第五章　定积分及其应用

本章主要内容 §5.1 定积分的概念 §5.2 定积分的性质 §5.3 微积分基本公式 §5.4 定积分的换元积分法与分部积分法 §5.1 定积分的概念 §5.2 定积分的性质 §5.3 微积分基本公式 §5.4 定积分的换元积分法与分部积分法 §5.5 反常积分 §5.6 定积分在几何上的应用 ＊§5.7 定积分在物理及其他方面的应用

学习目标 理解定积分的概念和定积分的性质及其几何意义； 理解微积分基本定理，了解积分上限函数及其性质，掌握牛顿—莱布尼茨公式； 熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法； 了解反常积分及其收敛发散的概念； 掌握用定积分表达一些几何量与物理量的方法，会用定积分求解平面图形的面积问题，了解元素法，并能用其求解有关几何、物理等问题。

§5.1定积分的概念 例 1 求曲边梯形的面积 曲边梯形的概念.

（1）分割. 用分点 第i个小曲边梯形的面积

（2）近似代替. 用以 为宽， 为高的小矩形的面积 近似代替相应的小曲边梯形的面积 ，即 （3）求和. （4）取极限.

例2 求变速直线运动的路程. 设某物体作直线运动,已知速度v=v (t)是时间区间[a, b]上的t连续函数，且 ,求物体在这段时间内所走的路程． （1）分割.用分点

（2）近似代替. （3）求和. （4）取极限.

二、定积分的定义 定义1 设f (x)是定义在区间[a, b]上的有界函数,用分点 把区间[a, b]分成n个小区间 第i个小区间的长度记为 积分和式

存在,且此极限值与对区间[a, b]的分法以及对点 取法无关,则称这个极限值为函数f (x)在[a, b]上的定积分(简称积分),

1、定积分表达式 积分上限 积分下限 被积函数 积分变量 被积表达式 积分区间

2、定理 定理1 设函数f (x)在区间[a, b]上连续,则f (x)在[a, b]上可积． 定理2 设函数f (x)在区间[a, b]上只有有限个第一类间断点,则f (x)在[a, b]上可积．

3、注意 （1）积分值只与被积函数和积分区间有关,与积分变量用什么字母表示无关. （2）在定积分的定义中,我们假定a < b,即积分下限小于积分上限. 如果a > b ,规定 当a = b时,规定 如果f (x)在[a, b]上的定积分存在,称f (x)在[a, b]上可积.

4、应用 例3 根据定积分的定义,求 解 函数 在区间[0,1]上连续,把区间[0,1]n等分 分点为 小区间的长度

三、定积分的几何意义

几何意义： 曲线y=f (x)与直线x=a, x=b, y=0所围成的曲边梯形面积的代数和．

例4　用定积分表示各图形阴影部分的面积，并根据定积分的几何意义求出其值.

§5.2 定积分的性质 1．定积分的简单性质 假定函数f (x), g (x)在所讨论的区间上都是可积的． §5.2 定积分的性质 1．定积分的简单性质 假定函数f (x), g (x)在所讨论的区间上都是可积的． 性质1　两个函数代数和的定积分等于各个函数定积分的代数和，即 证

性质2　被积函数中的常数因子可以提到积分号外面,即 证 性质3 (定积分的可加性) 对于任意三个数a, b, c,总有

性质4（保号性）如果在区间上[a, b]上 证 (极限的保号性 )

推论（比较性质） 如果在区间[a, b]上 性质5（估值性质）设M和m分别是f (x)在区间[a, b]上的最大值和最小值，则 证 (性质5)

性质6（积分中值定理）如果函数f (x)在闭区间[a, b]上连续，则在区间[a, b]上至少存在一点 ，使得 证 (性质5)

f (x)在[a, b]上的平均值

2. 积分中值定理的几何解释： 由曲线y=f (x),直线x=a, x=b, y=0,所围成的曲边梯形的面积,等于以区间[a, b]为底、以该区间上某一点处的函数值 为高的矩形的面积 .

§5.3 微积分基本公式 1．积分上限的函数及其导数 考察定积分 记作 积分上限函数

几何意义: 表示阴影部分的面积．

定理1 若函数f (x)在区间[a, b]上连续，则函数 在区间 [a, b]上可导，且它的导数就是f (x)，即 证 由积分中值定理，有

原函数存在定理 推论 如果函数f (x)在闭区间[a, b]上连续，则函数f (x)在 [a, b]上的原函数一定存在.

2．微积分基本公式 设函数f (x)在[a, b]上连续，且F (x)是f (x)在[a, b]上的一个原函数，则 定理2 证

牛顿—莱布尼兹公式 (微积分基本公式)

例5　计算 解

例7 一个小球从某高处由静止开始自由下落，由于重力的作用，t秒后小球的速度为v=gt，试求在时间区间[0，4]上小球下落的距离。 解 设ts时小球下落的距离为s=s(t),则有 =v v,由N-L公式可知，在时间区间 上小球下落的距离s(4)就是函数v=gt在上的定积分，即 =8g =

§5.4 定积分的换元积分法与分部积分法 1．定积的换元积分法 定理1 设函数f (x)在[a, b]上连续，令 定积分的换元公式 证 §5.4 定积分的换元积分法与分部积分法 1．定积的换元积分法 定理1 设函数f (x)在[a, b]上连续，令 定积分的换元公式 证 　设F (x)是f (x)的一个原函数，则

定积分的换元公式也可以反过来用.

此例两种解法

例7　设f (x)在[a, b]上连续，试证明： （1）若f (x)在[a, b]上为偶函数，则 （2）若f (x)在[a, b]上为奇函数，则 证

（1）若f (x)为偶函数，则f (－x)=f (x)．

几何解释： 偶函数 奇函数

定理2 设函数u=u (x)与v=v (x)在区间[a, b]上有连续的导数,则 分部积分公式 证

§5.5 反常积分 1．无限区间上的反常积分 引例 在区间[1,b]上的曲边梯形的面积为 “开口曲边梯形”的面积 开口曲边梯形

定义1 上的反常积分或广义积分，记作 如果上述极限不存在，则称反常积分

注意

如果f (x)的原函数为F (x)，则

例4　讨论反常积分 解

*2. 无界函数的广义积分 引例: “开口曲边梯形”的面积

定义2 在区间[a, b]上的反常积分，记作 如果上述极限不存在，则称反常积分 点x=a称为函数f (x)的瑕点，反常积分也称为瑕积分.

注意

§5.6 定积分在几何上的应用 1．平面图形的面积 （1）由连续曲线y=f (x)与直线x=a, x=b, y=0所围成的平面图形的面积．

（2）由曲线y=f (x), y=g (x)与直线x=a, x=b所围成的平面图形的面积．

（3）由曲线 与直线y=c, y=d, x=0所围成的平面图形的面积.

（4）由曲线 与直线y=c, y=d所围成的平面图形的面积.

例1 求由抛物线

例2 求由抛物线 解 y 两抛物线的交点为(－1,1)和(1,1). o x

例3 解 y o x

特别，当a=b=r时，得圆的面积公式：

例4 解

2．旋转体的体积 面积元素 元素法

用元素法来求旋转体的体积 过点作垂直于x轴的平面,其面积为 体积元素

例6 求椭圆 绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积． 解 球体体积 旋转椭球体

例7 如下图所示的一个高8cm,上底半径为5cm,下底半径为3cm的圆台形工件,在中央钻一个半径为2cm的孔,如果该工件是铁制的,求它的重量.

解 铁的密度

*3．平面曲线的弧长 设函数f (x)在[a, b]上具有一阶连续导数，计算曲线f (x)上从a到b的曲线弧的弧长．

§5.7 定积分在物理及其他方面的应用 1．变力沿直线所作的功 功元素

例1 已知弹簧每拉长0.01m要用5N的力，求把弹簧拉长0.1m所作的功． 解 当x=0.01m时,F=5N, 所以k=500(N/m). (平衡点 )

例2 把一个带电量为+q的点电荷放在r轴上坐标原点O处,它产生一个电场．电场中距离原点O为r的地方有一个单位正电荷．当这个单位正电荷在电场中从点a处沿r轴移动到点b( a<b)处时，计算电场力F对它所作的功． 解 (k为常数)

例3 修建一座大桥的桥墩时先要下围囹,并要抽尽其中的水以便施工．已知围囹(看作圆柱体)的直径为20m,水深为27m,围囹高出水面3m,求抽尽围囹中的水所作的功． 解

2．液体的静压力 高度 密度 面积

﹡3.平均值与均方根