Chapter 5 Control Charts for Variables 指導老師：童超塵 學生：林基賢 楊程光 賴彥儒 蔡森源 楊哲維 高等品質管理 Chapter 5 Control Charts for Variables 指導老師：童超塵 學生：林基賢 楊程光 賴彥儒 蔡森源 楊哲維

報告大綱 5.1 緒論 5.2 與 R 管制圖建構和操作 5.3 與 S 管制圖建構和操作 5.4 單一觀察值的休華特管制圖 5.1 緒論 5.2 與 R 管制圖建構和操作 5.3 與 S 管制圖建構和操作 5.4 單一觀察值的休華特管制圖 5.5 管制圖的總結 5.6 計量管制圖的應用

5.1緒論 一個品質特性若能用一個數量化的尺度衡量，稱之為計量值 ( variable )，例如：長、寬、溫度等。

5-2.2管制圖的統計基礎 樣本平均數： 假設 為常態分配，平均數為 ，標準差為 則樣本有 (1 - α )的機率落在 之間。

5-2.2管制圖的統計基礎 假設有 m 組樣本，每組有 n 個觀察值，令 為每組 樣本的平均，則製程平均 的最佳估計為： 樣本的平均，則製程平均 的最佳估計為： 全距 ，令 為 m 組樣本的全距 ，則平均全距為 常態分配中，全距與標準差之間有相當的關聯性，所以用 來估計

管制圖 管制圖的管制界限

R 管制圖 R 管制圖的管制界限

5-2.2 和R管制圖的發展與應用 一部自動發動機的活塞環是從煉鐵的過程中被製造，我們希望建立 和R管制圖來監控此製程。有25樣本，每個樣本有5個觀察值，如下表：

建立 和R管制圖時，最好先從R管制圖開始，因為　　 管制圖的管制界限受製程變異的影響，除非製程變異是在管制下，這些界限才有意義，其R管制圖的中心線為 在樣本n=5，得D3=0，D4=2.114，其管制圖的管制界限為

R管制圖

由於R管制圖製程變異在管制下，因此我們可以建構 管制圖，其中心線為 在樣本n=5，得A2=0.577，其管制圖的管制界限為

管制圖 由於　和R管制圖都在管制下，因此可以說製程是在管制下且試驗管制界限可用來做線上的統計製程監控。

製程能力的估計 由 管制圖可以估計活塞環的直徑平均數為1.5056毫米，製程的標準差為 由 管制圖可以估計活塞環的直徑平均數為1.5056毫米，製程的標準差為 活塞環的規格界限是1.50± 0.50毫米，設活塞環的直徑是一常態分配的隨機變數，因此可以估計製程產品的不良率為

(Cont.) 另一個表示製程能力的方法是製程能力比Cp，它以品質特性上下規格界限表示，其公式為 Cp另一解釋，令P為製程使用規格寬度的百分比， 表示製程約使用了84%的規格寬度。

Cp和製程規格之關係

當全距管制圖製造出現異常，經常的做法是刪除那些異常的點，再重新計算 值。該值是用來做為 和R管制圖新的管制界限。 管制界限和中心線的修正 當全距管制圖製造出現異常，經常的做法是刪除那些異常的點，再重新計算 值。該值是用來做為　 和R管制圖新的管制界限。 管制界限、規格界限和自然允差界限 在此需特別強調的是　和R管制圖的管制界限和製程的規格界限之間並無任何數字或統計上的關係。 管制界限受制於製程的自然變異(以製程標準差來計算)，以及受製程的自然允差界限的驅策，通常取製程平均數的上下3σ所做的界限稱之為自然允差上下界限。 規格界限的決定是外來的。

管制圖設計的導引 要設計 和R管制圖，必須先確定樣本大小、管制界限的寬度及抽樣次數。 管制圖的主要目的是偵測出製程大幅度的變動，則n=4，5，6的小樣本便可達成。如果想要監控製程微小的變動，樣本的大小就必須達到15到25。 R管制圖在小樣本情況下，對製程標準差發生變動較不敏感。而在大樣本時其效率較差，因此當n大於10或12時，最好採用S管制圖或S2管制圖取代R管制圖。

(Cont.) 和R管制圖的OC曲線可協助決定樣本的大小，它提供在不同樣本大小下，經由機率的改變，察覺製程改變的程度。 樣本大小的選擇和抽樣次數的決定是一個次數分配的問題。抽樣有兩種方法：少樣多取及多樣少取。但工廠實用上，偏向採取小樣本多次選取。

變動樣本大小下的　和R管制圖 在一種情況下，由於製程出現良好的穩定性及較少可供抽取的樣本導致樣本大小持續變動。在這種情況下，可以直接依據舊的樣本資料，來計算新的管制界限。其程序如下： 　　　 = 舊樣本大小所算的平均全距 = 新樣本大小所算的平均全距 nold = 舊樣本大小 nnew = 新樣本大小 d2(old) = 舊樣本大小下的因子 d2(new) = 新樣本大小下的因子

(Cont.) 新的管制界限

(Cont.) 續活塞環例子，由原樣本大小為5 ，改變成樣本大小為3，其計算如下： nold = 5 =0.325321 d2(old) = 2.326 d2(new) = 1.693

　 和R管制圖

5-2.3以標準值為基礎的管制圖 當製程平均數和標準差是已知或是可定義的時候，我們可不必再分析過去的資料，而可直接去建立 及R管制圖： A值決定於n，可從附錄中查得 d2是相對全距分配的平均數 d3是相對全距分配的標準差 D1=d2 -3d3 D2=d2+3d3

5-2.4 和R管制圖的說明 管制圖能指出製程超出管制的情況，甚至所繪出的點皆沒超出管制界限，但只要不是隨機，而是種有機可循的圖形時，皆表示製程可能有問題。而繪點所呈現的型態都能提供一些製程診斷的資訊，並幫助我們做減少變異性的製程修正。 循環(cyclic) 混合(mixture) 製程水準的改變(shift in process level) 趨勢(trend) 層化(stratification)

5-2.5非常態性對 和R管制圖的影響 R管制圖對偏離常態的反應較 管制圖更為敏感。 例： 6 7 5 6 7 8 7 4 6 平均：5.6 全距：4 6 7 5 6 7 8 20 4 6 平均：6.9 全距：16 學者也指出，除非是極端的不常態，否則，常態的假設階可適用。

5-2.6操作特性函數 和R管制圖檢查製程變動的能力可由操作特性曲線來描述。 在σ已知且為常數下，考慮 管制圖的OC曲線，當平均由目 標值 改變到 時，沒有檢查出這個變動的機率(β風險)為下式所算出： OC曲線圖

一般而言，在典型的樣本大小n=4,5,6時， 管制圖並不能有效的察覺微小的變動(小於1 一般而言，在典型的樣本大小n=4,5,6時， 管制圖並不能有效的察覺微小的變動(小於1.5σ以下)，如，在變動1σ, n=5，從圖中可看出β=0.75，則在第一個樣本檢查出變動的機率只有0.25，然而，在第二個樣本檢查出變動的機率為β(1- β)=0.75(0.25)=0.19，第三組樣本檢查出變動的機率為 ,因此，在第r個樣本檢查出變動的機率為：

一般而言，在變動被查出前，我們預期分析的樣本數為平均連串長度(average run length, ARL) R管制圖的操作特性曲線，必須先知道相對全距W=R/σ的分配。假設在管制下的標準差是σ0，當σ0變動到σ1>σ0時，將變動之後的第一個樣本的機率繪成曲線，就是在不同的樣本數下， λ= σ1/σ0(新舊標準差的比)的操作特性曲線。 當在小樣本時，R管制圖並不能很有效的檢查出製程的改變。因為R管制圖對於小或中度的變動不是很敏感。實驗得知，大約是20到25組的初步樣本較適合用來建立這兩種管制圖。

5-2.7 管制圖的平均連串長度 當製程在管制狀態下時： 當製程失控時：

由於休華特管制圖中的ARL是幾何分配，而此分配是偏斜的，所以ARL不一定是理論的連串長度的最佳估計。

平均警訊時間(average time to signal, ATS) ATS是直到管制圖出現第一個警訊所經的時間，若樣本在經過h時間就抽樣一次，則ATS為，ATS=ARLh 而在表達ARL而言，有時會以期望的個別單位樣本數(I)，而不採用來檢測製程變動的樣本組數，若樣本大小為n，則I和ARL的關係為，I=nARL，由下圖來說明

BACK

R管制圖的操作特性曲線 BACK

設要檢測製程1.5σ的變動，一個n=16的管制圖大致須抽取16個單位，而若n=3，則平均只要抽取9個單位即可。 BACK

Cyclic 可能是由於系統化的環境改變，如：溫度、操作者疲勞、操作者或機器的正規輪調或電壓變動…等因素的改變 BACK

Mixture BACK 所繪的點落在管制界限降近，而在中心線的點很少。 通常是由於二個或更多重疊的製程產出分配而成，也有可能是操作者太常做製程調整所造成的。 BACK

Shift in process level 新員工的引進、方法、原料、機器、檢查方法或標準的改變。 BACK

Trend 朝一方向連續的變動 原因：工具的磨損、製程中某些成分劣化等原因造成。 BACK

Stratification BACK 點皆集中在中心線附近。 缺少自然變異，而引起層化的原因可能是管制界限不正確的計算，或是在抽樣時，是從好幾個不同分配的母體抽出。 BACK

5-3.1 和 S 管制圖的建構和操作 2 的不偏估計是S2 樣本標準差S 不是 的不偏估計 常態分配下S可估計 c4 而c4 是常數

5-3.1 和 S 管制圖的建構和操作 當 的標準值已給則 S 管制圖參數就表示為 B5, B6, c4 可藉由樣本數查表而得

5-3.1 和 S 管制圖的建構和操作 如果  沒有給定標準值我們需分析過去資料得到 S的管制圖參數

5-3.1 和 S 管制圖的建構和操作 當我們用 估計 時可以定義 管制圖的 管制界限 A3可藉由查表得到

5-3.1 和 S 管制圖的建構和操作 利用 為 的不偏估計值的事實來計算製成的標準差

5-3.2變動樣本下的 和S管制圖 在樣本變動下利用加權平均法求算 和S 管制圖中的 和 值 m = 樣本數 ni = 第 I 個樣本大小

5-3.2 變動樣本下的 和S管制圖 利用加權平均法求 之公式:

5-3.3 S2 管制圖 S2 管制圖的管制界限 和 表自由度為(n-1)的 卡方分配之 的上下臨界點

5-4單一觀察值的休華特管制圖 使用情形：製程樣本數n=1(樣本由單一觀察值組成) 在下列情形時單一觀察值管制圖便可使用(製程平均改變很小時，第8章之累積和及指數加權平均管制圖會有較佳效用) CASE： 利用自動檢查與測量技術，使得每個製品都被分析。 生產率相當低而無法達到n＞1之要求。 類似化學製程中除非已知因實驗或分析錯誤才進行重複量測。 在同一產品上作重複量測。 類似造紙工廠的程序。 利用2個觀察值的移動全距來估計製程變異，公式為 MRi = |xi - xi-1|

5-4單一觀察值的休華特管制圖(續) 例題5-5： 表5-6 例題5-5： 飛機底漆是一個重要的品質特性，令產品是由好幾條生產線共同製造，每一條都耗費許多時間，生產率相當低，故樣本大小只能取一，資料為右表：

5-4單一觀察值的休華特管制圖(續) 例題5-5： 建立移動全距圖，在n=2時，D3=0，D4=3.267， LCL=0 UCL=D4 =(3.267)0.5726 =1.871

5-4單一觀察值的休華特管制圖(續) 將表5-6代入得 (n=2,d2 =1.128) UCL=35.61 中心線為34.088 單一觀察值管制圖界限為 將表5-6代入得 (n=2,d2 =1.128) UCL=35.61 中心線為34.088 LCL=32.57

5-4單一觀察值的休華特管制圖(續) 圖5-19

5-4單一觀察值的休華特管制圖(續) 圖5-20 校正後

5-4管制圖的解釋 單一觀察值管制圖的解釋和一般的 管制圖一樣，製程平均改變時必然會有失控情形(ㄧ點或多點落在管制界限之外)發生，或是在中心線的某邊或有某種趨勢的發生。 表5-7為例題5-5資料的延伸，現今多了批號21到35，利用上述資料及步驟重新繪製管制圖，如圖5-21

5-4管制圖的解釋(續) 圖5-21

5-4管制圖的解釋(續) 有些人不建議繪制和建構移動全距管制圖，因為不能對製程變異的偏移提供有用資訊。 實際上，製程平均偏移可由移動全距管制圖上得知，只要分析者小心解釋單一觀察值管制圖，所產生的問題都不大。

5-4平均連串長度(ARL) Crowder(1987)曾研究聯合單一觀察值管制圖和移動全距管制圖的ARL，證明了聯合所得的ARL，在製程平均穩定情況下，要比標準的休華特管製圖的為少(3σ下，ARL為370)，一般而言，對單一觀察值管制圖取3σ管制界限，所得的ARL和在製程穩定下使用休華特管制圖所得的相近似。 移動全距管制圖的上界限可由下式得知： (D為介於4和5之間的常數)

5-4平均連串長度(ARL)(續) 偏移量 β ARL1 1σ 0.9772 43.96 2σ 0.8413 6.30 3σ 0.5000 2.00 我們可以透過查閱圖5-15操作特性曲線圖和5-17ARL曲線來得到單一觀察值管制圖發覺製程偏移的能力，但其發覺能力不好。 窄化管制界限是可以明顯降低穩定製程下的ARL，但卻會引起錯誤的警訊。

5-4常態性 Borror、Montgomery和Runger(1997)研究當製程非常態時，單一觀察值休華特管制圖行為。 如使用3σ單一觀察值管制圖，在常態分配假設下，ARL=370，但伽瑪分配的ARL卻在45~97之間(由偏斜程度決定)；對t分配來說，ARL卻從76到283隨著自由度由4增加到50(自由度愈大愈接近常態分配) 不同分配下管制圖設計方法不同！

5-4常態性(續) 使用單一觀察值管制圖時，檢查常態假設是很重要的，簡單的方法就是利用常態機率圖(圖5-22)。 常態機率圖是一個粗略的檢查是否為常態假設方法，但單一觀察值管制圖卻對常態假設非常敏感，使用時要特別小心！

5-4常態性(續) 表5-8顯示25個連續矽晶片經沉澱後阻抗的量測，想對此作單一觀察值管制圖。 (用最小平方法建構及用Minitab繪製常態機率圖)

常態性(續) 圖5-23 圖5-24 原始資料所繪之常態機率圖 轉換後的常態機率圖

5-4常態性(續) 圖5-25

5-4更多關於σ的估計 實務上，常使用單一觀察值管制圖的移動全距來估計σ MRi = |xi - xi-1| ,i=2,3,…….,m(跨距為2的移動全距) 一般常用之σ估計值為

5-4更多關於σ的估計(續) σ的估計值可寫成 (0.8865為d2在n=2之值) 在一個管制下的製程內，Cryer和Ryan(1990)指出以樣本標準差所建構的估計值來估計是較〝有效〞的，即

5-4更多關於σ的估計(續) 若在這m組觀察值中沒有非機遇原因出現，這2個估計值為不偏估計值；反之，若有任何非機遇原因出現，都不是不偏估計值。 有m個觀察值X1 , X2 ,…Xt , Xt+1 , …. Xm，前t個觀察值都在管制下(μ0，σ0)，從第t+1個出現非機遇原因使得製程平均偏移到μ+δσ。

5-4更多關於σ的估計(續) Woodall和Montgomery(2001)證明了 Cruthis和Rigdon(1992-93)證明，當2個估計值都被算出，他們的比值可以判定製程是否在管制下

5-5管制圖總結 表5-9 μ和σ已知 σ未知

5-6計量管制圖的應用 2.使用SPC購買一設備工具 3.SPC在一個短製程工作站的應用 4.在非製造業環境下使用 和 R 的管制圖 1.使用管制圖改善供應商的製程 2.使用SPC購買一設備工具 3.SPC在一個短製程工作站的應用 4.在非製造業環境下使用 和 R 的管制圖 5.注意選擇合理群組的需要性

5-6計量管制圖的應用 注意選擇合理群組的需要性

5-6計量管制圖的應用 注意選擇合理群組的需要性

報告完畢 謝謝指教