邏輯與批判思考 課程網頁：http://myweb.scu.edu.tw/~tsemeiwu 第十一週： 自然演繹法Ⅰ：蘊含規則

一、簡 介 自然演繹法(method of natural deduction)：透過推論規則來評估論證的有效性。 一、簡 介 自然演繹法(method of natural deduction)：透過推論規則來評估論證的有效性。 優點：遇到包含較多原子語句的論證，自然演 繹法比真值表法簡單。 缺點：自然演繹法只能證明有效論證，不能證 明論證的無效性。 自然演繹法依賴的是「語法」上的有效推論關 係：從前提出發，透過一套推論規則，可以保 證推出結論。

一、簡 介 (一)自然演繹法包含兩部分： 1.十八條「推論規則」(rule of inference)： 一、簡 介 (一)自然演繹法包含兩部分： 1.十八條「推論規則」(rule of inference)： (1)這些規則是有效論證，或邏輯上等值的語句。 (2)為什麼需要「十八條」規則？ 2.三個「推論形式」(form of inference)： (1)直接證法(direct proof)：本課程的教學目標 (2)條件證法(conditional proof) (3)間接證法(indirect proof)

一、簡 介 (二)十八條推論規則可分為兩類： 1.蘊含規則：這類規則本身就是一個有效論證，從前提可以推出結論，但不能從結論逆推回前提。 2.替代規則：以邏輯等值的形式來陳述規則，在≡ 兩邊的語句是邏輯上等值的，可以彼此替代。

蘊含規則 前項肯定法 MP 後項否定法 MT 假言三段論法 HS 選言三段論法 DS 建設性的兩難式 CD 簡化法 Simp p→q p ∴q 後項否定法 MT ~q ∴~p 假言三段論法 HS q→r ∴p→r 選言三段論法 DS p  q p  q ~p ~q ∴ q ∴ p 建設性的兩難式 CD r→s p  r ∴q  s 簡化法 Simp p • q p • q ∴p ∴q 並言法 Conj q ∴p • q 增入法 Add ∴p  q

替代規則 德摩根律 DeM 對換法 Comm 雙重否定法 DN 分配法 Dist 質位變換法 Contra 結合法 Assoc ~( p • q ) ≡ (~p  ~q) ~( p  q) ≡ (~p • ~q) 對換法 Comm ( p • q ) ≡ ( q • p ) ( p  q) ≡ ( q  p) 雙重否定法 DN p ≡ ~ ~p 分配法 Dist (p • (q  r)) ≡ (( p • q)  ( p • r)) (p  (q • r)) ≡ (( p  q) • ( p  r)) 質位變換法 Contra (p→q) ≡ (~q→~p) 結合法 Assoc (p • (q • r)) ≡ ((p • q) • r) (p  (q  r)) ≡ ((p  q)  r) 等值法 Equiv (p↔q) ≡ ((p→q) • (q→p)) (p↔q) ≡ ((p • q)  (~p • ~q)) 蘊含法 Impl (p→q) ≡ (~p  q) 重複增減法 Idemp p ≡ (p • p) p ≡ (p  p) 輸入輸出法 IE ((p • q)→r) ≡ (p→(q→r))

二、直接證法 直接證法的推論步驟： 1.將論證的前提和結論符號化。 2.標示前提與結論：以數字依序標示前提，在最後一個 前提右邊寫出結論，並以 ∕∴ 加以分隔。 3.步驟編號：承接前提的編號，幫底下每個步驟的推論 依序編號。 4.推論內容：證明過程就是不斷運用十八條推論規則， 一步一步從前提導出結論。 5.理由欄：每一行的最右邊標示「從哪一行（或哪些 行），使用了什麼推論規則（英文簡寫）」。

三、蘊含規則 八個蘊含規則：前項肯定法(MP)、後項否定法(MT)、假言三段論法(HS)、選言三段論法(DS)、建設性的兩難式(CD)、簡化法(Simp)、並言法(Conj)、增入法(Add)。 為什麼稱為「蘊含規則」：每個規則本身就是一 個有效論證，而前提蘊含了結論，所以從前提可 以導出結論，但不能從結論逆推回前提。 注意：八個蘊含規則只能用在「整個語句」，不能用在語句的一部份。

三、蘊含規則 (一)前項肯定法（簡寫為MP）： p→q p ∴ q 以真值表證明MP是有效論證。 MP規則的例子：

三、蘊含規則 (二)後項否定法（簡寫為MT）： p→q ~ q ∴ ~p 以真值表證明MT是有效論證。 MT規則的例子：

三、蘊含規則 MT、MP規則的應用： 1. A → ~ B 2. A 3. C → B ∕∴ ~ C 4. ~ B 1, 2, MP 步驟 推論內容 理由欄 編號 1. A → ~ B 2. A 3. C → B ∕∴ ~ C 4. ~ B 1, 2, MP 5. ~ C 3, 4, MT

三、蘊含規則 例題： 例1：1. ~W →(~W →(X →W)) 2. ~W ∕∴ ~X 例2：1. N →(J →P) 2. (J →P) →(N →J) 3. N ∕∴P

三、蘊含規則 (三)假言三段論法（簡寫為HS）： p→q q→r ∴p→r 以真值表證明HS是有效論證。 HS規則的例子：

三、蘊含規則 (四)選言三段論法（簡寫為DS）： 以真值表證明DS是有效論證。 DS規則的例子：

有趣的推理：讀心術Ⅱ 很神奇吧！？ 出處：http://mathsking.net/mind.htm 1.請在心裡默想一個兩位數的數字（例如54）。 2.用你剛才想的數字分別減去其十位數和個位數得 到結果（例如54 - 5 - 4 = 結果45）。 3.在網頁的表格裡找出你得出的結果，看看右邊的 符號是什麼。 4.請集中精力凝視你查到的符號至少5秒鐘，然後點 擊下面這個魔力方塊，看看預測的結果。 很神奇吧！？

三、蘊含規則 例題： 1. A→B 2. ~ A→(C  D) 3. ~ B 4. ~ C ∕∴ D 1. F→G 2. F  H 4. H→(G→I) ∕∴F→I 1. X→(Y→Z) 2. X→(Z→W) 3. T  X 4. ~ T ∕∴ Y→W

三、蘊含規則 推論技巧： 要把原子語句的複雜排列想成是基本推論規則的替代例。 例題：1. ~ (A • B)  (~ (E • F)→(C→D)) 2. ~ ~ (A • B) 3. ~ (E • F) 4. D→G ∕∴ C→G

三、蘊含規則 先看「結論」，然後從前提跟結論的關係思考可以運用什麼規則做推論。 例1：1. ~ J 2. J  K 3. K→L ∕∴ L 例2：1. S→T 2. T→U 3. R→S ∕∴ R→U

三、蘊含規則 先想好要怎麼推出結論，再實際下筆。 例題：1. E → (K→L) 2. F → (L→M) 3. G  E 4. ~ G 5. F ∕∴ K→M

四、做推論的基本策略 1.先看在前提中是否有出現結論的符號。 2.如果結論包含某個語句，而這個語句是一個條件句前提的後件，則可考慮使用MP規則。 例如：1. A→B 2. C  A 3. A ∕∴ B

四、做推論的基本策略 3.如果結論包含某個語句，而這個語句是一個條件句前提的前件之否言，則可考慮使用MT規則。 例如：1. C→B 2. A→B 3. ~ B ∕∴ ~ A 4.如果結論是條件句，則可考慮使用HS規則。 例如：1. B→C 2. C→A 3. A→B ∕∴ A→C

四、做推論的基本策略 5.如果結論包含某個語句，而這個語句出現在一個選言的前提中，則可考慮使用DS規則。 例如：1. A→B 2. A  C 3. ~ A ∕∴ C

練習題 1. S  F 2. (T→W) → ~S 3. R→(T→D) 4. D→W 5. R ∕∴ F 1. X→ ~Y 2. Y  ~T 3. X 4. W→T ∕∴ ~W 1. A →(E →~F) 2. H  (~F→M) 3. A 4. ~H ∕∴ E →M

練習題 1. (L  M) →C 2. (L  M)  (P→ ~E) 3. ~ E →C 4. ~ C ∕ ∴~ P 挑戰題： 1. ~ A→(A  (T→R)) 2. ~ R→(R  (A→R)) 3. (T  D)→ ~ R 4. T  D ∕∴D 1. ~ N→((B→D) →(N  ~E)) 2. (B →E) → ~ N 3. B →D 4. D →E ∕∴ ~ D

有趣的推理：腦筋急轉彎 昨天我關掉房間的燈，可是我能從電燈開關走回床上，而開關離我的床有20公尺遠。 請問：我是怎麼辦到的？ 有天晚上張三正在讀一本有趣的書，媽媽突然把燈關掉了。雖然房間全黑了，他還可以繼續讀書。 請問：張三是怎麼辦到的？