3.6 力的轉動效應

平衡絕技 在雜技表演中，表演者要令身體平衡、不掉下去，須符合甚麼條件？ 1. 沒有淨力 2. 沒有淨轉矩

1 轉矩 力能令剛體 (固定形狀及大小) 圍繞一點轉動。 例子：開門或開窗

力在某點產生的轉動效應取決於： 力的量值 力與轉動點之間的垂直距離 較小的力 較大的力 效應可能相同!!!

1 在門邊固定一個膠吸盤， 把彈簧秤鈎在吸盤上。 向門施加一個與它垂直的 力，把門打開。 實驗 3g 1 在門邊固定一個膠吸盤， 把彈簧秤鈎在吸盤上。 向門施加一個與它垂直的 力，把門打開。 2 縮短吸盤與門鉸的距離， 重複步驟。 工作紙 答案

力對某一點所產生的轉動效應，由力矩 或 轉矩來量度： 力對某一點的力矩 / 轉矩 = 力  力至該點的垂直矩離  = F  d

轉動點：支點 力與支點之間的垂直距離：矩臂 轉矩是矢量，單位：N m 方向：順時針或逆時針 順時針的轉距 逆時針的轉距

力 F 從不同的角度作用於門的同一位置。 矩臂長度(d )不同 轉矩不同 最大的轉矩 最小的轉矩

轉矩在日常生活中的例子：

例題 19 男孩用 30 N 的力推開闊 80 cm 的門。 d (a) 轉矩 = ？ 轉矩 = F  d = 30  0.8 = 24 N m（順時針方向）

(b) d 轉矩 = ？ 轉矩 = F  d = 30  (0.8  sin 60) = 20.8 N m（順時針方向）

把 F 分解，用它與門垂直的分量來找出轉矩。 另解： 把 F 分解，用它與門垂直的分量來找出轉矩。 30  sin 60 30  cos60 轉矩 = F  d = (30  sin 60)  0.8 = 20.8 N m（順時針方向）

進度評估 8 – Q1 求男孩的推力對旋轉軸的轉矩。 轉矩 = F  d = 15  2.2 = 33 N m（順時針方向）

力 F 作用在一剛體上，剛體繞 O 點轉動。 F 的量值 = 20 N F 對 O 點的轉矩 = ？ 轉矩 = F  d 進度評估 8 – Q2 力 F 作用在一剛體上，剛體繞 O 點轉動。 0.1  sin 70 F 的量值 = 20 N F 對 O 點的轉矩 = ？ 轉矩 = F  d = 20  (0.1  sin 70) = 1.88 N m（順時針方向）

Torque = F  d = (20  sin 70)  0.1 = 1.88 N m (clockwise) 20  cos70 Torque = F  d = (20  sin 70)  0.1 = 1.88 N m (clockwise)

2 轉矩的相加 相加 同一方向 的轉矩給予 較大的轉矩。 相加 不同方向 的轉矩給予 較小的轉矩。

兩個平行但方向相反的力，作用在不同的直線上。 a 力偶 兩個平行但方向相反的力互相抵銷。 開瓶器不會轉動。 兩個平行但方向相反的力，作用在不同的直線上。 開瓶器會轉動。

兩個量值相等但方向相反的平行力，同時施加於同一物體，但又不是作用在同一直線時，便構成一對力偶。 注意： 力偶的合力 = 0 但是，合轉矩  0 合轉矩  = F  d d = 垂直距離

日常生活中力偶的例子： 轉動軚盤 轉動扭蛋機轉鈕 轉動罐頭刀把手

淨轉矩：所有作用於同一物體，對同一點的 轉矩總和。 b 淨轉矩 淨轉矩：所有作用於同一物體，對同一點的 轉矩總和。 取順時針方向為正。 淨轉矩 = 順時針合轉矩 – 逆時針合轉矩 若物體不轉動，則 順時針合轉矩 = 逆時針合轉矩 淨轉矩 = 0

例題 20 兩個小童一起轉動旋轉輪。 旋轉輪直徑 = 1.8 m A 所施的力 = 30 N B 所施的力 = 50 N

(a) 如果 A 和 B 都按順時針方向施力， 淨轉矩 = ？ 取順時針方向為正。 1.8 2 1.8 2 淨轉矩 = 30  + 50  = 72 N m 淨轉矩是 72 N m（順時針方向）。

(b) 如果 B 改為按逆時針方向施力， 淨轉矩 = ？ 取順時針方向為正。 1.8 2 1.8 2 淨轉矩 = 30  – 50  = –18 N m 淨轉矩是 18 N m（逆時針方向）。

轉輪會按 ____________ 方向轉動。 進度評估 9 – Q1 淨轉矩 = ？ 轉動方向 = ？ 取順時針方向為正。 淨轉矩 = 30  0.3 – 20  0.5 = –1 N m 逆時針 轉輪會按 ____________ 方向轉動。

3 剛體的平衡 剛體靜止不動時：平衡狀態 要令物體保持平衡，必須達到兩個條件： = 1 沒有淨力：因此作用於物體的力都互相平衡。 3 剛體的平衡 剛體靜止不動時：平衡狀態 要令物體保持平衡，必須達到兩個條件： 1 沒有淨力：因此作用於物體的力都互相平衡。 2 沒有淨轉矩：作用於物體的力對任何一點的轉矩總和都是零，即 順時針方向 的合轉矩 逆時針方向 的合轉矩 =

日常生活中要保持平衡的例子： 以天平量度重量 體操運動員站在平衡木上 雜技人表演踩鋼線

例題 21 一把水平擺放的米尺上刻有 5 點，把米尺分成 4 等份。 力以兩種不同的方法作用於米尺： 情況 1： 情況 2：

(a) 在兩個情況下，作用於米尺的淨力，以及 對 O 點和 A 點的淨轉矩 = ？ 取順時針方向為正。 情況 1 情況 2 淨力 對 O 點的淨轉矩 對 A 點的淨轉矩 F = 5 – 5 = 0 F = 5 + 5 = 10  = 5  0.25 – 5  0.25 = 0  = 5  0.25 – 5  0.25 = 0  = 5  0.25 – 5  0.25 = 0  = 5  0.25 + 5  0.75 = 5 N m

(b) 哪把尺處於平衡狀態？ 試作簡單解釋。 情況 1 的米尺。 沒有淨力及沒有淨轉矩在尺上任何一點。

例題 22 A 和 B：距離支點 1.5 m 書包：放在支點上 A 的質量 = 30 kg B 的質量 = 28 kg 書包的質量 = 10 kg 假設：蹺蹺板的長板十分輕。

(a) 兩個書包應放在哪個 位置才能回復蹺蹺板 的平衡？ 應該加入順時針方向的轉矩。 設 d 為書包與支點間的距離。 取順時針方向為正。

d 處於平衡狀態時， 順時針合轉矩 = 逆時針合轉矩 d = 0.3 m 書包須放在支點右面 0.3 m 處。 X 於 X 點： 10  9.81 30  9.81 28  9.81 於 X 點： 順時針合轉矩 = 逆時針合轉矩 28  9.81  1.5 + 10  9.81  d = 30  9.81  1.5 d = 0.3 m 書包須放在支點右面 0.3 m 處。

(b) 支點對長板所作出的支持力 R = ? R 沒有淨力 WA W書包 WB  R = WA + WB + W書包 = 667.1 N = 30  9.81 + 28  9.81 + 10  9.81 = 667.1 N

偉明在 A 點放上 3 kg 的砝碼，然後在另一邊放上 2 kg 的砝碼，嘗試令天平保持平衡。 進度評估 10 – Q1 （第 1 至 2 題） 下圖顯示一個平衡的天平。 偉明在 A 點放上 3 kg 的砝碼，然後在另一邊放上 2 kg 的砝碼，嘗試令天平保持平衡。

加上兩個砝碼後，在 B 點的支持力增加了多少？ R 2  9.81 3  9.81 增加的 R = 增加的重量 = 2  9.81 + 3  9.81 = 49.1 N

2 kg 的砝碼應放在哪個位置？ 取順時針方向為正。 設 d 為 2 kg 的砝碼與 B 的距離。 處於平衡狀態時， 在 B 點 進度評估 10 – Q2 2 kg 的砝碼應放在哪個位置？ 取順時針方向為正。 設 d 為 2 kg 的砝碼與 B 的距離。 處於平衡狀態時， 在 B 點 順時針合轉矩 = 逆時針合轉矩 2  9.81  d = 3  9.81  0.5 d = 0.75 m （B 右方）

4 重心 你能用指頭托起硬幣或間尺嗎？ 是否任何物件都可只用一個支撐點來托起？

每個剛體都有的固定點，剛體的重量好像作用於這一點。 重心 (c.g.)： 當支持力與物體的重心位於同一條直線， 物體的重量和支持力不產生轉矩 保持平衡

重心一定在這線上某處

視訊

實驗 3h 1 用卡紙隨意剪出一個形狀。 2 把剪出來的卡紙及一根 繩子，一同從卡紙邊緣 上的一點懸起。 在卡紙上標記繩子的位 置。

3 改用卡紙的另一點重複步驟 2。 卡紙的重心就在兩個標記的中間點。

4 試用一支鉛筆在重心支撐起卡紙。 剪出另一個形狀的卡紙，重複實驗。 視訊 工作紙 答案

只要在重心支撐物體，便可令物體保持平衡。 系統的重心位置影響它的穩定性。 淨力 = 0 淨轉距 = 0 淨轉距  0 淨轉距 = 0

雙腿緊貼牆，是否可彎下上身(手到地)而不倒？ 重心 不可能 ！ 當彎下時，重心會移離腳底而令你反側。 重量

如雙腿不緊貼牆，是否可彎下上身(手到地)而不倒？ 可能！ 上身可向後彎，令重心移至腳底。

例題 23 雜技人在載着乘客時較易在鋼線上保持平衡，還是沒有載客時較易平衡？試作簡單解釋。

雜技人獨自表演時，重心在鋼線上方。 如果身體稍向兩邊傾斜， 重量便會產生轉矩，令他進一步傾側 必須令重心保持在鋼線正上方才能 平衡，這是很困難的

雜技人載着乘客時，系統的重心位於鋼線下方。 如果他們稍向兩邊傾斜， 兩人合起來的重心便會產生轉矩，使他們返回平衡位置 較易保持平衡 視訊

例題 24 工人站在高空工作台的中央。 平台的寬度 = 3 m 平台的重心位於中央。 工人的質量 = 70 kg 52

(a) 平台兩端連接的鋼索 的張力 = ？ 在平衡狀態時： 對 A 點的淨轉矩 = 0 TB = 2796 N (70  9.81) (500  9.81) 對 A 點的淨轉矩 = 0 (70  9.81)  1.5 + (500  9.81)  1.5 = TB  3 TB = 2796 N 53

淨力 = 0 TA + 2796 = (70  9.81) + (500  9.81) TA = 2796 N 每條鋼索的張力是 2796 N。 54

(b) 工人向 B 的方向 移動 1 m。 張力 = ？ 在平衡狀態時， 對 A 點的淨轉矩 = 0 TB = 3024.8 N (70  9.81) 對 A 點的淨轉矩 = 0 (500  9.81) (70  9.81)  (1.5 + 1) + (500  9.81)  1.5 = TB  3 TB = 3024.8 N 55

連接 A 點鋼索的張力是 2566.9 N，連接 B 點鋼索的張力是 3024.8 N。 淨力 = 0 TA + 3024.8 = (70  9.81) + (500  9.81) TA = 2566.9 N 連接 A 點鋼索的張力是 2566.9 N，連接 B 點鋼索的張力是 3024.8 N。 56

重做： (a) 平台兩端連接的鋼索 的張力 = ？ 在平衡狀態時： 對 B 點的淨轉矩 = 0 (70  9.81) (500  9.81) 對 B 點的淨轉矩 = 0 57

（第 1 至 2 題） 木板： 長 4 m、重 100 N，重心位於它的中央 工人： 重 800 N，距離木板末端 1 m 進度評估 11 – Q1 （第 1 至 2 題） 木板： 長 4 m、重 100 N，重心位於它的中央 工人： 重 800 N，距離木板末端 1 m

考慮對 B 點的轉矩，求 X 的值。 以 B 點為支點計算轉矩。處於平衡狀態時， X  4 = 800  3 + 100  2 進度評估 11 – Q1 考慮對 B 點的轉矩，求 X 的值。 以 B 點為支點計算轉矩。處於平衡狀態時， X  4 = 800  3 + 100  2 X = 650 N

進度評估 11 – Q2 考慮作用於木板的淨力，求 Y 的值。 淨力 = 0 650 + Y = 800 + 100 Y = 250 N

進度評估 11 – Q1 重做： 考慮對 A 點的轉矩，求 Y 的值。

例題 25 風帆選手用繩把重量為 80 N 的帆慢慢地拉起。 80 N 他向繩子施加力 T 時，帆平躺水面不動。 62

(a) 帆的重心與接合點相距 2 m。 T =？ 以接合點為支點計算轉矩。 順時針合轉矩 = 逆時針合轉矩 2.5sin 30 以接合點為支點計算轉矩。 80 N 順時針合轉矩 = 逆時針合轉矩 T  (2.5  sin 30) = 80  2 T = 128 N 63

(b) 風帆選手終於把帆拉起。 一陣風以垂直方向吹向帆，在帆每 m2 的 面積施加 40 N 的力。 64

(i) 如果帆的面積是 7 m2，風作用在帆上 的總力 = ？ 總力 = 40  7 = 280 N 65

(ii) 若把帆轉動 15，風作用在帆上的力 = ？ 把風作用的力分解。 280cos 15 280sin15 風作用在帆的力 = 與帆垂直的分量 = 280  cos 15 = 270 N 66

習題與思考 3.6 文章 (p.183) 15/10/2014 交

(p. 169) 1 T 重力 = m  g 68

2 T 69

3 T 例：物體原先是移動中 70

4 F 71

5 F 72

自行閱讀: 對運動與力的錯誤概念 - p.184 答案 - p.362

教育電視：短跑背後的力和運動 http://resources.hkedcity.net/resource_detail.php?rid=1671324103

完