三角形三邊長的關係 三角形的外角大於任一內對角 大邊對大角 大角對大邊 自我評量

在國小時曾學過任意三角形三邊的關係，如圖3-25，如果我們用小寫英文字母 a、b、c 來表示△ABC 三內角∠A、∠B、∠C 的對邊長，因為兩點之間以直線的距離最短，我們可以得到：

三角形任意兩邊長的和一定大於第三邊的長。 a＋b＞c ………  b＋c＞a ………  c＋a＞b ………  也就是說， 三角形任意兩邊長的和一定大於第三邊的長。

由式a＋b＞c 可得a＞c－b，b＞c－a。 由式b＋c＞a 可得b＞a－c，c＞a－b。 由式c＋a＞b 可得c＞b－a，a＞b－c。 整理後可得a＞c－b，a＞b－c，即a＞∣b－c∣。 b＞c－a，b＞a－c，即b＞∣c－a∣。 c＞a－b，c＞b－a，即c＞∣a－b∣。 也就是說， 三角形任意兩邊長的差的絕對值一定小於第三邊的長。

因此我們得到： 三角形任一邊長小於其餘兩邊長的和，大於其餘兩邊長的差的絕對值。即 ∣另兩邊長的差∣＜ 三角形任一邊長 ＜ 另兩邊長的和。 取長度為 a、b、c 的三扣條（依序稱為 a 扣條、 b 扣條、c 扣條，其中 a 扣條的長度最長），將 b、 c 兩扣條分別扣在 a 扣條的兩端點，並轉動 b、 c 兩扣條，操作過程及結果如下表：

長度關係 操作過程 結果 1. 當 b＋c＜a 時 b、c 兩扣條沒 有交點，不能 形成三角形。 2. 當 b＋c＝a 時 b 、c 兩扣條的 交點剛好落在 a 扣條上，不能形 成三角形。

長度關係 操作過程 結果 3. 當 b＋c＞a 時 b 、c 兩扣條有 交點，且交點不 在 a 扣條上，可 以形成三角形。

從前面的操作過程中我們發現： 三條線段中， 如果兩條較短線段長度的和小於或等於最長線段的長度，則這三條線段無法形成一個三角形。 2. 如果兩條較短線段長度的和大於最長線段的長度，就可以形成一個三角形。

1 三角形兩邊之和大於第三邊 下列各組數中，哪幾組可以作為三角形的三邊長？ (1)4、6、7 (2)4、7、3 (3)4、2、7

只須判斷較短的兩線段和是否大於最長線段。 (1)由於4＜6＜7，且4＋6＞7， 所以4、6、7 可以作為三角形的三邊長。 (2)由於3＜4＜7，且3＋4＝7， 所以3、4、7 不可以作為三角形的三邊長。 (3)由於2＜4＜7，且2＋4＜7， 所以2、4、7 不可以作為三角形的三邊長。 解 只須判斷較短的兩線段和是否大於最長線段。

下列各組數中，哪幾組可以作為三角形的三邊長？ (A)5、6、7 (B)10、20、30 (C)4、5、 (D)2a、3a、4a（a＞0） (A) (C) (D)

(A)由於5＜6＜7，且5＋6＞7，所以5、6、7 可以作為三角形的三邊長。 (B)由於10＜20＜30，且10＋20＝30，所以10、20、30 不可以作為三角形的三邊長。

(C)由於 ＜4＜5，且 ＋4＞5，所以 、4、5 可以作為三角形的三邊長。 (D)由於2a＜3a＜4a，且2a＋3a＞4a，所以2a、3a、4a 可以作為三角形的三邊長。

設一個三角形的三邊長分別是4公分、7公分、a公分，若a是整數，則滿足此條件的a共有多少個？ 2 三角形兩邊之和大於第三邊的應用 設一個三角形的三邊長分別是4公分、7公分、a公分，若a是整數，則滿足此條件的a共有多少個？ 解 ∣另兩邊長的差∣ ＜ 三角形 任一邊長＜ 另兩邊長的和 7－4＜ a ＜7＋4 所以3＜ a ＜11 因為a是整數，所以 a 可以是4、5、6、7、8、9、10，滿足條件的 a 共有7個。

兩線段的長度分別為5公分、11公分，下列哪幾個線段長可以和這兩線段圍成一個三角形？ 6.9 公分、15 公分、20 公分、 公分 設另一邊的長為a公分，利用「如果兩條較短線段長度的和大於最長線段的長度，就可以形成一個三角形」的概念，

11＋5＞a a＋5＞11 a＜16 a＞6 得 ，即 ，所以6＜a＜16。 題目中，6.9公分、15公分、 公分皆在6公分與16公分之間，可以和給定的兩線段圍成一個三角形。 而20公分大於16公分，故不可以和給定的兩線段圍成一個三角形。

數學是科學不可動搖的基石，促進人類事業進步的豐富泉源。 —巴羅（Issac Barrow，1630-1677）

3 三角形兩邊之和大於第三邊的推理 如右圖，△ABC 中，D 點在 上，且 ＝ ，試比較 與 的大小關係。

說明 △ABC 中， ＋ ， 即 ＋ ＋ ， 又因為 ＝ ， 所以 。 三角形任意兩邊長的和，大於第三邊的長 ＞ ＞ ＞

如下圖，直線 L 是 的中垂線， 與直線 L 交於 P 點，試由下列步驟比較 與 的大小。 ( 在下面的空格中填入＞、＝或＜)

(1) (直線L是 的中垂線)， (2) ＋ (三角形任意兩邊長的和一定大於第三邊的長) ， (3) ＋ ， (4) 。 ＝ ＞ ＞ ＞

如圖3-26，△ABC 為任意 三角形，∠1 是∠ACB 的外角， 因為外角等於兩個內對角的和， 所以∠1＝∠A＋∠B。因為 ∠A、∠B 的度數都是正數， 所以∠1＞∠A 且∠1＞∠B。也就是說， 三角形的外角大於任一內對角。

如右圖，△ABC 中，Q 點在 上，P 點在 上，試比較∠1、∠2和∠A 的大小關係。 4 外角大於任一內對角 如右圖，△ABC 中，Q 點在 上，P 點在 上，試比較∠1、∠2和∠A 的大小關係。 因為 ∠1 是 △PQC 的外角，所以 ∠1＞∠2， 因為 ∠2 是 △ABQ 的外角，所以 ∠2＞∠A， 因此∠1＞∠2＞∠A。 解

如右圖，△ABC 為等腰三角形， ＝ ， D 在 的延長線上，試比較∠B、∠D 的大小關係，並說明其理由。 因為 ＝ ，所以∠B＝∠ACB， 又∠ACB 為△ADC 的外角， 所以∠D＜∠ACB＝∠B。

我們已學過等腰三角形兩底角相等，但是一個三角形，若有兩邊不相等，那麼這兩邊的對角哪個比較大呢？ 如圖3-27，△ABC 中， ＞ ，那麼∠B 和∠A 這兩個角，哪一個比較大？ 圖3-27 圖3-28

因為 ＞ ，我們可以在 上找一點D，使得 ＝ ，如圖 3-28， 連接 ，則△CDB 為等腰三角形， 所以 ∠1＝∠2。 因為 ∠1 是 △ADB 的外角，所以 ∠1＞∠A。 又從圖形上可知 ∠CBA＞∠2， 所以 ∠CBA＞∠2＝∠1＞∠A。

從上面的說明，我們得到： △ABC 中，如果 ＞ ，則∠B＞∠A。也就是說， 在一個三角形中，若有兩邊不相等，則較長的邊所對的角比較大。

如右圖，△ABC 中， 、 、 的長度 分別是11、13、15 公分，試比較∠A、∠B和∠C 的大小關係。 5 大邊對大角 如右圖，△ABC 中， 、 、 的長度 分別是11、13、15 公分，試比較∠A、∠B和∠C 的大小關係。 △ABC 中，因為 ＞ ＞ ， 所以∠B＞∠A＞∠C。 解 大邊對大角

1.△ABC中， ＝6， ＝7， ＝8， 則∠A、∠B、∠C 哪一個角最小？ 2.△PQR中， ＝11， ＝8， ＝8， 則 ∠P、∠Q、∠R 哪一個角最大？ ∠C ∠R

6 大邊對大角的推理 如右圖，△ABC 為正三角形，D 在 上，試比較∠1 和∠2 的大小關係。

解 ＝ ， 且 ＜ ，所以 ＜ 。 在△DBC 中， 因為 ＞ ， 所以∠1 ＞∠2。 △ABC 為正三角形 大邊對大角

如右圖，ABCD 為正方形，E點 在 上。 (1) 試比較 和 的大小 關係。 (2)試比較 ∠1 和 ∠2 的大小 關係，並說明其理由。

(1)因為 ABCD 為正方形，所以 ＜ ＝ (2)在△ABE 中，因為 ＜ ， 所以利用大邊對大角的性質，得∠1＞∠2。

我們已學過，在一個三角形中，若有兩邊不相等，則比較大的邊所對的角比較大。但是反過來說，在一個三角形中，若有兩個角不相等，那麼這兩個角所對的邊哪一個比較大？ 如圖3-29，△ABC 中，若∠A＞∠B， 那麼 和 這兩個邊，哪一個邊比較長？

圖3-29 圖3-30 如圖3-30，以 為一邊作∠BAD 等於∠B，∠BAD 的另一邊交 於D 點。因為∠BAD＝∠B，所以△DAB 為等腰三角形，因而 ＝ 。

在△ACD 中，利用三角形任意兩邊長的和大於第三邊的關係得 ＋ ＞ ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＞ 。 從上面的說明，我們得到：△ABC 中，如果∠A＞∠B，則 ＞ 。 也就是說， 在一個三角形中，若有兩角不相等，則較大的角所對的邊較長。

直角三角形中，哪一個角所對的邊最長？為什麼？ 直角。 因為直角三角形的三個內角中，直角最大。

△ABC 中，∠A＝60°，∠B＝62°，試比較 、 、 三邊長的大小關係。 7 大角對大邊 △ABC 中，∠A＝60°，∠B＝62°，試比較 、 、 三邊長的大小關係。 解 因為三角形的內角和等於180°，所以 ∠C＝180°－60°－62°＝58° 三個內角由大到小為∠B＞∠A＞∠C。 利用大角對大邊的性質，它們對邊的長度由大到小為 ＞ ＞ 。

如右圖，四邊形 ABCD 中，∠1＝60°，∠2＝55°，∠3＝60°，∠4＝65°。 (1) 比較 、 和 的大小關係 ，並說明其理由。 (2) 比較 、 和 的大小關係 (3) 綜合(1)、(2)，寫出 、 、 、 和 的大小關係。

(1) 因為∠A＝180°－60°－55°＝65°，所以 ＞ ＞ 。 (2) 因為∠C＝180°－60°－65°＝55°，所以 (3) ＞ ＞ ＞ ＞ 。

如圖 3-31，時鐘在 12 點時，時針與分針會重合在一起，此時兩針的夾角為 0 度。從 12 點到 12 點 20 分的過程中，兩針的夾角會慢慢增加。而時針頂端與分針頂端的距離也會慢慢增加。藉由這個觀察結果，我們來比較兩個三角形中，第三個邊與夾角的關係。 圖 3-31

時，如果 ∠A＝∠D，則△ABC △DEF，可推得 ＝ 。 可是如果∠A≠∠D，如圖 3-32 與圖 3-33 ，這個定理稱為樞紐定理。 = ∠A≠∠D 圖3-32 圖3-33

反過來說，△ABC 與 △DEF 中，當 ＝ 、 ＝ 時，如果 ＜ ，則 ∠A＜∠D。 從前面的說明，我們發現，當兩個三角形的兩個邊對應相等時： (1) 若兩邊的夾角不相等，則夾角越大者，第三 邊越大。 (2) 若第三邊不相等，則第三邊越大者，所對夾 角越大。

1.三角形的三邊關係：三角形中，任意兩邊長之和一定大於第三邊的長，任意兩邊長之差一定小於第三邊的長。 2.三角形外角不等關係：三角形中，外角大於任何一個內對角。

3.大邊對大角：三角形中，若有兩邊長不相等，則較長邊所對的角較大。 4.大角對大邊：三角形中，若有兩角不相等，則較大角所對的邊較長。

3-3 自我評量 1.下列各組數中，哪幾組可以作為三角形的三邊長？ (A) 0.7、0.8、0.9 (B) 400、500、600 (C) 6、8、 (D) a＋2、a＋3、2a＋3（a＞0）

(A)由於0.7＜0.8＜0.9，且0.7＋0.8＞0.9，所以0.7、0.8、0.9 可以作為三角形的三邊長。 (B)由於400＜500＜600，且400＋500＞600，所以400、500、600 可以作為三角形的三邊長。

(C)由於6＜8＜ ，且6＋8＞ ，所以6、8、 可以作為三角形的三邊長。 (D)由於a＋2＜a＋3＜2a＋3，且(a＋2)＋(a＋3)＞2a＋3，所以a＋2、a＋3、2a＋3 可以作為三角形的三邊長。

2.四根吸管長度分別是2、3、4、5，任選三根吸管試著拼成三角形，請問： (1)哪些組合可以拼成三角形？ (2)哪些組合不能拼成三角形？ 四根吸管任選三根的情形有(2﹐3﹐4)、(2﹐3﹐5)、(2﹐4﹐5)、(3﹐4﹐5)四種。

(2)(2﹐3﹐5)不能拼成三角形。 因為2＜3＜5，且2＋3＝5，所以(2﹐3﹐5)不可 以作為三角形的三邊長。 (1)(2﹐3﹐4)、(2﹐4﹐5)、(3﹐4﹐5)可以拼成三角形。 因為2＜3＜4，且2＋3＞4，所以(2﹐3﹐4)可以作為 三角形的三邊長。 因為2＜4＜5，且2＋4＞5，所以(2﹐4﹐5)可以作為 因為3＜4＜5，且3＋4＞5，所以(3﹐4﹐5)可以作為 (2)(2﹐3﹐5)不能拼成三角形。 因為2＜3＜5，且2＋3＝5，所以(2﹐3﹐5)不可 以作為三角形的三邊長。

2.設一個三角形的三邊長皆為整數，且周長為13公分。 (1)如果最長邊是 6 公分，則滿足此條件的三 角形有哪些？（答案不只一個） (2)如果最長邊是 5 公分，則滿足此條件的三

(1) 最長邊為 6： (2) 最長邊為 5： 三邊長 理由 （1﹐6﹐6） 因為1＜6＝6，且1＋ 6＞6 （2﹐5﹐6） 因為2＜5＜6，且2＋5＞6 （3﹐4﹐6） 因為3＜4＜6，且3＋4＞6 (2) 最長邊為 5： 三邊長 理由 （3﹐5﹐5） 因為3＜5＝5，且3＋5＞5 （4﹐4﹐5） 因為4＝4＜5，且4＋4＞5

4.如右圖，每一小格皆為邊長1的正方形，A、B、C三點皆在格子點上。 (1)計算 、 、 的長度， 並比較其大小。 (2)試比較∠A、∠B、∠C 的大小關係。

(1) ＝ ＝ ＝5 ＝ ＝ ＞ ＞ ∠ B ＞∠C ＞∠A (2)

5.如右圖，四邊形ABCD 中， ＝2， ＝2， ＝3.5， ＝3。 (1)試比較 ∠1 和 ∠2 的大小關係 ，並說明其理由。 (2)試比較 ∠3 和 ∠4 的大小關係 (3)綜合(1)、(2)，寫出 ∠ABC 和 ∠ADC 的大小關係，並說明其理由。

因為 ＞ ，所以∠1＞∠2。 因為 ＞ ，所以∠3＞∠4。 (3) 由(1)、(2)知， ∠ABC＝∠1＋∠3＞∠2＋∠4＝∠ADC。

6.如右圖，ABCD 為正方形， 是對角線，E 在 上，且 ＝ 。依序回答下列問題： (1) 試比較 ∠1 和 ∠2 的大小關係 ，並說明其理由。 (2) 試比較 ∠2 和 ∠3 的大小關係 (3) 綜合(1)、(2)，寫出∠1、∠2 和 ∠3 的大小關係。

因為 ＝ ，所以∠1＝∠2。 因為∠2 是△BCE 的外角，所以∠2＞∠3。 (3) 由(1)、(2)知，∠1＝∠2＞∠3。

正多邊形的鑲嵌圖案 裝飾圖案如牆頂、天花板、教堂鑲嵌玻璃、壁飾等，常常是用一些相同的圖案來填滿一個相當大的平面，一個圖案緊接著一個，不留任何空隙，這種藝術稱為鑲嵌圖案。

人們常用邊長相等的正多邊形地磚來舖地板或平面，這樣的圖案稱為正多邊形的鑲嵌圖案。最簡單的鑲嵌方法就是都用正方形，因為用四個邊長相同的正方形相連接，就可以完成簡單的鑲嵌圖案。至於用其他正多邊形，鑲嵌方法會有多少種呢？我們來討論幾種漂亮又簡單的圖案。

(1)三種正多邊形：假設這三種正多邊形分別是正 m邊形、正 n邊形、正p邊形，其每一個內角分別為180°－ 、180°－ 、 180°－ 。 因為（180°－ ）＋（180°－ ）＋（180°－ ）＝360°，

得1－ ＋1－ ＋1－ ＝2， ＋ ＋ ＝1，所以 ＋ ＋ ＝ 。 正多邊形 （m, n, p），如（6, 6, 6）、（5, 5, 10）、（4, 5, 20）、（4, 6, 12）、（4, 8, 8）等，都是滿足這樣條件的正多邊形（共有10組）。其中部分圖案如下：

（6, 6, 6） （4, 6, 12）

(2)四種正多邊形：假設這四種正多邊形分別是正m 邊形、正n 邊形、正p邊形、正r 邊形，其每一個內角分別為180°－ 、 180°－ 、180°－ 、180°－ 。 因為（180°－ ）＋（180°－ ）＋（180°－ ）＋（180°－ ）＝360°， 得1－ ＋1－ ＋1－ ＋1－ ＝2， ＋ ＋ ＋ ＝2，所以 ＋ ＋ ＋ ＝1。

正多邊形（m, n, p, r），如（4, 4, 4, 4）、（3, 3, 4, 12）、（3, 3, 6, 6）、（3, 4, 4, 6）等，都是滿足這樣條件的正多邊形（共有4 組）。 其中部分圖案如下：

（3, 3, 4, 12） 當然我們也可以用上面的方法來討論五種正多邊形與六種正多邊形的鑲嵌，同學們也可以仿照上面的畫法畫出其他的鑲嵌圖案。