初等模型（2） 一、录象机计数器的用途 二、优秀成果评选公平性问题 三、生小兔问题 四、动物繁殖的规律 五、棋子颜色的变化

1、问题的提出 老式录象机或一些录音机上有计数器，而没有 计时器。因而问题产生：一盘180分钟的带子，计数 器从0000变到6061。当带子用到4450时，剩下的带 子可否录下一个小时的节目。 问题所在：录象带读数并非随时间而均匀增长，是 先快后慢。 要建立的模型：计数器读数与录象带转过的时间之 间的关系。

2、问题分析——读数的增长为何先快后慢 计数器 左 右 r 主动轮转速不变 建立模型：t = f ( n )

3、模型假设 （1）录象带的线速度是常数v （2）计数器读数n 与右轮盘转的圈数（m ）成 正比，即m = k n （3）录象带的厚度（加两带间的空隙）是常数w （4）空右轮盘半径为r， 初始时刻：t=0时n=0 几个角度建立模型！

4、模型的建立 方法一、 = = vt （1） 模型： （2） 左轮盘所有圈数的长度 录象带转过的长度 其中m为圈数，则m=kn w相对r较小，忽略该项

4、模型的建立 方法二、 录象带转过的长度与厚度的乘积 左轮盘面积增加 = （3）

4、模型的建立 方法三、微积分法 设t = f ( n ) 考虑从第n到第n+△n圈（此时第n+1圈未走完) 因此： 读数器为n时 △kn

5、参数估计 记 b a 问题：测试一组数据估计： t = a n + b n

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二、优秀成果评选公平性问题 1、问题：设有N个评委组成的评选委员会， 有M项研究成果，评委会要从中选m<M 项优秀成果，但有些评委是某些成果的 完成者，应如何处理此问题才是公平的？ 方案一：按得票多少排序 方案二：评委不参加对自己的成果投票，再 按得票率排队

方案（2）是否公平分析 设某成果涉及C个评委，他们回避后该项 成果得p(≤N－C)票。 （1）回避得票率 （2）不回避得票率

方案（2）还是不公平？ 除p=N－C外，对每个p，均有r 1 ( p ) < r 2 ( p ) r 1 r2 r1 p N－C

应采用折中方案 度量得票多少的函数q ( p )应满足如下条件： （1） q ( p )是p的单调增函数 （2）r 1 ( p ) < q ( p ) < r 2 ( p ) ，0 < p < N－ C （3）q ( 0 ) = 0，q ( N – C ) = 1

一个简单实用公平的度量函数 还有吗？

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三、生小兔问题 1、问题： 兔子出生以后两个月就能生小兔，如果每月 生一次且恰好生一对小兔，且出生的兔子都成 活，试问一年以后共有多少对兔子，两年后有 多少对兔子? 注：这是13世纪意大利比萨的一位叫伦纳德，绰号为斐波那 契(Fibonacd，1170—1250)的数学家，在一本题为《算 盘书》的数学著作中，提出的一个有趣的问题。

2、图示

3、问题分析 第一个月：只有一对小兔。 第二个月：小兔子末成熟不会生殖，仍只一对， 第三个月；这对兔子生了一对小免，共有两对。 第四个月：老兔子又生了一对小免，而上月出 生的小免还未成熟，这时共有三对。

4、问题分析与模型建立 记r i 表示第i个月的兔子数 （1） r 1 = 1 （2） r 2 = 1 （3）规律： 2年后兔子的对数：75025

5、 Fibonacd数列的奇特性质

6、 Fibonacd数列的广泛应用 1、一本专门研究它的杂志——《斐波那契季刊》 (Fibonacci Quarterly)于1963年开始发行，在美 国还专门设立了Fibonacci数委员会。 2、上世纪50年代出现的“优选法”中，也有斐波那 契数列的巧妙应用。 3、斐波那契数列不只是在生小免问题中才会遇到， 它也出现在自然界、生活中...…，如植物的叶 序、菠萝的鳞片、树枝的生长、蜜蜂进蜂房的 路线、钢琴键盘等

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四、动物繁殖的规律 1、问题： 某动物的最大年龄为15岁，按年龄分三组： （1）0~5岁 （2）6~10岁 （3）11~15岁。从 （1）0~5岁 （2）6~10岁 （3）11~15岁。从 第（2）年龄组后开始繁殖。第（2）年龄组平 均繁殖4个，第（3）年龄组平均繁殖3个。第 （1）（2）年龄组分别进入下一年龄组的存活 率为0.5，0.25。现设三个年龄组的数量分别为 1000，问：5年、10年、15年后各年龄段动物 数量，并且20年后各年龄段动物数量又如何？

2、问题分析 设：以5年为1年龄段，t为时间段，各年龄段的数 量为： X(t)=[ x 1 (t) x 2 (t) x 3 ( t) ]/ 初始时刻的数量： X(0)=[ x 1 (0) x 2 (0) x 3 (0t) ]/=[1000 1000 1000]/ 则： 第1年龄段 第2年龄段 第3年龄段

3、模型

4、求解5年、10年及15年数量 5年 10年 15年 20年 第1年龄段 7000 2750 14375 8125 第2年龄段 500 3500 1375 7187.5 第3年龄段 250 125 875 343.8

5、思考？ （1）当有足够大的时间t时，模型有什么 规律？ （代数性质） （2）如果每5年平均向市场供应动物数是： 规律？ （代数性质） （2）如果每5年平均向市场供应动物数是： c = [ s s s ] /，问动物不在灭绝的前提 下，c应取多少？ （3）在动物不在灭绝的前提下，每5年应 如何规划使得20年内向市场供应的数 量最大？

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五、棋子颜色的变化 1、问题： 任意拿出黑白两种颜色的棋子共8个，排成如 下图所示的圆圆，然后在两颗颜色相同的棋子中 间放一颗黑色棋子，在两颜色不同的棋子中间放 一颗白色棋子，放完后撤掉原来所放的棋子。再 重复以上的过程，问这样重复进行下去各棋子的 颜色会怎样变化呢?

2、最终结论是什么？ 可完全用数学的推理方法说明最多经 过8次变换，各棋子的颜色都会变黑。

3、分析 注意：规则是两同色的棋子中间加黑色棋子，两异 色的棋子中间加白色棋子，即黑黑得黑，白 白得黑，黑白得白，与有理数符号规则类似。 方法：用+1表尔黑色，用－l表示白色，开始摆的八 颗棋子记为a1，a2，...，a8，并且a k＝+1或-1， k＝1，2，…，8，下一次在al与a2中间摆的棋 子的颜色由a1和a2是同色还是异色而定。类 似的a k a k+1正好给出了所放棋子的颜色。

4、符号运算规则 规则：黑黑得黑，白白得黑，黑白得白 引入记号⊙，则： (＋1) ⊙(＋1)＝(＋１)^２= ＋１ (－1) ⊙(－1)＝(－１)^２= ＋１ 　　　(＋1) ⊙(－1)＝－１

5、各次颜色的确定 可见：最多经过8次变换以后，各个数都变 成丁+1，这意味着所有棋子都是黑色，且以后 重复上述过程，颜色也就不再变化了。

小组讨论题 d4-01：跑步与走路时如何节省能量 我们每个人都有跑步的经历，有人会因此 而疲惫不堪，但是有谁会想：怎样跑步能使我 们消耗的能量最少?

结 束！

不公平！ 对非评委的研究成果的完成者不公平， 因为评委对自己完成的成果投赞成票的可 能性最大。 back

（1）规律： back 当时间t足够大时，满足： 如何求？ Matlab命令： 特征值命令：d=eig(A) 求正数: [i,j]=find(d>0) back

（2）如何取c值？ 由于： 故： 即： Matlab求不等式解：c=[152 152 152] back

（3）如何使数量最大？ 设c=[ c1 c 2 c 3 c 4]为每个5年的供应量，则： back