◎如果使用放大3倍,建議在後面加 註(變成原來的4倍) 。 ※放大3倍 vs 放大為4倍。 放大3倍:  原圖形長度a,新圖形長度4a。 放大為3倍: ◎如果使用放大3倍,建議在後面加 註(變成原來的4倍) 。

※要清楚的描述兩者的關係: ◎ △ABC,∠A=35°,∠B=20°, 將該三角形放大2倍後∠C=? ◎本題的評量重點為何?

◎一張紙的邊長AB是100公分,如果  將其影印縮小為80%後再放大為  120%,則AB較原來的長度增(減)  多少公分? ◎本題的答案為何?

◎放大,相似,全等  都是兩個圖形間的關係: ◎△ABC放大後變成另一個△DEF。  ∠C不是放大後△DEF的角,∠C是  原△ABC中的角。

◎AB線段還是AB線段,不會改變。 ◎AB長度還是100公分,不會改變。 ◎應該清楚的描述AB邊先縮小為 CD邊,再放大為EF邊後,再問EF 邊的長度比原來AB邊的長度增加 或減少多少公分。

※不宜出現不存在的幾何圖形: C 3 2.4 2.7 x y   A D B AC=AB=3,BC=2.7,CD=2.4 求△ABC=?

解法1:(底乘高)除以2。 解法2:海龍公式。 兩種解法的答案不一致。 ◎該圖形不存在: AD=√3×3-2.4×2.4=1.8 DB=√2.7×2.7-2.4×2.4≠1.2 AD+DB≠3

AB=10,BC=8,CD=7,∠AED=90° A  ∠AED=90°,AE=8,ED=5 D E B C 五邊形ABCDE的面積為何?

◎該圖形不存在: 3×3+8×8≠5×5+8×83 3 8 8 5

◎AD=5,BC=10,OM=2,ON=5 A M D O B N C △OAB+△OCD=?

解法1:梯形減上下兩個三角形 (5+10)×(2+5)÷2=52.5 (10×5)÷2=25 (5×2)÷2=5 52.5-(25+5)=22.5 △OAB+△OCD=22.5

△OAB=△OCD △OAB=△ABC-△OBC △OCD=△DBC-△OBC △ABC=△DBC(同底等高)

解法2:(△ACD-△OCD)×2 10×(5+2)÷2=35 (10×5)÷2=25 (35-25)×2=20 △OAB+△OCD=20

△OAB=△OCD △OAB=△BAD-△OAD △OCD=△CAD-△OAD △BAD=△CAD(同底等高)

解法3:(△CAB-△OAB)×2 5×(5+2)÷2=17.5 (5×2)÷2=5 (17.5-5)×2=25 △OAB+△OCD=25

◎該圖形不存在:  △OAB  △OCD  AB:CD=OM:ON  5:10 ≠ 2:5

◎下圖圓錐的底半徑是3公分,高是 4公分,圓錐展開圖中,扇形的弧 長是幾公分?(圓周率=3.14) 5  10  15.7  31.4

◎圓錐展開圖的圖形不正確。 ◎側邊的邊長:底邊的半徑=2:1 該直圓錐展開圖中的扇形部份剛 好是半圓。

※不成立的計算問題: ◎□÷1.04=1.7 .. 0.12, □=?    0≦0.12<1.04 ◎題意是否明確?

□=1.04×1.7+0.12=1.888 1.0 4 × 1.7  7 2 8 +1 0 4      1.7 6 8 +0.1 2   1.8 8 8

    1.7  1.8  1.04 )1.888 1.04)1.888 1 04  1 04  848 848 728 832 0.120 0.016 為什麼驗算出來的答案不正確?

   4.66 3 ) 14 00 14÷3=4….2 12 0≦ 2 < 3 2 0 14÷3=4.6….0.2 1 8 0≦ 0.2 < 0.3 20 14÷3=4.66….0.02 18 0≦ 0.02 < 0.03 0.02

◎a÷b=q....r, 商數q是整數,0≦r<b; q是一位小數,0≦r<b×0.1; q是二位小數,0≦r<b×0.01; ……以此類推。

◎□ ÷1.04 =1.7…….0.12 餘數大於除數的十分之一倍,也 就是說,此題數據不可能存在。 ◎□ ÷1.04 =1.7…….0.08 q是一位小數,0≦r<b×0.1 此題的數據存在,因此驗算時一 定滿足a÷b=q……r。

※容易混淆的數學概念或數學用語: 長度 vs 距離 ◎用圓規畫圓時,圓規兩腳張開的 長度為何?  直徑 半徑 圓心 圓周

直徑 半徑 圓心 圓周 ◎用圓規畫圓時,圓規兩腳張開的 ◎兩個點之間是距離,不是長度。 ◎直徑、半徑、高都有兩個意義, 距離和下列何者的長度相等? 直徑 半徑 圓心 圓周 ◎兩個點之間是距離,不是長度。 線段(直線或曲線)才是長度。 ◎直徑、半徑、高都有兩個意義, 一個是幾何圖形本身,另一個是 幾何圖形的長度。

速度 vs 角(旋轉)速度 ◎有時針、分針、秒針的時鐘中, 哪一根針走得比較快? 時針 分針 秒針 一樣快

◎比較的是時針、分針、秒針的旋 轉速度(角速度),不是直線速度 (距離÷時間)。 ◎有時針、分針、秒針的時鐘中, 哪一根針旋轉的比較快?

大齒輪速度是小齒輪的2倍 大、小齒輪的速度一樣快 ◎有大、小兩個連結在一起可以旋 轉的齒輪,大齒輪的半徑是10公 分,小齒輪的半徑是5公分,請問 下列敘述何者正確? 大齒輪速度是小齒輪的2倍 小齒輪速度是大齒輪的2倍 大、小齒輪的速度一樣快

◎小齒輪旋轉速度是大齒輪的2倍。 ◎A、B是大、小齒輪圓周上任意二 點,這兩點的直線速率一樣快, 因為大、小齒輪的齒距一樣大。

◎一盒蛋糕平分給6位小朋友,4個 人一共分到幾盒蛋糕? ◎題意是否明確?

◎一箱飲料有24瓶,小舒喝了3瓶, 請問小舒是喝了多少箱的飲料? ◎媽媽買了2張蔥油餅,平分給全家 3個人吃,請問每個人可以吃多少 張的蔥油餅? ◎這兩題的評量重點為何?

◎數線上有A、B、C、D 4個點,各 代表4個數。 A=0,B=2,D=7,C點介於B 和D之間,請問下面哪一個人的 說法不可能是正確的? (1) 小英說:我猜C可能是假分數 (2) 小玉說:我猜C可能是真分數

◎是否可以使用『猜』? ◎『A=0』的意義為何? 國小階段評量數線是否一定要有 數線的圖形?