第4章 数值积分与数值微分 4.1 引言 4.1.1 数值求积的基本思想 一、问题 如何求积分 数学分析中的处理方法： 第4章 数值积分与数值微分 4.1 引言 4.1.1 数值求积的基本思想 一、问题 如何求积分 数学分析中的处理方法： 牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式： N-L公式失效的情形：

N-L公式失效的情形： （1）被积函数，诸如 等等，找不到用 初等函数表示的原函数； （2）当 是由测量或数值计算给出的一张数据表. 这时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用; （3）原函数很难求. 因此有必要研究积分的数值计算问题及数值积分问题.

二、构造数值积分公式的基本思想 由积分中值定理知，在积分区间 内存在一点ξ， 成立 问题：点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以 准确算出 的值，怎么办？ 只要对平均高度 提供一种算法，相应地便可获得 一种数值求积方法. （1）左矩形公式

（2）右矩形公式 （3）用区间中点 的“高度” 近似地取代平均 高度 ，则又可导出所谓中矩形公式 （4）用两端点“高度” 与 的算术平均作为平均高度 的近似值，这样导出的求积公式 是梯形公式.

将这种思想一般化： 一般地，可以在区间 上适当选取某些节点 ， 然后用 加权平均得到平均高度 的近似值，这样 构造出的求积公式具有下列形式： 一般地，可以在区间 上适当选取某些节点 ， 然后用 加权平均得到平均高度 的近似值，这样 构造出的求积公式具有下列形式： 式中 称为求积节点； 称为求积系数,亦称伴随节点 的权. k A 的具体形式. 而不依赖于被积函数 权 仅仅与节点 的选取有关，

用上面式子求积分近似值的特点：将积分求值问题转化为了计算函数值的问题，避开了求原函数.这类数值积分方法通常称为机械求积。

4.1.2 代数精度的概念 数值求积是近似方法，为保证精度，自然希望求积公 式对尽可能多的函数准确成立. 定义1 4.1.2 代数精度的概念 数值求积是近似方法，为保证精度，自然希望求积公 式对尽可能多的函数准确成立. 定义1 如果某个求积公式对于次数不超过 的多项式 均能准确地成立，但对于 次多项式就不准确成立， 则称该求积公式具有 次代数精度. 问题：左矩形公式、右矩形公式、中矩形公式和梯形公式具 有几次代数精度？

4.1.3 插值型的求积公式 设给定一组节点 且已知函数 在这些节点上的值， 作插值函数 . 取 作为积分 的近似值， 这样构造出的求积公式

称为是插值型的，式中求积系数 通过插值基函数 积分得出 由插值余项定理(第2章的定理2)即知，其余项 式中ξ与变量 有关， 问题：上述插值型求积公式至少具有多少次代数精度？

当 是次数不超过 的多项式时，插值多项式就是 函数本身， 至少具有 次代数精度. 所以这时插值型求积公式 余项 为零， 反之， 如果一个求积公式 至少具有 次代数精度，则它必可利用插值多项式推导出来。 事实上， 这时求积公式对于插值基函数 应准确 成立，即有

注意到 上式右端实际上等于 因而 成立. 这样，有下面定理.

4.1.4 求积公式的收敛性与稳定性 定义2 在求积公式 中，若 其中 则称此求积公式是收敛的. 在求积公式 中，由于计算 可能产生误差 ， 4.1.4 求积公式的收敛性与稳定性 在求积公式 中，若 定义2 其中 则称此求积公式是收敛的. 在求积公式 中，由于计算 可能产生误差 ， 实际得的将是 ， 即 记

如果对任给小正数 只要误差 充分小就有 （*） 则表明求积公式计算是稳定的， 由此给出下面定义. 定义3 对任给 若 只要 就有(*)成立，则称求积公式 是稳定的.

定理2 若求积公式 中系数 则此求积公式是稳定的. 证明 对任给 取 若对 都有 则当 时有

由定义3知，求积公式 是稳定的.

4.2 牛顿-柯特斯公式 4.2.1 柯特斯系数 设将积分区间 划分为 等分， 步长 选取等距节点 构造出的插值型求积公式 （2.1） 4.2 牛顿-柯特斯公式 4.2.1 柯特斯系数 设将积分区间 划分为 等分， 步长 选取等距节点 构造出的插值型求积公式 （2.1） 称为牛顿-柯特斯公式， 式中 称为柯特斯系数. 按 ，引进变换 则利用等距节点的 插值公式，有

（2.2） 当 时， 这时的求积公式就是梯形公式

当 时，按(2.2)式， 柯特斯系数为 相应的求积公式是辛普森(Simpson)公式 （2.3）

的牛顿-柯特斯公式称为柯特斯公式， 其形式是 （2.4） 这里 按（2.2）式，可构造柯特斯系数表.

从柯特斯系数表看到 时，柯特斯系数 出现 负值， 于是有 特别地，假定 且 则有 它表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算 不稳定，故 的牛顿-柯特斯公式是不用的.

4.2.2 偶阶求积公式的代数精度  由定理1， 阶的牛顿-柯特斯公式至少具有 次的代数精度. 本节讨论代数精度的进一步提高问题. 4.2.2 偶阶求积公式的代数精度  由定理1， 阶的牛顿-柯特斯公式至少具有 次的代数精度. 本节讨论代数精度的进一步提高问题. 先看辛普森公式(2.3)，它是二阶牛顿-柯特斯公式，因 此至少具有二次代数精度. 用 进行检验， 按辛普森公式计算得

另一方面，直接求积得 这时有 ， 均准确成立, 即辛普森公式对次数不超过三次的多项式 而它对 通常是不准确的， 因此， 辛普森公式实际上具有三次代数精度. 定理3 当阶 为偶数时，牛顿-柯特斯公式(2.1)至少 有 次代数精度.

我们只要验证，当 为偶数时，牛顿-柯特斯 公式对  的余项为零. 证明 由于这里 按余项公式 有 引进变换 并注意到 有

再令 若 为偶数，则 为整数， 进一步有 因为被积函数 为奇函数，所以

4.2.3 几种低阶求积公式的余项

解：使用梯形公式 使用辛普森公式： 使用柯特斯公式：

4.3 复化求积公式 问题1：由梯形、辛普森和柯特斯求积公式余项，分析随着求积节点数的增加，对应公式的精度是怎样变化？ 4.3 复化求积公式 问题1：由梯形、辛普森和柯特斯求积公式余项，分析随着求积节点数的增加，对应公式的精度是怎样变化？ 问题2：当n≥8时N—C求积公式还具有数值稳定性吗？可用增加求积节点数的方法来提高计算精度吗？ 在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛普森公式。

4.3.1 复化梯形公式及其误差 将积分区间[a,b]划分为n等分,步长 ，求积节点为 ，在每个小区间 上应用梯形公式 求出积分值Ik,然后将它们累加求和,用 作为所求积分I的近似值。

记 称其为复化梯形公式。 当f(x)在[a,b]上有连续的二阶导数,在子区间 上梯形公式的余项已知为 在[a,b]上的余项

根据连续函数的介值定理知，存在 ，使 因此,余项 所以复化梯形公式是收敛的。

4.3.2    复化辛普森公式及其误差 将积分区间[a,b]划分为n等分,记子区间 的中点为 在每个小区间上应用辛普森公式，则有 记 称为复化辛普森公式。

类似于复化梯形公式余项的讨论，复化辛普森公式的求积余项为 如果把每个子区间 四等分,内分点依次记 ，同理可得复化柯特斯公式 求积余项为

复化求积公式的余项表明，只要被积函数f(x)及所涉及的各阶导数在[a,b]上连续，那么复化梯形公式、复化辛普森公式与复化柯特斯公式所得近似值 的余项和步长的关系依次为 、 、 。因此当h→0 (即n→∞)时, 都收敛于积分真值，且收敛速度一个比一个快。 问题：复化梯形公式、复化辛普森公式与复化柯特斯公式稳定吗？

例1 依次用n=8的复化梯形公式、n=4的复化辛普森公式计算 由复化梯形公式可得如下计算公式：

由复化辛普森公式可得如下计算公式 （积分准确值I=0.9460831） 这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比较，复化梯形法只有三位有效数字(T8=0.9456909),而复化辛普森法却有六位有效数字。

例2 计算定积分 ，使误差不超过 (1)若用复化梯形求积公式，要取多少个求积节点？ (2)若用复化辛普森求积公式，要取多少个求积节点？ (3)若用复化柯特斯求积公式，要取多少个求积节点？ 解:取 ,则 ,又区间长度b-a =1， （1）对复化梯形公式有余项 即 ,n≥212.85，取n=213，即取214个求积节点时，用复化梯形公式计算误差不超过 。

（2）对复化辛普森公式有余项 即 ，取n=4，即取2n+1=9个求积节点时，用复化辛普森公式计算误差不超过 。 （3）对复化柯特斯公式有余项 即 ，取n=1，即取4n+1=5个求积节点时，用复化柯特斯公式计算误差不超过 。

4.4 龙贝格（Romberg）求积公式 复化求积方法对于提高计算精度是行之有效的方法，但复化公式的一个主要缺点在于要先估计出步长(有时难以估计)。若步长太大，则难以保证计算精度，若步长太小，则计算量太大，并且积累误差也会增大。 问题：能否不通过事先估计出步长的方法，计算出达到精度 要求的近似值？ 在实际计算中通常采用变步长的方法，即把步长逐次分半，直至达到某种精度为止。 4.4.1 梯形法的递推化（变步长的梯形公式） 变步长复化求积法的基本思想是在求积过程中，通过对计算结果精度的不断估计，逐步改变步长（逐次分半），直至满足精度要求为止。即按照给定的精度实现步长的自动选取。

问题：复化梯形求积公式简单易算，但精度不高，收敛速度慢，能否由其构造一个精度高些、收敛速度快些的复化求积公式呢？ 设将积分区间[a,b]n等分，即分成n个子区间，一共有n+1个节点，即x=a+kh, k=0,1,…，n，步长 。 则在区间[a,b]上复化梯形求积公式为： 问题：若精度达不到要求怎么办？ 二分小区间增加节点，将[xk , xk+1]分为[xk , xk+1/2]和[xk+1/2 , xk+1]，这时复化梯形求积公式为：

问题：截断误差如何变化的？ 当 在区间[a,b]上变化不大时,有 ，所以 结论：精度提高了。

例3 用变步长梯形求积法计算定积分 解: 先对整个区间0,1用梯形公式,对于 所以有 然后将区间二等份,由于 ,故有 进一步二分求积区间,并计算新分点上的函数值 有 这样不断二分下去，计算结果如P133列表所示。积分的准确值为0.9460831，从表中可看出用变步长二分10次可得此结果。

问题：能否利用两次求得的近似值来估计误差呢？ 可得 重新整理式子 显然可以用此式判断近似值是否达到了精度要求。所以通常将此式作为事后误差估计式。 问题：既然 可以作为用T2n计算I的近似值的估计误差，那我们能否用这个估计误差来改进我们的近算结果呢？

4.4.2 龙贝格求积公式 积分近似值 的误差大致等于 ,如果用 对 进行修正时， 与 之和比 更接近积分真值,所以可以将 看成是对 误差的一种补偿,这样应该可得到一个具有更好效果的式子。 问题：是这样的吗？

将复化梯形公式 用梯形法二分前后两个积分值 和 作线性组合，结果却得到复化辛普森公式 。 和梯形变步长公式 代入上式得 故

对辛普森公式用类似方法处理，其截断误差与 成正比，因此，如果将步长折半，则误差减至 ，即有 由此可得 可以验证,上式右端的值其实等于Cn，就是说，用辛普森公式二等分前后的两个积分值Sn和S2n 作线性组合后，可得到柯特斯公式求得的积分值Cn，即有

用同样的方法，根据柯特斯公式的误差公式，可进一步导出龙贝格公式 在变步长的过程中运用前面三个式子，就能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的辛普森值Sn、柯特斯值Cn和龙贝格值Rn或者说，将收敛缓慢的梯形值序列Tn加工成收敛迅速的龙贝格值序列Rn，这种加速方法称为龙贝格算法（龙贝格公式），见教材P135表4-4所示。

4.5 高斯（Gauss）型求积公式 4.5.1 高斯积分问题的提出 在前面建立牛顿-柯特斯公式时，为了简化计算，对插值公式中的节点限定为等分的节点，然后再定求积系数，这种方法虽然简便，但求积公式的精度受到限制。我们已经知道，过n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。 问题：是否存在具有最高代数精度的求积公式呢？若有，最高代数精度能达到多少呢？

在构造形如 的两点公式时,如果限定求积节点 , 那么所得插值求积公式 的代数精度仅为1。 问题：如果对式中的系数 和节点 都不加限制，能否通过适当选取 和 ,使所得公式的 代数精度 。 事实上，若要使求积公式对函数 都准确成立，只要 和 满足方程组

解之得 可以验证，上式是具有3次代数精度的插值型求积公式。 这个例子告诉我们，只要适当选择求积节点，可使插值型求积公式的代数精度达到最高。这就是本节要介绍的高斯求积公式。

同理，对于一般的插值求积公式 (**) 只要适当地选取其2n+2个待定参数 xk 和 ,就可使它的代数精度达到2n+1次。 定义4 若插值求积公式（**）具有2n+1次代数精度，则称之为高斯求积公式，并称相应的求积节点 为高斯点。 显然，n+1个节点的高斯求积公式具有最高不超过2n+1次的代数精度。可证明高斯求积公式不仅稳定而且收敛。

4.5.2 常用的高斯求积公式 （1）高斯－勒让德求积公式 高斯点为勒让德多项式Pn+1(x)的零点时，得到的高斯求积公式称为高斯－勒让德求积公式，其节点和系数见教材P145。 问题：若要计算 怎么办？ 令 就可将求积区间a,b变换到-1,1上，这时

即有 其中 插值求积公式节点一经确定，相应的求积系数就确定了，因此关键在于确定节点。 （2）高斯－切比雪夫求积公式(可用于计算奇异积分)

数值积分方法小结 本章介绍了积分的数值计算方法，其基本原理主要是逼近论，即设法构造某个简单函数P(x)近似表示f(x)，然后对P(x)求积得到f(x)的积分近似值。 本章基于插值原理，构造了数值积分的基本公式。 插值型求积公式分为牛顿─柯特斯公式和高斯公式两类。前者取等距节点，算法简单而容易编制程序。但是，由于在n≥8 时出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性。因此实用的只是低阶公式。解决长区间与低阶公式的矛盾是使用复化求积公式。因此，常用的数值积分法都是复化求积公式。

龙贝格公式是在区间逐次分半过程中，对用梯形法所获得的近似值进行多级“加工”，从而获得高精度的积分近似值的一种方法。它具有自动选取步长且精度高，计算量小的特点，便于在计算机上使用。是数值积分中较好的方法。 高斯求积公式不但具有最高代数精度，而且收敛性和稳定性都有保证，因此是高精度的求积公式。高斯公式还可以用于计算奇异积分，也可使一些复杂的积分计算简化。高斯公式的主要缺点是节点与系数无规律。所以高阶高斯公式不便于上机使用。实际应用中可以把低阶高斯公式进行复化。