第一章 现实世界中的数学模型

第一节 现实世界的模型

在现实生活中，我们对“模型”（Model）这个名词并 不陌生。我们经常谈到“物理模型”、“化学模型”、“生物 模型”等。 “原型”（Prototype）和“模型”是一对对偶体。 原型：是指人们在现实世界里关心、研究或从事生 产、管理的实际对象。在科技领域中通常使用系统、过 程等词汇来描述相应的对象。

模型：指为了某个特定的目的将原型的一部分信息简 缩、提炼而构成的原型替代物。 尤其要说明的是：模型不是原型原封不动的复制品。 原型有各个方面和各个层次的特征，而模型只要求与某 种目的有关的那些方面和层次。 模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。

一、形象模型 根据某种物体的实际大小，按一定比例制作的模型称 为形象模型。例如汽车模型、建筑模型都是形象模型。 形象模型又称为直观模型。

二、物理模型 物理模型主要指科研工作者为一定的目的根据相似原 理构造的模型，它不仅可以可以显示原型的外形或相似 特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究模型的 某些规律。

三、思维模型 思维模型是指人们对原型的反复认识，将获取的知识 以经验形式直接存储于人脑中，从而可以根据思维或直 觉作出相应的决策。 思维模型的特征是容易接受，也可以在一定的条件 下或得满意的结果，但是它往往带有模糊性、片面性、 主观性、偶然性等缺点。

四、符号模型 用一些比较生动、鲜明的符号来刻画某种事物的特征， 这种模型称为符号模型。例如地图、电路图、化学结构 表等。

五、数学模型 在初等数学中，我们就已经碰到了数学模型的具体问 题，只是那时并不知道这就是数学模型。我们看下面的 例子。

例 甲乙两地相距740km，某船从甲地到乙地顺水需 要30小时，从乙地到甲地逆水需要50小时，问船速、水 速各为多少？ 分析：在该问题中，两地之间的距离是已知的，并且 假定在考察问题的时间段中水的流速不变，在这样的假 设之下，我们可以得出问题的解。 求解 设水的流速为 ，船的行驶速度为 ，则当顺 水航行时有关系

当船只逆水航行时，有 即有方程组 上式即为原问题的数学表达式，又称为数学模型。

容易求出该问题的解： 。即船速为 20km/h，水速为5km/h。

在上面的例中我们看到数学模型的一般意义： 对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目 的，根据特有的内在规律，作出一些必要的假设，运用 适当的数学工具，得到一个数学结构。

注意：本课程的重点并不是单单介绍现实世界的数学 模型，而主要的是介绍建立数学模型的全部过程和求解 过程。 建立模型的过程就称为数学建模。

第二节 数学建模的重要意义

一、在一般的工程领域中，数学建模仍然大有用武之 地。 二、在高新技术领域中，数学建模几乎是必不可少 的工具。 三、数学迅速进入一些新兴领域，为数学建模开拓 了许多新的处女地。

四、数学建模在国民经济和社会活动中的具体表现： 1.预报与决策； 2.分析与设计； 3.控制与优化； 4.规划与管理。

第三节 数学模型的例子

一、椅子放稳问题 问题 一个有四个脚的方凳能否在地上放稳，如能 的话，给出具体的方法。 假设1 椅子的四个脚是等长的并且四个脚正好位于一 个四方形的顶点上； 假设2 地面是一张连续变化的曲面； 假设3 在任一时刻。椅子至少有三只脚落地。

建模 设椅子的四只脚位于点 其连线构 成一正方形，对角线的交点为坐标原点，对角线 为坐标轴（坐标系统如图所示）。 设 为 两点椅子的脚离开地面的距离只和； 为 两点的椅子的脚离开 地面的距离之和，则由条件得

注意到： 并且 椅子的四脚落地意味着 故不妨假设 则问题归结为是否存在 使得

解模 由条件对任意 ，有 且 令 则 因

由闭区间连续函数的零点定理知，存在 使得 注意到条件：椅子的四个脚中在同一时刻至少有三脚落 地，即 所以由 ，即有

此说明在问题所设的条件下，椅子可以放稳，并给出 了放稳的具体方法。 注 若在原问题中，若将一个四方形的椅子改为长方 形的桌子，则该如何求解？

二、人口增长的预报问题 随着科学技术的发展，在近几个世纪来，世界人口也 得到了快速的的增长。下面的数据表反映了近几个世纪 的人口增长情况。 年 1625 1830 1930 1960 人口（亿） 5 10 20 30 1974 1987 1999 40 50 60

从表中看出，人口每增加十亿的时间，由一百多年缩 短至十二、三年。常此以往，人口问题将严重困扰世界 经济的发展。

下表是我国在20世纪中人口发展的状况： 年 1908 1933 1953 1964 人口（亿） 3.0 4.7 6.0 7.2 1982 1990 2000 10.3 11.3 12.95

认识人口数量变化的规律，建立合适的人口模型，作 出准确的预报，是有效控制人口增长的前提。 下面介绍两个基本的人口模型，并利用表1给出的近 两个世纪的美国人口统计数据（单位：百万）对模型作 出检验，最后用它预报2010年美国的人口。

年 1790 1800 1810 1820 1830 1840 人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 1850 1860 1870 1880 1890 1900 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 1910 1920 1930 1940 1950 1960 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 1970 1980 1990 2000 204.0 226.5 251.4 281.4 表1 美国人口数据统计

一个简单的人口模型是指数模型：记今年人口为 ， 年增长率为 ，则以后第 年的人口为 ⑴指数增长模型 一个简单的人口模型是指数模型：记今年人口为 ， 年增长率为 ，则以后第 年的人口为 ⑴ 在上面的问题中，假定人口的增长率 是一个不变的常 数。 马尔萨斯（Malthus）1766-1834. 200多年前，马尔萨斯基于增长率不变的基础，建立 了著名的人口指数模型。

建模 记时刻 时的人口为 ，并视其为连续变量， 初始时 的人口为 ，从 到 时间内人口的 增量为 ，则有 令 则得到 应满足的微分方程： ⑵

由这个方程容易解得： ⑶ 当 时，⑶式表明人口将按指数规律无限增长。故 称为指数增长模型。 参数估计：⑶式中的 和 可以用表1中的数据进行 估计。为了利用简单的最小二乘法，将⑶式取对数后得 ⑷ 其中： 。

以1790年到1900年的数据拟合⑷式，可得 以1790年到2000年的全部数据拟合⑷式，可得

计算人口曲线 实际人口 1790—1900实际人口与计算人口的比较

计算人口曲线 实际人口 1790—2000实际人口与计算人口比较

年 1790 1800 1810 1820 1830 1840 人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 x1 4.2 5.5 9.5 12.5 16.5 x2 6.0 7.4 9.1 11.1 13.6 16.6 1850 1860 1870 1880 1890 1900 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 21.7 28.6 37.6 49.5 65.1 85.6 20.3 24.9 30.5 37.3 45.7 55.9 表2 指数增长模型拟合美国人口数据的结果

结果分析 用上面得到的参数 代入⑶式，将计 算结果与实际数据作比较得下表，表中计算人口 是用 1790年的数据拟合的结果；计算人口 是用全部数据拟 合的结果，用这个模型基本上能够描述19世纪以前美国 人口的增长情况，但是进入20世纪后，美国人口增长明 显放慢，此时模型不再适合了。

年 1910 1920 1930 1940 1950 1960 人口 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 x1 x2 68.4 83.7 102.5 125.5 153.6 188.0 1970 1980 1990 2000 204.0 226.5 251.4 281.4 230.1 281.7 344.8 422.1

从历史上看，指数增长模型与十九世纪以前欧洲一些 地区人口统计数据可以很好地吻合，此外，以此模型作 短时间里的人口预测可以得到较好地结果。原因是此时 人口的增长率几乎是一个不变的常数。 但是，从长期看，任何地区、任何国家的人口不可 能无限增长，这是因为人口的增长率实际上是在不断 地变化。一般情况下，当人口较小时，增长较快；当 人口达到一定数量时，增长率明显下降。因而用平均 增长率 来代替变化增长率 ，会与实际结果有较

大的差距。

⑵阻滞增长模型（Logistic模型） 分析 当人口增长到一定数量后，自然资源、环境条 件等因素对人口的增长会起到一个阻滞作用，并且随着 人口的不断增加，阻滞作用会越来越大。阻滞增长模型 就是基于这个事实，对指数增长模型的基本假设进行修 改后得到的。

建模 设增长率 随人口数量 的增长而下降，则关 系式⑵可改写成 ⑸ 其中 是 的减函数。进一步假定，设 是 的线 性函数，即 ⑹ 这里 称为固有增长率。引入 ，称为人口容量，即

当 时，人口不再增长，即 代入⑹式 得 于是⑹式为 ⑺ 把⑺代入方程⑸，得 ⑻

方程⑻右端的因子 体现人口自身的增长趋势，因子 则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用。 注意到： 越大，前一因子越大，而后一因子越小，人 口的增长是两个因子共同作用的结果。 以 为横轴， 为纵轴作 出方程⑻的图形。从该图形 中可以大致描绘出 的 图形。

Logistic模型 x—t 曲线

参数估计 为了利用简单的线性最小二乘法估计这个模型的参数 和 ，将方程⑻表为 用数值微分和曲线拟合，利用从1860到1990年的数 据计算得到 /10年，

结果分析：用上面的数据代入方程的解： ⑼ 将计算结果与实际数据加以对比：有下面的图表

年 1790 1800 1810 1820 1830 1840 人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 x1 5.0 6.5 8.3 10.7 13.7 1850 1860 1870 1880 1890 1900 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 17.5 22.3 28.3 35.8 45.0 56.2 表3 阻滞增长模型拟合美国人口数据的结果

年 1910 1920 1930 1940 1950 1960 人口 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 x1 69.7 85.5 103.9 124.5 147.2 171.3 1970 1980 1990 2000 204.0 226.5 251.4 281.4 196.2 221.2 245.3

计算人口曲线 实际人口 阻滞增长型拟合图形（1790—1990）

从数据中可以看出，在阻滞增长模型中虽然有一段时 间，数据拟合的情况不是很好，但在最后一段时间，吻 合得相当不错。 以该数据来预测2000年的人口情况，我们有 与实际数据有约 的误差，可以认为该模型是能够 令人满意的。 将2000年的数据加入，可以预测到在2010年美国人 口将达到 百万。

三、传染病的蔓延问题 问题 当某种传染病流行时，得病者人数是如何变化 的？在何时病人的增加率最大？有关部门应如何控制传 染病的蔓延？

模型一 假设：病人是通过与他人接触而将病菌传染给他人 的。进一步地假设，在单位时间内一个病人能传染的人 数为定量，记作 ，称其为传染系数。 建模 设时刻 ，有病人数 ，且初始时 再设从时刻 到时刻 时间段中病人的增量为 从而有

令 则有微分方程，并有初始条件 ⑴ 从而问题转变为一个常微分方程的初值问题.

解模 方程⑴为一阶线性齐次常系数微分方程，方程 的通解为 再由初始条件得初值问题的解为 ⑵ ⑵式表明，病人数将按指数规律无限制地增加，即

实际问题是，一个地区的人口总数是一个有限数，故 上面的模型并不适用.

模型二 假设 1.在传染病流行的地区里，总人口数 是不变 的; 2.在单位时间内一个病人能传染的健康人数量是个变 量 . 因为随着病人数的增加，健康人的数量在减少， 从而 也会减少. 为此假定 与健康人数量成正比, 其 比例系数为 ，仍然称为传染系数.

建模 设时刻 时有病人数 健康人数 。 初始时刻 时有病人数 . 由假定1，有 ⑶ 在时刻 到 的时间段中，病人数的增量为 建模 设时刻 时有病人数 健康人数 。 初始时刻 时有病人数 . 由假定1，有 ⑶ 在时刻 到 的时间段中，病人数的增量为 上式的意义是:一个病人可将ks(t)个健康人成为新的病人. 两边同除以 ，并令其趋于零，则有微分方程

⑶ 如此，把问题转变成一个微分方程.

解模 此方程是一个一阶可分离变量的微分方程，容 易解出: 两边积分，得

再由初始条件，得 所以方程的解为 变形后有

即 所以

从而原方程的解为 ⑷ 曲线的大致图形如下： 分析：当 时， 此表明所有的人都将成为病人， 这也是不合理的. 因为最终病人 数将趋于零.

此模型的一个应用是，利用该模型可以预测该传染病 何时会达到最大值. 对⑶式求导并令其为零，则有 ⑸ 由方程⑶

从而方程⑸意味着 ⑹ 即在病人数达到总人数的一半时，病人数的增加率达到 最大. 将⑹代入⑷, 得最传染 病高峰时刻为

模型三 假设: 1.在传染病流行的区域内，总人口数 是不变 的; 2.在单位时间内，一个病人能传染的健康人数量成正 比，其比例系数记为 ，称为传染系数。 3.在单位时间内，一个病人通过治疗或其它过程能够 不再成为病人的可能性记为 ，称为恢复系数。

建模 设时刻 有病人 人，健康人 ，免疫者 人，初始时刻有病人 及免疫人数为0. 由假设1及3得 ⑺ ⑻ 从时刻 到时刻 的时段中病人数的增量为

其中 为免疫者数量的增量。把 除以上式的两边， 并令其趋于零，则有微分方程： 再由⑺式得 所以

⑼ ⑽ 如此，模型三归结为求解一阶非线性微分方程组的初值 问题.

上面方程组的求解是极为困难的。我们从另一个角度 来进行讨论. 引入量 ，称为特征系数，则微分方程转变为 ⑾ 特征系数表示的是传染期内每个病人有效接触的平均人数. 此方程为变量可分离的微分方程，分离变量后求解：

得 由此得到初值问题⑾的解为 ⑿

解的分析 由于 故解曲线⑿必定在下述一个三角形区域内： 由⑽知 即随时间 的增加，健康人数 将减少。再 由⑾知当 时， 此时病人数达到了极大值 再来看当时间在增加时病人数和健康人数的极值情 况。

由于 由极限存在准则：故极限值 存在，且由于 故极限值 存在。从而由 式⑺式知极限值 必存在，且

其次，假定 则由⑻ 当 相当大时，有 此与 的存在性矛盾，所以 从图中可以看出，在健康人数初始值 的条件 下，当时间 时，健康人数量 减少，而病人数 先增加，在达 到极大值 后再减少；而在健 康人数初始值 的条件下，

当时间 增加时，健康人数量 减少，病人数量 也减 少。 结论：只有当 时传染病才会蔓延。 数量 称为阀值。显然 越大则越不容易使传染病蔓 延。由 的定义知，欲使 增大，可使恢复系数 增大 和传染系数 值降低。其实际意义是：提高医疗水平及 提高卫生保健水平，是预防传染病蔓延的良好途径。

从以上的分析中可以看到，模型三还是比较符合实际 情况的。

应 用 应用模型三，我们来估计一次传染病流行过程中被传 染者的总数。

若一次被传染病流行后健康人数量为 ，则被传染者 的总数为 ⒀ 显然， 应该满足⑿中的 时的形式 ⒁ 因为一般有 故 代入⒀、 ⒁，得近似方程， ⒂

又由于 由幂级数展开式，⒂为 略去较高项，有 ⒃ 解出，得

若记健康人数量超过阀值部分为 ，即 ⒄ 则被传染者总数为 ⒅

特别地，当健康人数量的初始值超过阀值部分很小 时，即 时，就有 ⒆ 从上面的几个式中可以看到，在阀值 提高后， 值 将变小，于是，一次传染病流行过程中被传染者总数 也会变小。

在上面的讨论中，参数 可以由实际数据估计得到的。 因初始值 从而 故由⒁得 从而 ⒆

检 验 所建立的模型在应用于实践前，还必须用已往的一些 经验和统计资料做一番检验。如果它与实际数据吻合， 检 验 所建立的模型在应用于实践前，还必须用已往的一些 经验和统计资料做一番检验。如果它与实际数据吻合， 则该模型可以用于实际的应用；如果它与实际数据吻合 得不好，则该模型还不能做定量的应用。在后一种情况 下，则需要对模型做进一步地修改，直到模型与实际数 据吻合为止。

假设有一组数据，该数据反映的是某医院每周的传染 病病人病愈和死亡的情况：（时间单位 为一周） 时间 1 2 3 4 … N 治愈人数 今以这组数据来检验模型三。为此首先求出 与 的 关系：由关系⑺，⑻，得微分方程

⒇ 该初值问题的解为 代入⑺式得到

由于病愈和死亡的人数 将指数函数按幂级数展 开： 由于病愈和死亡的人数 将指数函数按幂级数展 开： 代入到上式，并略去高阶项后得： (21)

用分离变量法求得上面方程的解 其中 由前式得到

(22) 当 则上式成为 (23) 其中， (24)

下面介绍参数 的确定方法： 当参数 各取定某个数值时，对于 由公式(23)可确定相应的理论值： 构造理论值和实际值间的误差平方和函数如下：

通过在一定的范围中寻找参数 的值 使值 成为函数 的一个极小值。 如果 很小，则说明理论公式计算得到的值是非常 接近实际值的，说明模型是经得起检验的；如果 比 较大，则说明理论计算得到的值与实际值有相当大的差 距，因此需要进行修改。

Kermak和Mckendrick利用本世纪初在印度孟买发生 的依次瘟疫中死亡人数的历史统计资料老检验模型三， 求得参数值 使得 为很 小，从而验证了模型三的合理性。 我们做了三个传染病蔓延数学模型，一个比一个更接 近实际。一次次对问题进行简化和修改，建立了愈来愈 复杂但更符合实际情况的数学模型。

第四节 建立数学模型的方法和步骤

从上面的几个例子中我们看到建立数学模型的基本方 法为： 一、模型的准备——了解问题和问题的特征； 二、模型的假设——对问题作出某些必要和合乎实际的 假设； 三、模型的建立——用适当的数学关系来刻画问题的内 部关系；

四、模型的求解——用适当的数学工具，对模型中的数 学关系进行求解； 五、模型的分析——对求出的解进行数学上的分析：对 解中的各个变量寻找数学上的关系，从而找出这些关系 的实际意义； 六、模型检验——用以往的数据对模型进行检验，以考 察该模型是否具有实际意义；

七、模型的应用——对通过检验的模型再应用于实际中。

练习 1.怎样解决下面的实际问题, 包括需要哪些数据资料? 做些什么什么观察和实验? ⑴估计一个人体内的重量; ⑵估计一种日光灯的寿命; 1.怎样解决下面的实际问题, 包括需要哪些数据资料? 做些什么什么观察和实验? ⑴估计一个人体内的重量; ⑵估计一种日光灯的寿命; ⑶决定十字路口的交通灯信号的设计;

⑷一高层办公楼有4部电梯, 早上班时非常拥挤, 试指定 合理的运行计划. 2.在椅子放稳问题中, 将椅子改为长方形的办公桌, 该如 何解决这个问题. 3.在人口增长模型中, 假定人口增长服从这样的规律: 时 刻 的人口为 从 到 时间人口的增量与 成正比, （其中 为最大容量）, 试建立模型 并求解, 并做出解的图形并与指数增长模型, 阻滞增长

模型的结果进行比较.