第六章--常用的機率分配 間斷機率分配 6.1 二項分配 6.2 超幾何分配 6.3 幾何分配(可跳過) 6.4 Poisson分配 6.1 二項分配 6.2 超幾何分配 6.3 幾何分配(可跳過) 6.4 Poisson分配 6.5 負二項分配(可跳過) 連續機率分配 6.6 均勻分配 6.7 常態分配 6.8 指數分配(可跳過) 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

各種分配的觀念與使用情形 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

6.1 二項分配 二項實驗的特性 (1)重複進行n次完全相同的試驗(trials)。 6.1 二項分配 二項實驗的特性 (1)重複進行n次完全相同的試驗(trials)。 (2)每一次試驗皆僅有兩種可能結果(outcome)；其一稱為「成功」(S)，另一則為「失敗」(F)。 (3)每一次試驗中，出現成功的結果之機率固定為 p，出現失敗之結果的機率固定為(1-p)。 (4)每一次試驗之間皆互為獨立。

6-1 二項分配—柏努利試驗 柏努利試驗(Bernoulli Trial)只滿足上面(2)(3)(4)三個特性： 6-1 二項分配—柏努利試驗 柏努利試驗(Bernoulli Trial)只滿足上面(2)(3)(4)三個特性： 隨機試驗只進行一次。 James Bernoulli, 1654-1704, 瑞士數學家 二項實驗可分割成n次試驗，假設每次柏努利試驗成功的機率為p，且定義第i次柏努利試驗試驗成功的次數為隨機變數Xi ，則 則隨機變數X i的機率分配為： 隨機變數Xi的機率分配稱為柏努利分配，記做Xi ~b(1,p) 。

例題 6.1：假定某一新藥品以10位病患來試驗其療效，並假設觀察之結果只有痊癒(S)或無效(F)兩種。又，由於每一病患先天的體質及各人健康的情形有差異，因此，嚴格說來，此種試驗不能視同「對10位病患在完全相同的情形下，重複做10次試驗」（如同第一個特性所要求者）。但是，若將本例視同二項實驗，則可得一非常近似的結果，而如此作法的優點是，我們可以很成功地解釋各種可能結果出現的變異情形，以及其機率行為。 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.2：假設一母體所含樣本可截然分為兩類：「成功類」S與「失敗類」F。今自該母體抽樣，則有兩種抽樣方式：放回抽樣(with replacement sampling)與不放回抽樣(without replacement sampling)。以下分別說明這兩種抽樣方式的情況： (a) 放回抽樣：假設一母體含有15個球，其中5個為紅球，10個為白球。今自其中抽出3個球，一次抽一個然後放回去再抽下一個球。令紅球為成功的結果(S)，白球為失敗的結果(F)，則P(S)=5/15與P(F)=10/15，而且每次抽出的球其屬成功的機率與失敗的機率皆固定。上述這種抽樣方式滿足二項實驗，可用二項分配。 (b) 不放回抽樣：在(a)的情形中，若每次抽出一個球不放回去，緊接著抽出下一個球。如此，每次抽樣的事件並非獨立。因為第一次抽出紅球的機率為5/15，而母體剩下14個球，其中包含4個紅球與10個白球，因此第二次再抽出紅球的機率為4/14，與第一次不同。由此可知，此種抽樣方式並非獨立。這種抽樣方式是不滿足二項實驗，不可用二項分配。 註：在(b)種破壞獨立條件之抽樣方式，在母體個數很大而抽出樣本之個數很小時，可近似獨立抽樣的方式。例如，若母體有1,500個樣本，其中500個屬於S類，若自此母體隨機抽出3個樣本，假設S1代表第一個抽出者屬S類，S2表第二個抽出者屬S類，則 就實際應用而言，後者[P(S2|S1)]可視為趨近5/15。因此，在這種情況，不放回的抽樣方式，亦可視為獨立的情況，此時便可視之為滿足二項實驗。 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

二項分配的公式 1/2 例題 6.3：設有一箱子裝有3個紅球與7個白球，今從此箱中以放回抽樣抽出3個球，令X代表所抽出的紅球個數，試求X的機率分配。 解： 在一個由3次試驗所組成的一系列實驗中，恰有x次成功和(3-x)次失敗，其發生的機率為： 在恰有x次成功和(3-x)次失敗的3次試驗中，不同的成功和失敗發生之序列共有 種 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

二項分配的公式 2/2 隨機變數X代表在n次伯利試驗中，成功結果發生的次數，則X 是服從一個二項分配(binomial distribution ) ，變數X稱為二項隨機變數(binomial random variable) 。 二項分配有兩個重要參數 n (試驗次數) and p (成功機率)，所以，二項分配記作 X~B(n,p)。 二項機率分配為： 二項分配的重要統計量數如下： 期望值： 變異數： ，標準差： 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.4：投擲一公正的骰子5次，求恰好出現3次2點的機率。 解：令隨機變數X代表投擲公正骰子5次中，出現2點的次數。所以，X~B(5, 1/6)，則恰好出現3次2點的機率為 例題 6.5：試計算例題6.4中二項隨機變數X的期望值與變異數。 解：由於X~B(5, 1/6)，所以， X的期望值與變異數分別為： 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

二項分配查表法 例題 6.6：假定一新藥品能治癒某疾病的機率為0.4，如果以15位病患進行試驗，試求下列機率：(a)最多6個人治癒；(b)治癒的人數介於6與10間（包含6與10）；(c)治癒人數至少12個人（含12）；(d)恰有5人治癒。 解：令隨機變數X代表15位病患中，被新藥品能治癒的人數。所以，X~B(15, 0.4)。此題可用(1)二項分配的查表與(2)EXCEL的統計函數來求得機率。 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

二項分配的圖形 圖 6.1 不同的 n 與 p 組合之二項分配的圖形 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

解：令隨機變數X代表10題是非題的考試當中，答對的題數。由於考生全憑猜測作答，答對的機率為0.5 。 例(補充)：張生考前沒有時間準備而全憑猜測作答。在一個只有10題是非題的考試當中，今考生答對的題數為隨機變數X， 試問： (a) 此X的機率分配為何？ (b) 答對五題的機率為何？ (91年國立台灣大學會研所) 解：令隨機變數X代表10題是非題的考試當中，答對的題數。由於考生全憑猜測作答，答對的機率為0.5 。 隨機變數X的機率分配為二項分配， X ~B(10,0.5) 。 答對五題的機率為： 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

例(補充)：設10 個小孩的家庭中，男生之機率為0. 6，試問： (a) 此家庭中恰有2 位男生之機率？(7 分) 例(補充)：設10 個小孩的家庭中，男生之機率為0.6，試問： (a) 此家庭中恰有2 位男生之機率？(7 分) (b) 此家庭中至少有2 位男生之機率？(7 分) (c) 此家庭之平均男孩數為何？（6 分） (93年特種考試地方政府公務人員考試試題) 解：令隨機變數X代表10 個小孩的家庭中，男生的人數。則隨機變數X~B(10,0.6) 。 (a) (b) (c) E(X)=np=10×0.6=6 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

6-2 超幾何分配 超幾何分配常用於不放回抽樣(without replacement) 超幾何實驗的特性 (1) 從一含有N物的有限母體中，採不放回抽樣抽出大小為n的隨機樣本。 (2) N物中有S個屬成功類，另N-S個屬失敗類。 由母體中以不放回抽樣抽出n個元素，令隨機變數X代表抽出的n個元素中，屬於成功類的個數，則X服從一個超幾何分配，且X稱為超幾何隨機變數，記作X~H(N,S,n)。 超幾何分配(Hypergeometric Dist.)具有下列的機率密度函數： 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

6-2 超幾何分配2/2 超幾何分配的重要統計量數如下： (6-4) (6-5) 例題 6.7：在例題6.3中，採不放回抽樣方式抽出3個球，令X代表紅球的個數，試求出X的機率分配。 解：令隨機變數X代表由10球以不放回抽樣方式抽出3個球中，紅球的個數。所以，X~H(10,3,3)，則X的機率分配為 x 1 2 3 合計 f(x) 7/24 21/40 7/40 1/120 1.00 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.8：從6男3女中隨機抽取4人組成委員會，求此委員會中男性人數的機率分配。 解：令隨機變數X代表由9人抽出4人中，男性的人數。所以，X~H(9,6,4)，則X的機率分配為 x 1 2 3 4 合計 f(x) 0.048 0.357 0.476 0.119 1.00 例題 6.9：試計算例題6.7中X之機率分配的期望值與變異數，並驗證(6-4)與(6-5)式。 解：令隨機變數X代表由10球以不放回抽樣方式抽出3個球中，紅球的個數。所以，X~H(10,3,3)，則X的機率分配為 x 1 2 3 合計 f(x) 7/24 21/40 7/40 1/120 1.00 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

解：(a) 令隨機變數X代表由24個燈泡抽出4個中，不良品之個數。所以，X~H(24,2,4)，則X的機率分配為： 例(補充)：由裝有2 打燈泡（內含有2 個不良品）箱內，任抽出4 個，並將其含有不良品之個數作為機率變數X，求： ( a) X 之機率分配； (b) E(X)、Var(X)。 (95 年公務人員特種考試警察人員考試試題） 解：(a) 令隨機變數X代表由24個燈泡抽出4個中，不良品之個數。所以，X~H(24,2,4)，則X的機率分配為： (b) 隨機變數X的E(X)、Var(X)分別為： 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

超幾何分配與二項分配的關係 一般而言，當n/N ≦0.05時，二項分配會是超幾何分配的良好近似值。事實上，當n/N ≦0.05時，校正因子可修改為： 因此，二項分配的變異數近似於超幾何分配的變異數，也就是說，此時以二項分配來逼近超幾何分配，結果是相當理想的。 表 6.1 二項分配與超幾何分配之比較 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.10：一批產品N=5,000，其中有1,000個為不良品。若隨機取10個，則恰有3個不良品的機率為何？ 解：由於n/N =10/5000=0.002是相當小，明顯小於0.05，我們可用二項分配來近似超幾何分配的機率。也就是說，雖然X~H(5000,1000,10)，但X≒B(10, 0.2)。所以，恰有3個不良品的機率為： 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

6.3 幾何分配 幾何分配(Geometric distribution)乃是柏努利試驗中所衍伸出的第二個間斷型機率分配，與二項分配不同的是不預先固定試驗的次數，但固定成功的次數為1，當出現第1次成功時，就停止柏努利試驗。 令隨機變數X表示第一次成功發生所需的柏努利試驗次數，且p表示成功機率，而q=1-p，則X的機率分配為： 幾何分配記作X~G(p)，則隨機變數X的期望值與變異數為： 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.11：某製造過程中，已知平均每100個產品中有一個不良品；那麼在一個不良品發現之前，檢驗5個產品的機率為何？期望值為何？意義為何？ 解：令X代表發現一個不良品所需檢驗產品個數，X~G(p=0.01)。所以，在一個不良品發現之前，檢驗5個產品的機率為： X的期望值為 其意義為平均檢驗100個產品才會發現一個不良品。 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

6-4 卜瓦松分配 卜瓦松試驗(Poisson實驗)具有下列三個特性： 在一區間內發生某事件的個數，與另一區間內該事件發生的 次數互不相關。 在一區間內發生某事件的期望值與該區間之大小成比例。 在一極短的區間內，事件只可能發生一次或根本不發生，不 會有發生兩次或以上的情形。 卜瓦松分配(Poisson Distribution)具有以下隨機密度函數： λ表示在某特定區間內某事件所發生的平均次數，記作 X~P(λ )。 卜瓦松分配的期望值與變異數，則 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

解：(a) 令X代表1小時內到達醫院的病患人數， X~P(λ=1) 。所以， 1小時內沒有病患到達的機率為： 例題 6.12：假定到達醫院的病患人數符合Poisson過程，且平均每小時有1人到達，試問： (a)1小時內沒有病患到達的機率。 (b)1小時內到達的病患少於4人的機率。 (c)2小時內沒有病患到達的機率。 解：(a) 令X代表1小時內到達醫院的病患人數， X~P(λ=1) 。所以， 1小時內沒有病患到達的機率為： (b) 1小時內到達的病患少於4人的機率為： (c) 令Y代表2小時內到達醫院的病患人數， Y~P(λ=2) 。所以， 2小時內沒有病患到達的機率為： 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

卜瓦松分配與二項分配之間的關係 一般而言，若n很大且p很小時，可用卜瓦松分配近似二項分配。通常只要n>20 且np≦7時，此時以卜瓦松分配來逼近二項分配，結果是相當理想的。 例如：n=20和p=0.05 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.13：茲有一批產品，設每1,000件中，平均有一件為不良品。8,000件的隨機樣本，問其中不良品數少於7的機率為何？ 解：X代表8,000件隨機樣本中之不良品數，X~B(80000.001) 。而n=8000(n很大)與p=0.001(p很小)，故可用卜瓦松分配近似二項分。 因此，λ=np=8000*0.001=8和X  P(8)。不良品數少於7的機率為： 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

超幾何、二項與卜瓦松三種分配之間的關係 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

可跳過 6.5 負二項分配 負二項分配(Negative Noemal distribution)乃是柏努利試驗中所衍伸出的第三個間斷型機率分配，與二項分配不同的是不預先固定試驗的次數，但成功的次數固定為r，當出現第r次成功時，就停止柏努利試驗。 在執行獨立的柏努利試驗，直到第r次「成功」發生時才停止柏努利隨機試驗，所需試驗的次數為一個隨機變數X，則此隨機變數X的機率分配即稱為負二項分配。 負二項分配記作X~NB(r,p)，則X的期望值與變異數為： 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

解：(1) 令X代表出現第一個聖筊，所需擲筊的次數，X~NB(1,0.5)。所以，第一個聖筊是在第5次擲筊時出現的的機率為： 可跳過 例題 6.14：過年的氣氛愈來愈濃厚，每個人都會在新的一年中去廟裡祈求平安，假設在廟裡擲出「聖筊」的機率為0.5，則連續擲5次之後，才出現第一個聖筊的機率為何？出現第三個聖筊的機率又為何？ 解：(1) 令X代表出現第一個聖筊，所需擲筊的次數，X~NB(1,0.5)。所以，第一個聖筊是在第5次擲筊時出現的的機率為： (2) 令X代表出現第3個聖筊，所需擲筊的次數，Y~NB(3,0.5)。所以，第3個聖筊是在第5次擲筊時出現的的機率為： 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

連續機率分配 6.6 均勻分配 6.7 常態分配 6.8 指數分配(可跳過) 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

連續機率分配 6.6 均勻分配 6.7 常態分配 6.8 指數分配(可跳過) 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

6.6 均勻分配 令隨機變數X的可能值之範圍為區間(a, b)，且呈均勻分配，則其機率密度函數為： 6.6 均勻分配 令隨機變數X的可能值之範圍為區間(a, b)，且呈均勻分配，則其機率密度函數為： 均勻分配記作X~U(a,b)，則X的期望值與變異數為： 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

解：令 X為均勻分配，X~U(0,10)，其中，f(x)=1/10，0<x<10，則 例題 6.15：假定某班火車抵達車站的時間在8:00～8:10分之間，且在此時段中任何時點到站的可能性均相同。試求： (a)某乘客在8:03分抵達車站，可搭上火車的機率？ (b)某乘客在8:08分抵達車站，火車已開走的機率？ (c)計算期望值與變異數，並解釋期望值的意義。 解：令 X為均勻分配，X~U(0,10)，其中，f(x)=1/10，0<x<10，則 該乘客可搭上火車，則火車在8:03分以後抵達車站，其機率為 某乘客在8:08分抵達車站，搭不上火車，表示火車在8:08分前抵達車站，其機率為 X的期望值與變異數為 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

6-7 常態分配(Normal Distribution) 連續性隨機變數X具有下列的機率密度函數： 上述機率密度函數稱為常態分配，記作N(μ,σ2)。 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

常態分配及其性質 1/2 鐘形(Bell-shaped )且對稱的(symmetric)分配， 因為常態機率分配是對稱的，在平均數的左右邊各佔一半(.50 or 50%) 。 常態機率分配主要由兩個參數平均數μ 和變異數σ2 ；來控制常態機率分配的型態；並記作 X~N(μ,σ2) 。 每一條常態機率分配曲線皆以橫軸(horizontal axis)為漸近線。 在任何一個常態機率分配下，其在平均數左右各k倍標準差的區間所圍住的面積皆是相同，不管其平均數和標準差的值為何。 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

常態分配及其性質 2/2 1. 不同的平均數的常態分配曲線 2. 不同的標準差的常態分配曲線 圖 6.5 常態曲線，μ1< μ 2, σ1= σ2 2. 不同的標準差的常態分配曲線 圖 6.6 常態曲線， σ1 < σ2 , μ1 = μ2 = μ 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

常態分配機率計算方法 下面都是常態分配，只是有不同的平均數與變異數。 Consider: P(39  W  41) 5 3 . 2 1 w f ( ) N o r m a l D i s t b u n :  = ,  6 5 4 3 2 1 . x f ( ) N o r m a l D i s t b u n :  = ,  6 5 4 3 . 2 1 y f ( ) N o r m a l D i s t b u n :  = ,  W~N(40,1) X~N(30,25) Y~N(50,9) 5 - . 4 3 2 1 z f ( ) N o r m a l D i s t b u n :  = ,  Consider: P(39  W  41) P(25  X  35) P(47  Y  53) P(-1  Z  1) 左邊四個區間雖來自不同平均數與變異數的常態分配，但都是以平均數為中間左右1倍標準差的區間，四個區間所得的機率卻相同。 Z~N(0,1) 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

標準常態分配 有鑑於常態分配求算機率值殊為不易，統計學家便將之標準化，使各種不同的常態分配，皆能轉換為標準常態分配， 透過查表即可求得機率值。標準化的方法如下： 標準常態分配 (standard normal distribution)是一常態隨機變數 Z；其平均數μ = 0 和標準差 σ = 1；也就是說 Z~N(0,1) 。 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

常態分配標準化示意圖 圖 6.7 一般常態分配的標準化 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

標準常態分配的特性 標準常態分配最重要的特性就是對稱的分配： 圖 6.8 標準常態曲線 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

解： P(Z≤1.37)=0.9147，P(Z≥1.37)=1- P(Z≤1.37)=1-0.9147=0.0853 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.17：試計算P(0.15 ≤ Z ≤ 1.60)。(正查表法) 解： P(0.15 ≤ Z ≤ 1.60) =P( Z ≤ 1.60)  P(Z<  0.15) =0.9452  P(Z> 0.15) =0.9452  ( 1  P(Z ≤ 0.15) ) = 0.9452  0.4404=0.5048 例題 6.18：試求出P(Z≤-1.9或Z≥2.1) 。(正查表法) 解： P(Z ≤-1.9或Z≥2.1 ) =P( Z ≤-1.9) + P(Z ≥2.1 ) =1-P(Z ≤ 1.9) +1- P(Z<2.1) =1-0.9713+ 1 0.9821 = 0.0287+0.0179=0.0446 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.19：試找出滿足P(Z≥ z)=0.025之z值。 (反查表法) 解： P(Z≥ z)=0.025 P( Z ≤z)=0.975 查表得知， P( Z ≤1.96)=0.975 ，所以，z=1.96 。 例題 6.20：試找出滿足P(-z≤Z≤z)=0.9之z值。 (反查表法) 解： 由右圖得知P(Z≥ z)=0.05，P( Z ≤-z )=0.05 ， 所以， P( Z ≤z )=0.95 查表得知， P( Z ≤1.645)=0.95 ，所以，z=1.645 。 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.21：設X為一常態分配，且已知其平均數μ=400，標準差σ=50，試求：(a)X值小於360的機率；(b)X值介於350與460之間的機率。 解：X~N(400,2500)，則 圖 6.14 P(X<360)=P(Z<-0.8) 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.22：假設某校100名學生的統計學測驗成績合於常態分配，且其平均成績為80分，標準差為5分。試求： (a)成績在65分與75分之間的人數。 (b)成績在85分以上的人數。 解：X~N(80,25)，則 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

解：令X代表家電用品的使用壽命，X~N(4.5,1)，則退貨比例為 例題 6.23：某品牌家電用品的使用壽命為平均數4.5年，標準差1年的常態分配。若其保證期間為2年，試問退貨比例為多少？ 解：令X代表家電用品的使用壽命，X~N(4.5,1)，則退貨比例為 例題 6.24：某公司每日收到的電子郵件數近於常態分配，已知每日平均為80封，且超過120封的機率為0.1。試問標準差σ為何？ 解：令X代表公司每日收到的電子郵件數，X~N(80, σ2)，已知超過120封的機率為0.1，則 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.25：某項性向測驗之成績呈常態分態分配，其μ=506, σ=81，試求：(a)分數低於574者佔全體之比例；(b)第30個百分位數。 解：令X代表某個人在某項性向測驗之成績，X~N(506, 812)，則 分數低於574者佔全體之比例 第30個百分位數代表P(X<P30)=0.3 ，所以 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

常態分配逼近二項分配 1/3 設X為二項隨機變數，且X～B(n, p)，當np≥5且n(1-p)≥5，則 圖 6.16 連續性修正因子±1/2 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.26：投擲一公正硬幣12次，試求出：(a)出現正面次數不超過4次的機率？(b)出現正面次數超過5次的機率？ 解：令X代表投擲一公正硬幣12次，出現正面次數，則X~B(12, 0.5)，則 出現正面次數不超過4次的機率若以二項分配求解為： 若以常態分配來求解為 由上得知，以二項分配和常態分配來求解所得結果相似。 (b) 出現正面次數超過5次的機率若以二項分配求解為： 若以常態分配來求解為 由上得知，以二項分配和常態分配來求解所得結果相似。 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.27：令X為二項分配，p=0.6, n=150，則以常態逼近二項，下列各項之機率為何？ (a) X介於82與101間（含82與101）。 (b) X大於97。 解：令 X為二項分配，X~B(150, 0.6)，其中，μ=90，σ2=36，則 X介於82與101間（含82與101）的機率以常態分配來求解為 X大於97的機率以常態分配來求解為 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

6.8 指數分配 1/2 設X為指數隨機變數，λ代表單位時間之平均數，μ代表平均時間（每次） 可跳過 6.8 指數分配 1/2 設X為指數隨機變數，λ代表單位時間之平均數，μ代表平均時間（每次） 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

可跳過 6.8 指數分配 2/2 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

解：令 X為指數分配，X~E(0.1)，其中，μ=10， λ =1/10，則 電視機的壽命時間長達15年以上的機率為 可跳過 例題 6.28：假設某一型彩色電視機其壽命時間呈指數分配，且平均壽命為10年。試求該電視機的壽命時間之下列機率： (a)壽命長達15年以上。 (b)2年內即發生故障而報廢。 (c)壽命時間介於2年至15年。 解：令 X為指數分配，X~E(0.1)，其中，μ=10， λ =1/10，則 電視機的壽命時間長達15年以上的機率為 2年內即發生故障而報廢的機率為 壽命時間介於2年至15年的機率為 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配