主讲: 李椋京 丁雪艳 福建信息职业技术学院建筑工程系 土木工程力学 主讲: 李椋京 丁雪艳 福建信息职业技术学院建筑工程系

第五章 截面的几何性质 5.1 重心和形心 5.2 静矩 5.3 惯性矩、惯性积、惯性半径、极惯性矩 5.4 平行移轴公式

在构件设计中，经常会遇到与构件横截面的形状及尺寸有关的几何量，称为平面图形的几何性质。例如面积A、极惯性矩Ip等。 截面的几何性质是影响构件承载力的重要因素，以后在弯曲等问题的计算中，还将常用到平面图形的另外一些几何性质,本章专门介绍它们的概念和计算方法。

5.1 重心和形心

5.1.1 重心和形心 1．重 心 现在来讨论一般物体重心的坐标公式。设有一重为G的物体，将它分成许多微小部分，若各微小部分的重力分别用△G1、△G2、…、△Gn表示，则有 G=△Gl+△G2+…+△Gn 即 G=∑△Gi

对y轴应用合力矩定理有 my（G）=Σmy（ΔGi) 同理可得

2．形心 若物体是均质的，则物体每单位体积的重量γ是常量。设均质物体各微小部分的体积分别为ΔV1、ΔV2、…、ΔVn，整个物体的体积为V，则有 G=γV ΔGl=γΔV1,ΔG2=γΔV2 ，…,ΔGn=γΔVn

将上述关系代入并消去γ后得： 当微小部分无限小时，则上式右边变成积分形式： 均质物体的形心和重心是重合的

等厚均质平薄板或平面图形形心

对于具有对称面、对称轴或对称中心的均质物体，其形心必在其对称面、对称轴或对称中心上。

5.1.2 重心（形心）的计算 1、积分法 对于简单图形的重心（形心）坐标，均可由积分法求得。 下面举例说明

【例5．1】 用积分法求二次抛物线y=x2的形心坐标(图5．3)。

【解】 1)分析。取坐标如图5．3所示，把OBD分成无数与y轴平行的狭条，任一狭条的宽度为dx，高度为y，面积为dA=ydx。 2)计算 同理可得 dy

2. 查表法 3．均质组合形体重心(形心)的求法 工程中有一些图形比较复杂，但它们往往是由圆形、矩形三角形等简单形组合而成，通常把这种形体称为组合形体。求组合形体的形心一般有两种方法，分割法和负面积法。

【例5．2】 不等肢角钢的截面近似简化如图5．4所示．试求其形心。

【解】 1)将该图形分成及两个矩形。取坐标系如图5．4所示。 【解】 1)将该图形分成及两个矩形。取坐标系如图5．4所示。 2)根据对称性，两矩形的形心在各自对称轴的交点上，其面积和形心坐标分别 A1=(150一10)×1 0=1400(mm) x1= 5mm y1=1 0+ (150一10)/2=80(mm) A2=100 ×10=1000(mm) x2=50mm y2=5mm 3)根据公式得 xc=23.75mm yc=48.75mm

【例5．3】半圆环形均质等厚薄板，外径 1200mm，内径400mm，如图5.5所示。求板的重心位置。

将半圆环视为半径为600的A1半圆形，挖除半径为200的A2小半圆形所得到的形体。 【解】 均质薄板沿厚度方向的中间平面为对称面．所以重心必在中心的对称面内。在平面内建立坐标如图 5．5所示，y轴为对称轴，故重心在y轴，xc=0 将半圆环视为半径为600的A1半圆形，挖除半径为200的A2小半圆形所得到的形体。 t 查表可得： 代入公式可得重心C的坐标为

5.2 静 矩

5.2.1 定义 取微面积dA．dA的坐标分别为y和z．则ydA、zdA分别称为微面积dA对于z轴和y轴的静矩。 y dA 5.2.1 定义 取微面积dA．dA的坐标分别为y和z．则ydA、zdA分别称为微面积dA对于z轴和y轴的静矩。 dA z y 同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩不同。 静矩是代数量，可能为正，也可能为负或为零。 常用单位为米的三次方(m 3)或毫米的三次方(mm3)。

【例5．4】 已知三角形高为h，底边长为b，如图5．8所示，计算截面对于与其底边重合的z轴的静矩。

【解】 计算此截面对于z轴的静矩Sz时，可以取平行于z轴的狭长条(如图所示)作为面积元素(因其上各点的y坐标相等)，即dA=zdy，由相似三角形关系可得

由上一节可知，平面图形的形心坐标公式 5.2.2 静矩与形心坐标的关系 y dA 由此可得平面图形的静矩为 Sy=zcA Sz=ycA z 5.2.2 静矩与形心坐标的关系 由上一节可知，平面图形的形心坐标公式 dA z y C 由此可得平面图形的静矩为 Sy=zcA Sz=ycA 当坐标轴通过截面的形心时，其静矩为零；反之，若截面对某轴的静矩为零，则该轴必通过截面的形心。

5.2.3 组合图形静矩的计算 工程实际中，许多构件的截面是由矩形、圆形等简单图形组合而成。根据静矩的定义，组合图形对某轴的静矩等于各个简单图形对同一轴静矩的代数和，即

【例5．5】 试计算图5．9所示截面对z轴和y轴的静矩。已知a=50mm。

【解】 1)分析。图示截面可看成是由矩形减去半圆。设矩形的面积为A1，半圆的面积为A2，由于A2是要被减去的，故该面积取负值。 2)计算Sy。由于y轴是对称轴，通过截面形 心，所以该截面对y轴的静矩为零，即 Sy=0 3)计算Sz为

5.3 惯性矩、惯性积、惯性半径、 极惯性矩

一、惯性矩： 二、惯性积：面积与其到两轴距离之积。 面积与它到轴的距离的平方之积。 y 如果 z 或 y 是对称轴，则Izy =0 dA r 如果 z 或 y 是对称轴，则Izy =0 惯性矩恒为正值，而惯性积则可能为正值或负值，也可能为零。 单位是米的四次方(m4)和毫米的四次方(mm4)。

三、极惯性矩： 面积与它到极点的距离的平方的乘积。 dA z y r 恒为正值 单位是米的四次方(m4)和毫米的四次方(mm4)

四、惯性半径 ——分别为截面对z、y轴的惯性半径。 单位（m）

【例5．6】 试计算如图5．11所示高为h，宽为b的矩形截面对形心轴z轴的惯性矩。

【解】 任取平行于z轴的狭长条作为面积元素 dA=bdy 则 同理可的

【例5.7】 计算如图5.1 2所示的圆形截面对O点的极惯性矩和对z轴的惯性矩。

【解】 1)计算极惯性矩，Iρ 取圆环形微面积dA=2πρdρ，微面积上各点到坐标原点的距离均为ρ，则有 2)计算惯性矩Iz与Iy 由式Iρ=Iz+Iy，且z轴和y轴都是圆形截面的对称轴，有 Iz=Iy 则 Iz=Iy=Iρ/2

5.4 平行移轴公式

5.4.1 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 同理可得 在所有相互平行的轴中，截面对形心轴的惯性矩为最小。

【例5．8】 计算如图5．1 4所示的矩形截面对z1轴和y1轴的惯性矩。

【解】 根据前面的知识可知，矩形截面对其形心轴的惯性矩为 Iz=bh3/12 Iy=hb3/12 于是利用平行移轴公式可得

5.4.2 组合图形的惯性矩 由惯性矩的定义可知，组合图形对某轴的惯性矩，就等于组成它的简单图形对同一轴惯性矩之和，即

【例5.10】 空心水泥板的截面图形如图5.1 6所示，试求它对z和y轴的惯性矩。

习题5.6 求如图所示截面对形心轴的惯性矩Iz。

结 束