第6章 定 积 分 §1定积分概念 §2 牛顿—莱布尼茨公式 §3 可积条件 §4 定积分的性质 §5 微积分学基本定理 §6 定积分的计算 第6章 定 积 分 §1定积分概念 §2 牛顿—莱布尼茨公式 §3 可积条件　　　 §4 定积分的性质 §5 微积分学基本定理 §6 定积分的计算 小结与习题

第6章 定 积 分 §1定积分概念 §2 牛顿—莱布尼茨公式 §3 可积条件 §4 定积分的性质 §5 微积分学基本定理 §6 定积分的计算 第6章 定 积 分 §1定积分概念 §2 牛顿—莱布尼茨公式 §3 可积条件　　　 §4 定积分的性质 §5 微积分学基本定理 §6 定积分的计算 小结与习题

§6.1 定积分概念 一、问题的提出 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义

6.1 定积分的概念 教学内容： 1) 定积分概念的引入 2）“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 定积分的数学定义 1) 定积分概念的引入 2）“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 定积分的数学定义 定积分的几何意义及简单应用 重 点： 定积分的数学定义 难 点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立

定积分的演示 背景来源——面积的计算 “典型图形”面积的计算问题就产生了定积分 ！矩形的面积定义为两直角边长度的乘积 　　我们可以用大大小小的矩形将图形不断填充，但闪烁部分永远不可能恰好为矩形，这些“边角余料”无外乎是右图所示的“典型图形”（必要时可旋转） ！矩形的面积定义为两直角边长度的乘积 ？一般图形的面积是什么 “典型图形”面积的计算问题就产生了定积分

一、问题提出 1. 曲边梯形的面积 设 y = f (x)为区间[a, b] 上连续函数，且f (x)≥ 0，由曲线 y = f (x)，直线 x = a， x = b y = 0 所围成的图形称为曲边梯形。 下面讨论曲边梯形的面积

对于多边形的面积，我们在中学就已经会计算了，例如 矩形的面积 = 底×高 显然，曲边梯形的面积不能用这个公式来计算。 直与曲 不变与变

砖是直边的长方体 烟囱的截面是弯曲的圆 “直的砖”砌成了“弯的圆” 局部以直代曲

从中可以得到一个什么样的启示？ o o a b x y a b x y 虽然曲边梯形的准确面积我们不会计算，但是我们可以用一些小矩形来近似算出它的面积。 a b x y o a b x y o （四个小矩形） （九个小矩形） 从中可以得到一个什么样的启示？

小曲边梯形的底： 小曲边梯形的高： 小曲边梯形的面积：

⑴ 分割 （化整为零） 用任意的一组分点： 把 [ a, b ] 分成 n 个小区间 [ xi-1, xi ] i=1, 2, …, n 相应地把曲边梯形分为 n 个小曲边梯形，其面积分别记为ΔSi i=1, 2, …, n

⑵ 近似代替 （曲转化为直） 在每个小区间[ xi-1, xi ] 上任取一点ξi ， 于是小曲边梯形的面积 其中

⑶ 求和 （积零为整） 大曲边梯形的面积

⑷ 取极限 （直转化为曲） 让每个小区间的长度趋于零 令 若极限 存在， 则定义此极限值为曲边梯形的面积 再演示一下这个过程

定积分的演示 1、分割 将[a，b]分割为n个小区间 2、取介点 在每个小区间上任取一点xi 4、作和：S∆= 3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x)用直线段y=f(xi)代替 y 4、作和：S∆= │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ x

定积分的演示 1、分割 将[a，b]分割为n个小区间 2、取介点 在每个小区间上任取一点xi 4、作和：S∆= 5、取极限 3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x)用直线段y=f(xi)代替 y 4、作和：S∆= a b x 5、取极限

求曲边梯形的面积体现了曲转化为直、直转化为曲的辩证思想。这个计算过程，就是一个先微分后积分的过程。也就是说，把曲边梯形分割成许多小曲边梯形，在每个小曲边梯形中，把曲边看成直边，用这些小“矩形”面积的和近似地表示原来大曲边梯形的面积，从而实现了局部的曲转化为局部的直，即“以直代曲”。

然后，再把分割无限加细，通过取极限，就使小矩形面积的和，转化为原来大曲边梯形的面积。这样局部的直又反过来转化为整体的曲。这种曲转化为直，直转化为曲，以及由此所反映出来的化整为零、积零为整的思想方法，是微积分乃至整个高等数学的一个重要方法。

F 虽然是变力，但在很短一段间隔内，F的变化不大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想， 再看一个变力做功的问题。 设 质点 m 受力 的作用，在变力F的作用下，沿直线由 A 点运动到 B 点，求变力作的功 F(x) A B F 虽然是变力，但在很短一段间隔内，F的变化不大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想， 上一页 下一页

⑴ 分割 用任意的一组分点： 把 [ a, b ] 分成 n 个小区间 [ ti-1, ti ] i=1, 2, …, n ⑵ 近似代替 在 [ ti-1, ti ] 上任取一点ξi ，于是在该小区间上的力 作的功

⑶ 求和 总功 ⑷ 取极限 令 若极限 存在， 则定义此极限值为力所做的功

从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如 的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义

二、定积分的定义 定义: 在 [a, b] 内任取一组分点 将 [a, b] 分成 n个子区间Δi= [xi-1, xi ] i=1, 2, … , n 这些分点构成[a, b] 的一个分割，记为 T = { x0, x1, …, xn } = { Δ1, Δ2, … , Δn } 记 Δxi = xi – xi-1 ， 并称 为分割 T 的模

定义: 设函数 f (x) 在 [a, b] 上有定义, 对[a, b]的一个分割T = { Δ1, Δ2, … , Δn } ，任取点 i  Δi , i=1, 2, … , n ，作和 称此和式为 f 在 [a, b] 上的一个积分和，也称为黎曼（Riemann）和

定义: 设函数 f (x) 在 [a, b] 上有定义, 若任给的ε > 0 ，总存在 δ > 0 ，使得 对[a, b]的任何分割T = { Δ1, Δ2, … , Δn } ，任意的i  Δi , i=1, 2, … , n ，只要 ||T|| < δ , 就有 则称函数 f (x) 在 [a, b] 上可积；数 J 称为 f 在 [a, b] 上的定积分. 记作

也可用极限符号来表达定积分 注 1： 积分和的极限与函数的极限有很大的区别 积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多.

注 2：定积分数值只与被积函数及积分区间 [a, b] 有关, 与积分变量记号无关

曲线 y = f (x) ≥ 0，直线 x = a， x = b， y = 0 所围成的曲边梯形面积可用定积分表示为 变力作功问题可表示为

注： 1. 与 的差别 是 的全体原函数 是函数 是一个和式的极限 是一个确定的常数 2 .当 的极限存在时，其极限值仅与被积函数 的全体原函数 是函数 是一个和式的极限 是一个确定的常数 2 .当 的极限存在时，其极限值仅与被积函数 及积分区间 有关，而与区间 的分法及 点的取法无关。 f(x) [a,b] 3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有 4．规定：

例 1 求在区间 [ 0, 1 ] 上，以抛物线 y = x2 为曲边的曲边三角形的面积 解 由定积分的几何意义，有 因为定积分存在，对区间 [ 0, 1 ] 取特殊的分割

将区间 [0, 1] 等分成 n 等份, 分点为 每个小区间的长度 取 则有

定积分的演示 ——曲边三角形面积的计算 Archimedes的想法：把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值: 因此, 我们有理由相信, 这个曲边三角形的面积为: 

举例 及x轴所围成的曲边梯形 的面积，用定积分表示为 与直线 由曲线 (B) 中，积分上限是 积分下限是 积分区间是 2. (A) -2 2 中，积分上限是 积分下限是 积分区间是 2. (A) -2 2 [-2,2] 3.定积分 (A) 与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关 C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关 在 上连续，则定积分 的值 4. (B) A

三 定积分的几何意义. 当 f (x) ≥ 0，定积分 的几何意义就是曲线 y = f (x) b A o x y a y=f (x) S 的几何意义就是曲线 y = f (x) 直线 x = a， x = b， y = 0 所 围成的曲边梯形的面积

就是位于 x 轴下方的曲边梯形面积的相反数. 即 当函数 f (x)  0 ， x[a, b] 时 定积分 o x y a b y=f (x) S 就是位于 x 轴下方的曲边梯形面积的相反数. 即

几何意义：

例2 利用定义计算定积分 解

四、小结 １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 3.定积分的几何意义及简单应用 分割 化整为零 求和 积零为整 求近似以直（不变）代曲（变） 求和 积零为整 取极限 取极限 精确值——定积分 3.定积分的几何意义及简单应用

思考题 将和式极限： 表示成定积分.

思考题解答 原式

§2 牛顿—莱布尼茨公式

用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。

定理.1 若函数 在 上连续， 且存在原函数 ，则 在 上可积，且 这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为 。

证 给定 任意一个分割： 这里 ， ， 用了Lagrange 中值定理。 由Cantor 定理， 在 一致连续， 所以 ， 只要

，就有 于是，当 时，对 ，有 注1：在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如 ：在 上连续，在 内可导，且 .而 只要在 上可积即可.

注2：本定理对 的要求是多余的。 设 在 可积（不一定连续）， 又设 在 上连续，并且在 上， ，则 证 任给 一分割 . 证 任给 一分割 由Lagrange中值定理 因 在 可积， 令 ，则上式右边 所以 .

例1: 解 :

例2 求 解 解 面积

例4: 解 : o x y (1,2) 3 1

例5 求极限： 解: 原式

例6 解

§6.3 可积条件 一、可积的必要条件 二、可积的充要条件 三、可积函数类

Riemann积分的定义 积分与分割、介点集的取法无关 几何意义（非负函数）： 函数图象下方图形的面积。 xi-1 xi 其中

一 可积的必要条件

注：该定理指出任何可积函数一定是有界，但要注意的是：有界函数不一定可积.

二 可积的的充要条件

【证】 下面证明式第一式.

于是 将上式从加到n，有 即 从而由下确界定义，知 同理可证第二式.

其中

第一式得证，同理可证第二式.

可类证第一式.

4.Darboux定理 :

证 （只证第一式 . 要证 :

5.可积的充要条件: Th 2 （ 充要条件1 ）

Riemann可积的第一充要条件 xi-1 xi f(x)在[a,b]上Riemann可积 其中：

Th 3 （ 充要条件2 ）

Th 3’ (充要条件2 ) Th 3’ 的几何意义及应用Th 3’的一般方法: 为应用Th 3’, 通常用下法构造分法T:当函数

Riemann可积的第二充要条件 xi-1 xi 其中： f(x)在[a,b]上Riemann可积

Riemann可积的第三充要条件 f(x)在[a,b]上Riemann可积 xi-1 xi

三． 可积函数类： 闭区间上的连续函数必可积： 【证】  根据在闭区间上连续函数性质，

所以 即

振幅 ,

时，有

即  . 从而

注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积.

§6.4 定积分的性质 一、基本性质 二、积分中值定理

一、基本性质 对定积分的补充规定: 说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．

性质1 证

性质2 证 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）

性质3 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 则 （定积分对于积分区间具有可加性）

性质4 性质5 证

解 令 于是

性质5的推论： （1） 证

性质5的推论： （2） 证 说明： 可积性是显然的.

性质6 证 （此性质可用于估计积分值的大致范围）

解

解

二 定积分中值定理 定理6.7（积分第一中值定理） 积分中值公式 证 由闭区间上连续函数的介值定理知

使 即 积分中值公式的几何解释：

解 由积分中值定理知有 使

2.推广的积分第二中值定理 由积分不等式，我们有

推论1是推广的积分第一中值定理与连续函数取中间值定理的直接结论。

三、小结 １．定积分的性质 （注意估值性质、积分中值定理的应用） ２．典型问题 （１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小．

思考题

思考题解答 例

§6.5 微积分学基本定理

物体所经过的路程显然有两种表达方式: 第一种: 第二种:

定义

证明:

补充 证

分析: 前提 只须

证明:

(i) 解决了原函数的存在性问题 精僻地得出: 上的连续函数一定存在原函数,且 是 的一个原函数这一基本结论. (ii) 沟通了导数与定积分之间的内在联系 为微分学和积分学架起了桥梁,因此被称为微积分学 基本定理. (iii) 为寻找定积分的计算方法提供了理论依据 定理指出 是 的一个原函数,而 又是变上限 积分,故

比较变速直线运动中 等式左端同是[ a , b ]上的定积分,等式右端又 都是原函数在[a , b ]上的增量. 共同点:

前提条件 分析:

证明: 此式称为定积分的基本公式.又称牛顿----莱布尼兹公式 常表示为

例1 求 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 解

证

证 令

例4 求 解 原式 例5 设 , 求 . 解

例6 求 解 由图形可知

六、小结 1.积分上限函数 2.积分上限函数的导数 3.微积分基本公式 牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．

思考题

思考题解答

6.6 换元积分法与分部积分法 一、换元公式 二、分部积分公式 三、泰勒公式的积分型余项 四、小结

一、换元公式 定理

证

例1 计算 解 令

应用换元公式时应注意（一）: （1） （2） （3）

又解例1 计算 解

例2 计算 解

例3 计算 解 原式

例4 计算 解 令 原式

应用换元公式时应注意（二）: （1） 不可以！ （2） （3）

证

例6 计算 解 原式 偶函数 奇函数 单位圆的面积

证 （1）设

（2）设

二、分部积分公式 定积分的分部积分公式 推导

例8 计算 解 令 则

例9 计算 解

例10 计算 解

例11 设 求 解

例12 证明定积分公式 为正偶数 为大于1的正奇数 证 设

积分 关于下标的递推公式 直到下标减到0或1为止

于是

例13 解 例14 计算 解

例15 证明 证明

三、小结 定积分的换元法 几个特殊积分、定积分的几个等式 定积分的分部积分公式 （注意与不定积分分部积分法的区别）

思考题1 解 令

思考题1解答 计算中第二步是错误的. 正确解法是

思考题2

思考题2解答

定积分习题课

一、主要内容 存在定理 可积条件 定积分 定积分 的性质 定积分的 计算法 问题1: 问题2: 牛顿-莱布尼茨公式 曲边梯形的面积 变速直线运动的路程 定积分 存在定理 可积条件 定积分 的性质 定积分的 计算法 牛顿-莱布尼茨公式

1、问题的提出 实例1 （求曲边梯形的面积A）

实例2 （求变速直线运动的路程） 方法:分割、求和、取极限.

2、定积分的定义 定义

记为

3、可积条件 可积的充分条件： 定理1 定理2

Riemann可积的第一充要条件 xi-1 xi f(x)在[a,b]上Riemann可积 其中：

Riemann可积的第二充要条件 xi-1 xi 其中： f(x)在[a,b]上Riemann可积

Riemann可积的第三充要条件 f(x)在[a,b]上Riemann可积 xi-1 xi

4、定积分的性质 性质1 性质2 性质3

性质4 性质5 推论： （1） （2）

性质6 性质7 (定积分中值定理) 积分中值公式

5、牛顿—莱布尼茨公式 定理1 定理2（原函数存在定理）

定理 3（微积分基本公式） 也可写成 牛顿—莱布尼茨公式

6、定积分的计算法 （1）换元法 换元公式 （2）分部积分法 分部积分公式

二、典型例题 例1 解

例2 解

例3 解

例4 解

例5 解

例6 解 是偶函数,

例7 解

例8 证

例9 证 作辅助函数