中子星强磁场, 磁星超强磁场, 磁星高X-射线光度 的物理本质 彭秋和 (南京大学天文系)

我们较近的研究工作 我们计算发现: 中子星观测到的1011-1013高斯的强磁场实质上来源于中子星内超相对论强简并电子气体 的Pauli顺磁磁矩产生的诱导磁场。 Qiu-he Peng and Hao Tong, 2007, “The Physics of Strong magnetic fields in neutron stars”, Mon. Not. R. Astron. Soc. 378, 159-162(2007) 我们计算发现: 磁星超强磁场来自在原有本底(包括电子Pauli顺磁磁化)磁场下，各向异性中子超流体3P2中子Cooper对的顺磁磁化现象。 Proceedings of Science (Nucleus in Cosmos, X, 2008, 189) 电子磁矩 中子反常磁矩

Pauli顺磁(诱导)磁矩 A magnetic moment tends to point at the direction of applied magnetic field with lower energy due to the interaction of the magnetic field with the magnetic moment of the electrons. But, the electrons in the deep interior of the Fermi sea do not contribute to the Pauli paramagnetism. The Pauli paramagnetism is caused just by near the Fermi surface and it is decided by the ( level) state density of energy near the Fermi surface. - - - E=EF · · · · Fermi sea · · · · · · · · E=0

Shape of the Fermi surface Case: B<<Bcr Fermi surface almost is a spherical and the quantized Landau energy level is nonsignificant Case : B>Bcr Fermi sphere becomes a Landau column and the energy level perpendicular to the direction of applied magnetic field is quantized pz pz p⊥ py px Bcr =4.414×1013 guass

统计物理方法 在外加磁场下,Fermi系统Pauli顺磁磁矩可以从热力学关系式推求 诱导磁矩: Ξ: 电子系统的巨配分函数 μ: 电子磁矩 N(ε)为能级密度, k 为波数。当外加磁场远低于Landau临界磁场(Bcr=4.414×1013gauss)时，Fermi球为球对称。 V为体积

能级密度N(ε) 对非相对论(强简并)中子系统 V : Volume of the system 对超相对论强简并电子系统

中子正常Fermi系统的Pauli顺磁磁矩μ(in) 由 → 中子星的磁矩同(极区)磁场强度的关系: (RNS为为中子星半径)它产生的诱导磁场强度为 Ｂ(0)为本底初始磁场(在中子星形成过程中，由超新星核心坍缩过程形成的磁场)

数值估算 对质子系统: (在中子星内, 质子丰度Yp ~ (5-8)%) 它的Pauli顺磁磁矩远小于中子系统的Pauli顺磁磁矩, 它产生的诱导磁场可以忽略。

超相对论电子气体的Pauli顺磁磁矩产生的诱导磁场 The electron gas is in a highly relativistic degeneracy in NS

Ｙe 电子丰度 B(in)(e) 同温度无关(高度简并电子气体) Conclusion:

非相对论中子气体: 物理原因 超相对论电子气体

III. Landau 逆磁性 (Landau diamagnetic susceptibility) 通常在金属中电子气体具有逆磁磁矩，它起源于电子带电。在外加电磁场中，单个电子具有的Harmiton量 ( 为电磁矢量势) 外加磁场改变电子的轨道状态。中子不带电，没有这种逆磁性。 我们在讨论 电子气体的Pauli 顺磁性(paramagnetic magnetization) 的同时，应该计算电子气体的Landau 逆磁性。 计算高度相对论强简并电子气体的Landau 逆磁性是非常困难的:在(巨)配分函数表达式中需要计算电子的能谱，必须求解在外(强)磁场下相对论电子的Dirac方程。迄今尚未见到相关计算。 但是，对非相对论强简并电子气体的Landau 逆磁磁化率等于相应Pauli 顺磁磁化率的(–1/3) (冯端，金国钧著 “凝聚态物理学上卷”(2003),§6.3.4)

对相对论强简并电子气体的Landau 逆磁磁化率大约等于相应Pauli 顺磁磁化率的万分之一。 (仝号的计算) 我们至少可以推断: 中子星内，超相对论强简并电子气体 (Pauli顺磁 减去Landau 逆磁)的总诱导磁场至少超过原有初始磁场B (0)的90倍(B (0)起源于超新星爆发中其核心坍缩过程) 重要结论:中子星观测到的1011-1013高斯的强磁场实质上来源于中子星内超相对论强简并电子气体 的Pauli顺磁磁矩产生的诱导磁场。

超相对论电子气体的Pauli顺磁磁矩产生的诱导磁场 (*) 它的大小取决于在Fermai表面处的(状)态密度N(EF)。 对中子星内高度简并的超相对论电子气体: 当磁场不太强： B< Bcr (Landau临界磁场) ---简并Fermi球体 B(in)(e) 同温度无关(高度简并电子气体)

对相对论强简并电子气体的Landau 逆磁磁化率大约等于相应Pauli 顺磁磁化率的万分之一。 (仝号,最近的计算) 我们至少可以推断: 中子星内，超相对论强简并电子气体 (Pauli顺磁 减去Landau 逆磁)的总诱导磁场至少超过原有初始磁场B (0)的90倍(B (0)起源于超新星爆发中其核心坍缩过程) 重要结论:中子星观测到的1011-1013高斯的强磁场实质上来源于中子星内超相对论强简并电子气体 的Pauli顺磁磁矩产生的诱导磁场。

超强磁场B > Bcr 情形 pz p (简并的Landau柱面) The overwhelming majority of neutrons congregates in the lowest levels n=0 or n=1, When The Landau column is a very long cylinder along the magnetic filed, but it is very narrow. The radius of its cross section is p .

超强磁场B > Bcr 情形 (简并的Landau柱面) B > Bcr 时,电子Pauli顺磁磁化效应几乎不再使本底磁场放大。 原因在于:当B > Bcr (Bcr= 4.414×1013 gauss)时, 原有的简并的Fermi球面形变为狭长的Landau柱面。而且，随着磁场的增加, Landau柱面变得更加狭长。此时的Fermi表面只是Landau柱面的顶上底面，远远小于球形的Fermi球表面。因此它对应的态密度N(EF)大大减少，前述诱导磁场的放大因子A<<1，可以忽略不计。 结论: 磁星 (B>1014 gauss)的超强磁场是不可能通过极端相对论的简并电子气体的Pauli顺磁磁化效应产生的。 必须另寻其它物理原因。

IV. 磁星超强磁场的物理本质 ─ 各向异性中子超流体 3P2中子Cooper对的 顺磁磁化现象

己经提出的模型: Ferrario & Wickrammasinghe (2005)suggest that the extra-strong magnetic field of the magnetars is descended from their stellar progenitor with high magnetic field core. Iwazaki(2005)proposed the huge magnetic field of the magnetars is some color ferromagnetism of quark matter. Vink & Kuiper (2006) suggest that the magnetars originate from rapid rotating proto-neutron stars.

能级图 正常Fermi粒子能级图 3P2 中子超流体能级图 E=EF 当 T <Tλ =Δ/k 时, 系统处于超导 (或超流)状态 kT Δ 当 T <Tλ =Δ/k 时, 系统处于超导 (或超流)状态 Tλ: 相变温度 能级图 E=0

3P2 中子Cooper对的磁矩的分布 3P2 中子Cooper对(Bose子系统)，低温下都凝聚在基态(E=0)状态。 μB = 2 μn= 1.9 ×10-23 ergs/gauss。 在外磁场作用下，磁针(磁矩)有着顺磁场方向的趋势,具有较低的 能量值。即它比 σZ = 0, 1 状态有更低的能量。

顺磁方向与逆磁方向排列的 3P2Cooper对数目差 在(T,B)环境下, 自身磁矩顺磁场与逆磁场方向排列的3P2中子Cooper对数目之差为 f(x)为布里渊函数

处于3P2 中子Copper 对的中子数所占的百分比 (动量空间中)Fermi球内、在Fermi表面附近厚度为 壳层内的中子才会结合成3P2 Cooper对。它占中子总数的百分比为: EF(n) ~ 60 MeV, Δ(3P2(n)) ~ 0.05 MeV, q ~ 8.7% 处于3P2 Copper 对状态的中子总数目为:

3P2中子Cooper对的诱导磁矩 磁针顺磁场与逆磁场方向排列的3P2中子Cooper对数目之差为 它们引起的诱导磁矩为 当: (高温近似)

3PF2 中子超流体的总的诱导磁场 : 中子星的磁矩同(极区)磁场强度的关系: →

Bin- T 曲线(取η=1)(未考虑相互作用)

物理图象 当中子星内部冷却到3P2超流体的相变温度Tλ=2.8×108K以后, 发生相变:正常Fermi状态 → 3P2 中子超流状态。 这时中子星磁场会发生变化, 这是由于中子3P2 Copper对的磁矩在外磁场作用下会逐渐转向顺着外磁场方向排列。 在温度较高的条件下，绝大多数3P2中子Cooper对的磁矩投影指向都是混乱的,顺着磁场方向排列的3P2中子Cooper对的数量略微多于逆磁场方向排列的3P2中子Cooper对的数量(数量差为ΔN1) 。正是这微弱的相差，造成了3P2 中子超流体的各向异性与诱导磁矩。即磁星的超强磁场是由3P2 中子超流体中，偏离ESP状态的(数量约占千分之一) 3P2中子Cooper对的诱导磁矩造成的(3P2中子Cooper对的中子总数只占3P2 中子超流体内中子总数的8.7%)。

中子星磁场的增长 随着在中子星冷却的过程，它内部的温度下降，顺着外磁场方向排 列的中子3P2 Copper对数量迅速(指数)增长。当 温度下降到T7 < 2η (居里温度)以后, 3P2 中子超流体的这种诱导磁 矩产生的诱导磁场超过它原有的初始本底磁场(形成磁畴现象)。 随着中子星的进一步冷却, 有两个因素使得中子星磁场增长 1) (百分比)愈来愈多的中子3P2 Copper对的磁矩方向(在原有的初始本底磁场作用下)转向顺磁排列。增强了磁矩，因而增强了诱导磁场。 3P2 中子超流区扩大， 3P2 中子超流体的总质量不断增长(图) 随着在原有3P2 中子超流体区域(3.31014 <  (g/cm3) < 5.21014) 外侧邻近部分区域物质温度下降到相应的相变温度时，该区域物质 正常Fermi状态 → 3P2 中子超流状态, 因而3P2 中子超流体区域扩大，中子星内3P2 中子Cooper对的总磁矩 会不断地缓慢(几乎连续)增长。它产生的诱导磁场也逐渐增长。 结论: 它将朝着磁星方向演化。

3P2中子能隙图(Elgagøy et al.1996, PRL, 77, 1428-1431)

V. 强磁场下 电子气体的Fermi能 同 磁场强度 的相关性

在强磁场下简并电子气体性质 问题：电子的Fermi能同磁场的关系?

强磁场下 的 Landau柱面

Landau柱面 Landau column pz p

强磁场下电子运动的Landau能级量子化理论    

pz Landau quantization n=5 p n=6 n=3 n=2 n=1  n=4 n=0

强磁场下的Boltzmann电子气体  

Classical electron gas in strong magnetic field  

强磁场下的简并电子气体  222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222

强磁场下简并电子(动量空间)沿Landau 能级量子化的分布   p   p(nmax)   强磁场下简并电子(动量空间)沿Landau 能级量子化的分布

Majority of the Fermi sphere is empty, without electron occupied,   Majority of the Fermi sphere is empty, without electron occupied, In the x-y plane, the perpendicular momentum of electrons is not continue, it obeys the Landau relation .

自然推论  

国际流行的另一种理论方案 主要观念:磁场增强，电子的Fermi能降低。 (以下述5篇论文为典型代表) 这几篇有关论文，影响很大、引用率很高。 [1] V. Canuto and H.Y. Chiu, 1968, Phys. Rev. 173:1210 [2]V. Canuto and H.Y. Chiu, 1971, Space Science Reviews 12:3-74 [3]D. Lai, S.L. Shapiro,1991, ApJ., 383: 745-761 [4] D. Lai, 2001, “Matter in Strong Magnetic Fields” . Reviews of Modern Physics, 73:629-661 [5] Harding & Lai , 2006, Rep. Prog. Phys. 69 : 2631-2708)

这些论文中的重要结论 对于密度不太高的非相对论简并电子气体： 磁场增强，电子的Fermi能降低。磁场降低了电子的简并性质。 当ρ>>ρB 情形下，磁场对电子影响很小。 这个结论同我们对强磁场下Landau能级量子化的图象不一致！ 为什么?

质疑与原因的探究

在磁场下的Landau理论（非相对论） 1）在均匀磁场下自由电子的能量为(Landau能级)： 求解在磁场下非相对论Schrödinger方程的结论: Landau & Lifshitz , < Quantum Mechanism> §112 (pp. 458-460 )： 1）在均匀磁场下自由电子的能量为(Landau能级)： 磁场下电子的非相对论回旋频率(Larmor 频率) ωB : ( ) 垂直于磁场方向电子的能量为量子化的(n为量子数,σ为电子自旋) 2）沿磁场方向动量在 pz- pz+dpz 间隔 内电子 气体可能的微观状态 数目为 (推导过程中利用了非相对论回旋运动方程的解) 在相对论情形下，上述两个结论都需修改

在强磁场下Landau能级能量的相对论表达式 中子星和白矮星内电子高度简并状态情形：电子气体的Fermi能远远超过电子的静止能量: EF >>mec2 , 通过求解磁场下相对论的Dirac方程，在相对论情形下（包括超强磁场）的Landau能级为: (电子Bohr 磁矩) 强磁场下Landau能级是量子化的。 n: quantum number of the Landau energy level n=0, 1,2,3……(当n = 0 时, 只有σ= -1)

遇到的困难 原书中关于电子气体的微观状态数目的推导过程中利用了 非相对论电子回旋运动(回旋频率为(h/2π)ωB 的解。 在磁星超强磁场情形 Landau能级 的非相对论理论中关于电子气体的微观状态数目的推论(Landau –Lifshitz 教科书上(p.460)的第二个结论)需要修正。 原书中关于电子气体的微观状态数目的推导过程中利用了 非相对论电子回旋运动(回旋频率为(h/2π)ωB 的解。

统计权重（关于微观状态数目）问题 在非相对论的Landau理论中，沿磁场方向动量在 pz → pz+dpz 间 隔内、单位体积内电子气体可能的微观状态数目为: Landau –Lifshitz < Quantum Mechanism> §112 (p.460) 如果把它用于计算中子星内几乎完全简并电子气体的可能的微观状态数目,就会导出同前述物理图像完全矛盾的错误结论。理由如下: 我们按照统计物理的常规方法计算中子星内单位体积内电子气体可能的微观状态数目为

推论和分析 按照Pauli不相容原理, 在完全简并的电子气体内,单位体积内电子可能的微观状态数目就等于电子的数密度 其中Ye 为电子丰度 ((5-8)%),ρ为物质质量密度。→ 这个结论同前述 “磁场愈强、Landau柱面愈狭长。在确定的电子数密度条件下, Fermi能量(沿磁场方向的动能)愈高”合理分析图象完全相反。 原因:当磁场强度 时 利用非相对论电子回旋运动的解获得的Landau推论不再适用,需要重新讨论。

流行教科书中方法 在某些统计物理教科书中(例如: Pathria R.K., 2003, Statistical Mechanics, 2nd edn. lsevier,Singapore), 采用如下方法来计算统计权重: 在沿磁场方向动量在 pz →pz+dpz 间隔内、单位体积内电子气体可能 的微观状态数目为 流行教科书中方法 n+1 n 这个结果同非相对论情形Landau的结论完全一样。我们前面己经指出，它将导致在超强磁场下的推论:

我的观点 如果我们认真地推敲就会发现: 上述方法实质上是把动量空间中位 于能级 n → n+1 之间的 Landau园环面全都归属于能于能级n+1 。 这相应于垂直于磁场方向的动量(或能量)连续变化。在超强磁场 下，这同Landau 能级量子化的观念是不一致、不自洽的。 按照Landau 能级量子化的观念, 在p⊥(n)同p⊥(n+1)之间并没有量子 状态。上述方法的处理这是人为地假设, 违背了Landau 能级量子化 的观念。 我的观念:上述统计物理教科书中计算的统计权重(电子气体的微 观状态数目)的结果是值得商榷的。实际上它并不适用于超强磁场 (即相对论情形)。需要另外寻求方法。实际上，为了真实准确地反 映Landau 能级量子化, 我们应该引进Dirac 的 δ - 函数来描述。

我们的处理方法 按照统计物理方法，在6维相空间中的微观状态数目为 单位体积内在强磁场下总的能级占有状态数目为 (我们引入Dirac的δ -函数): 其中，g0 为能级简并度。

总的能级占有状态数目

超强磁场下单位体积内电子的能级状态总数量 在超强磁场下,电子气体的能级态密度为 磁场愈强、电子气体的能级态密度愈下降。 单位体积内电子的能级状态总数量为 其中I为一个具体数值。

Principle of Pauli’s incompatibility The total number states ( per unite volume) occupied by the electrons in the complete degenerate electron gas should be equal to the number density of the electrons.

我们的处理方法 按照统计物理方法，在6维相空间中的微观状态数目为 单位体积内在强磁场下总的能级占有状态数目为 (我们引入Dirac的δ -函数):    

超强磁场下单位体积内电子的能级状态总数量  

电子的Fermi能同磁场的关系 由                随着磁场的增强，电子的Fermi能按照磁场强度的1/4次方而升高

VI 磁星的活动性 与 高X-射线光度

问题 1) 磁星高X-射线光度? 2) 磁星的活动性 :x-射线耀斑(Flare ); x-射线短爆发 (Burst)? (短时标)

主要的物理图象(idea)  

续 3. 这些动能(>60MeV)很高出射中子(它们具有足够高的能量)通过核力相互作用摧毁3P2 中子Cooper对。正是上述那些出射中子的动能来提供拆散3P2 中子Cooper对所需的结合能(约0.45MeV)。 4. 这些3P2 中子Cooper对在被拆散的同时，它们原有的顺磁磁矩的(有序的)磁能被转化为(无序的)热能，它们转移到磁星的表面，转化为x-ray辐射能。 这就是磁星非常强大的x-ray光度的物理来源。

续 当电子的Fermi能明显超过中子的Fermi能 (EF>60 MeV)时, Fermi面附近的电子就会同质子结合成中子: 出射的中子的能量远远高于3P2 Cooper 对的结合能。 它们同3P2 Cooper 对的中子相互作用, 拆散Cooper对。这导致3P2 Cooper对产生的诱导磁场消失。 每个3P2 Cooper 对被拆散的同时，组成3P2 Cooper 对两个中子自旋 不再平行。它原有的的磁矩消失，它所对应磁矩的磁能 被释放出来，转化为热运动能量。

释放的总热能 每个3P2 中子 Cooper 对崩溃瓦解时, 它的磁矩能量2μn B 被释放出 来，转变为热能。当热能转化为辐射能时, 对应于x-射线辐射。 当所有3P2 Cooper 对都被上述过程拆散时，总共释放的热能总量为 AXPs 的 x – 光度 磁星的活动性持续时间可维持 ~ 104 -106 yr

电子俘获速率 在1秒钟內,一个能量为Ee的电子被一个能量为Ep的质子俘获,出射中 乀微子的能量为Eν (出射中子的能量为En)的事件的几率(即速率)为: 其中，fν为中微子的Fermi分布函数。 电子俘获的能阈值Q和中微子的能级密度ρν分別为 其中En 、Ep 分别为中子与质子的非相对论能量。CV, CA 分别是Wemberg-Salam 弱电统一理论中的矢量耦合与轴矢量耦合系数

电子俘获过程产生的x-光度 由于每一次电子俘获过程的出射自由中子能量明显超过了中子的Fermi能(它远远超过3P2 Cooper对,这个出射的高能中子立即摧毁一个3P2 Cooper对(几率为η, η <<1),同时将这个3P2 Cooper对的磁矩能量释放出来，转化成热能，以x-ray形式发射出来。上述每一次电子俘获过程产生的x-ray光度为 x-ray 总光度为: 其中， 为热能转化为辐射能的效率 ( <<1); <θ>为x-ray从中子星内部转移到表面的辐射透射系数(<θ> <<1)

续 （ μ j 是粒子j 的化学势) 在中子星内部，能量不太高的中微子几乎透明地不受任何阻拦而逸 出，可近似取:

能级状态数 d3nj 为单位体积内粒子 j 的微观状态数。 ρj 为第j 种粒子的能级态密度。 在超强磁场下,电子气体的能级态密度为

关于参量ζ   参量ζ还包括在Fermi面附近的电子数目占总的电子数目的 百分比(<<1)。 在实际计算中，将ζ当作待定参量，由对某个B值计算出的LX 同观测值比较后来估计ζ 的大小。再由此确定的ζ值来计算其它B值对应的LX ,再去同观测对比。

理论计算结果与观测对比 红色圆圈代表SGR(软γ重复暴), 兰色方块代表AXP(反常X-ray脉 在磁场较高时3个理论模型(α=0,0.5,1.0)曲线趋于一致。 (计算中ξ值选取为3×10-17)

Phase Oscillation Afterwards, Revive to the previous state just before formation of the 3P2 neutron superfluid.  Phase Oscillation .

Questions? Detail process: The rate of the process Time scale ?? 2. What is the real maximum magnetic field of the magnetars? How long is the period of oscillation above? 4. How to compare with observational data 5. Estimating the appearance frequency of AXP and SGR ?

磁星Flare与Burst的活动性 1)彭秋和(2010):中子星内3P2中子超流涡旋的磁偶极辐射的加热机制与3P2中子超流体A相-B相震荡触发脉冲星的Glitch 2)内部超流体带动中子星壳层物质突然加快引起物质较差自转、导致磁力线扭曲和磁重联将磁能释放转化为突然能量释放引起磁星Flare与Burst的活动性(正在构思的探讨中)

中子星(脉冲星)的主要疑难问题 1)高速中子星的物理原因?(2003) 2)中子星强磁场(1011-13 gauss)的起源?(2006) 4)年轻脉冲星周期突变(Glitch)现象的物理本质?(2010) 5)缺脉冲(Null-pulse)和Some times pulsars现象 6)低质量X-双星(LMXB)内的中子星磁场很低; 高质量X-双星(HMXB)内的中子星磁场很强。为什么? 7)毫秒脉冲星重要特性: 低磁场, 无Glitch, 空间速度不高, 物理原因? 我们的目标: 统一解释的脉冲星的主要观测现象 8) 脉冲星射电 (X-ray, -ray)辐射机制? 辐射产生区域? 9)是否存在(裸)奇异(夸克)星?