§7.7 二重积分

例1 曲顶柱体的体积. 若有一个柱体，它的底是Oxy平面上的闭区域D， 它的侧面是以D的边界曲线为准线，且母线平行于z轴 的柱面，它的顶是曲面z=f(x,y)，设f(x,y)≥0为D上的连 续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体.现在来求这个曲 顶柱体的体积. 解 也分三步解决这个问题. 分割 区域D用两组曲线任意分割成n个小块:

其中任意两小块 和 除边界外无公共点. 其中 既表示第i个小块，也表示第i个小块的面积. 近似、求和 记 为 的直径(即 表示 中任 意两点间距离的最大值)，在 中任取一点 , 以 为高而底为 的平顶柱体体积为 此为小曲顶柱体体积的近似值，故曲顶柱体的近 似值可以取为

取极限 若记 ，则定义 为所讨论的曲顶柱体的体积.

定义 设f(x,y)在闭区域D上有定义且有界. 分割 用任意两组曲线分割D成n个小块 其中任意两小块 和 除边界外无公共点， 既表示第i小块，也表示第i小块的面积. 近似、求和 对任意点 ，作和式 取极限 若 为 的直径，记 ,若极限

存在，且它不依赖于区域D的分法，也不依赖于点 的取法，称此极限为f(x,y)在D上的二重积分. 记为 (2) 称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x，y为积分变元， 为面积微元(或面积元素). 由这个定义可知，质量非均匀分布的薄板D的质 量等于其面密度 在D上的二重积分.因此二重积 分 的物理意义可以解释为：二重积分的值 等于面密度为f(x,y)的平面薄板D的质量.

二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域 D上都是可积的. 性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即 性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即

性质3 若D可以分为两个区域D1，D2，它们除边界外无公共点，则 性质4 若在积分区域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示区域D的面积，则 性质5 若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有 推论

性质6(估值定理) 若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，且S(D)为区域D的面积，则 (3) 性质7(二重积分中值定理) 设f(x,y)在有界闭区域D上 连续，则在D上存在一点 ，使 (4)

2、在直角坐标系中计算二重积分

上式也可简记为

②

化二重积分为累次积分时,需注意以下几点： （1）累次积分的下限必须小于上限;

例2 用二重积分计算由平面2x+3y+z=6和三个坐标平面所围成的四面体的体积. 解 即求以z=6–2x–3y为顶，以△ABC围成区域D为底的柱体体积.也就是计算二重积分

解法1 先对y积分. 作平行于y轴的直线与区域D相交，入口曲线为y=0，作为积分下限.出口曲线为 ，作为积分上限.

解法2 也可先对x积分，作平行于x轴的直线与区域D 分下限，出口曲线为 ，作为积分上 限.积分区域D在y轴上投影区间为[0,2]，

这个结果与我们熟知的四面体的体积 是一致的.

例4 交换二次积分 的符号分次序. 解 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为D1与D2.先依给定的积分限将积分区域Di用不等式表示：

如果转换为先对y积分，后对x积分，只需作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方向看，入口曲线为y=x，出口曲线为y=2–x，因此

3、二重积分在极坐标下的计算 若点M在直角坐标系中坐标为(x,y)，在极坐标系中坐标为 ，则有如下关系： 在极坐标系中，我们用r=常数和 =常数来分割 区域D.设 是由半径为r和 的两个圆弧与极角等于 和 的两条射线所围成的小区域.这个小区域近似地看作是边长为 和 的小矩形，所以 它的面积

因此，在极坐标系中 于是得到二重积分在极坐标系中的表达式为 这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式. 也可以写成 (6) 公式(6)区域D左端的边界的曲线方程应利用直角坐标表示，右端的边界曲线方程应用极坐标表示.

如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数f(x2+y2)形式，利用极坐标常能简化计算. 通常出现下面两类问题： 1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需依下列步骤进行： (1) 将 代入被积函数. (2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限. (3) 将面积元dxdy换为 . 2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.

例5 求 ，D是由y=x，y=0，x2+y2=1在第一象限内所围成的区域. 将区域D的边界曲线x2+y2=1化为极坐标下表达式r=1. 解 区域D可以表示为

例6 计算二重积分 ，其中D是单位圆域： 解 原点在D内部，D表示为：