立体几何翻折问题 东莞中学 王海宏
提出问题1： 在如图所示的长方体表面上，一只蚂蚁从点A爬到C1，它经过的最短路程是多少？
提出问题2： 已知正方体的平面展开图，在原正方体中，判断直线BM与ED，CN与BE，DM与BN的位置关系.
把一个平面图形按要求折成空间图形或将一个空间图形按要求翻开成平面图形，通过图形转换研究图形在位置关系或数量关系上的变化，这一类问题称为翻折问题.
例题分析 若以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，求折后两直角边夹角. 翻折前后：BD⊥AD，BD⊥ CD， 故二面角的平面角∠ADC=90o 翻折后， △ABD，△CBD ，△ADC全等， 所以△ABC为等边三角形， 所求的两直角边BA,BC夹角为60o.
2013广东高考理 在等腰三角形ABC中,∠A=90o,BC=6, D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE= ,O为BC的中点, 将△ADE沿DE折起,得到四棱锥A’-BCDE,其中A’O= (1)证明:A’O⊥平面BCDE; (2)求二面角A’-CD-B的平面角的余弦值.
AB=AC,∠A=90o,BC=6,CD=BE= ,O为BC的中点, 将△ADE沿DE折起, 其中A’O= (1)证明:A’O⊥平面BCDE; (2)求二面角A’-CD-B的平面角的余弦值. 在Rt △ABC中， 得OF=1，DF=2， ∴DO=EO= 而DA’=EA’= ,A’O= ∴ A’O⊥DO, A’O⊥EO.
AB=AC,∠A=90o,BC=6,CD=BE= ,O为BC的中点, 将△ADE沿DE折起, 其中A’O= (1)证明:A’O⊥平面BCDE; (2)求二面角A’-CD-B的平面角的余弦值. 先作出∠A’GO,再证明其为平面角. 在Rt △ABC中， 在Rt △A’GO中， ∴
翻折问题解题的关键在于，分析翻折前后的图形，哪些位置关系和数量关系发生了变化，哪些位置关系和数量关系没有发生变化，进而设计合理的推理和计算，得到所求问题的答案.
课后练习 1.在四边形ABCD中, AD//BC,AD=AB, ∠BCD=45o, ∠BAD=90o,将四边形ABCD沿BD折起, 使平面ABD⊥平面BCD,证明平面ABD⊥平面ADC.
课后练习 2.在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC上的点,将△AED, △DCF分别沿DE,DF折起,使A,C重合于A’, (1)求证A’D⊥EF; (2)当BE=BF= BC时,求三棱锥A’-EFD的体积.
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