主要内容 § 3.1 多维随机变量及联合分布 联合分布函里数 联合分布律 联合概率密度 § 3.2 二维随机变量的边缘分布 第3章 多维随机变量及其分布 主要内容 § 3.1 多维随机变量及联合分布 联合分布函里数 联合分布律 联合概率密度 § 3.2 二维随机变量的边缘分布 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度 § 3.4 随机变量的相互独立性

§3.4 随机变量的相互独立性 【定义3.9】 设n维随机变量(X1，X2，…，Xn)的分布函数为F(x1，x2，…，xn)， 为Xi的边缘分布函数，如果对任意n个实数x1，x2，…，xn，有 (3.1) 则称X1，X2，…，Xn相互独立．

对离散型随机变量的情形，如果对于任意n个取值x1，x2，…，xn，有 §3.4 随机变量的相互独立性 等价定义 对离散型随机变量的情形，如果对于任意n个取值x1，x2，…，xn，有 (3.2) 则X1，X2，…，Xn相互独立． 对连续型随机变量，如果下式几乎处处成立 (3.3) "几乎处处成立”是指除去测度为零的点集外处处成立．

2) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 §3.4 随机变量的相互独立性 特别地，二维的情形 2) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为

在平面上几乎处处成立。 特别地，二维的情形 在平面上几乎处处成立:允许在平面上存在面积为零的集合，在其上等式 不成立. §3.4 随机变量的相互独立性 特别地，二维的情形 在平面上几乎处处成立。 在平面上几乎处处成立:允许在平面上存在面积为零的集合，在其上等式 不成立.

若X与Y相互独立，求参数a，b，c的值． 解：首先写出两个边缘分布律 §3.4 随机变量的相互独立性 【例3-16】设随机变量X和Y的联合分布律为 若X与Y相互独立，求参数a，b，c的值． 解：首先写出两个边缘分布律 Y X y1 y2 y3 x1 a 1/9 c x2 b 1/3 Y X y1 y2 y3 pi. x1 a 1/9 c a+c+1/9 x2 b 1/3 b+4/9 p.j a+1/9 b+1/9 c+1/3 a+b+c+5/9=1

【例3-16】若X与Y相互独立，求参数a，b，c的值． 解： §3.4 随机变量的相互独立性 【例3-16】若X与Y相互独立，求参数a，b，c的值． 解： 利用X与Y相互独立的条件，由 即 解之得 再由 即 将 代入得 最后利用 得 Y X y1 y2 y3 pi. x1 a 1/9 c a+c+1/9 x2 b 1/3 b+4/9 p.j a+1/9 b+1/9 c+1/3 a+b+c+5/9=1

【例3-17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为1/2的0-1分布，定义随机变量 §3.4 随机变量的相互独立性 【例3-17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为1/2的0-1分布，定义随机变量 求(X，Z)的分布律，并问X与Z是否独立？ 解：由X与Y的分布律 及独立性得到下表： X 1 与 Y pi 0.5 pj

【例3-17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为1/2的0-1分布，定义随机变量 §3.4 随机变量的相互独立性 X 1 与 Y pi 0.5 pj 【例3-17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为1/2的0-1分布，定义随机变量 求(X，Z)的分布律，并问X与Z是否独立？ 解：由X与Y的分布律及独立性得到 pij (X，Y) Z (X, Z) 0.25 0.25 0.25 0.25 (0，0) (0，1) (1，0) (1，1) 1 1 (0，1) (0，0) (1，0) (1，1)

【例3-17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为1/2的0-1分布，定义随机变量 §3.4 随机变量的相互独立性 【例3-17】已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为1/2的0-1分布，定义随机变量 求(X，Z)的分布律，并问X与Z是否独立？ 解：(X, Z)的分布律及边缘分布律为 由于Pij=Pi.P.j ,i,j=1,2,所以X与Z相互独立。 pij 0.25 (X，Y) (0，0) (0，1) (1，0) (1，1) Z 1 (X，Z) Z X 1 pi. 0.25 p.j 0.5 0.5 0.5 0.5 1

【例3-18】某电子仪器由两部件构成，以X和Y分别表示 两部件的寿命（单位：千小时），已知X和Y的联合分布 函数为 §3.4 随机变量的相互独立性 【例3-18】某电子仪器由两部件构成，以X和Y分别表示 两部件的寿命（单位：千小时），已知X和Y的联合分布 函数为 问X与Y是否独立？ 解一：关于X，Y的边缘分布函数为

对任意的x, y，均有F(x,y)=FX(x)FY(y)，故X, Y相互独立 §3.4 随机变量的相互独立性 【例3-18】 问X与Y是否独立？ 解一：关于X，Y的边缘分布函数为 对任意的x, y，均有F(x,y)=FX(x)FY(y)，故X, Y相互独立

§3.4 随机变量的相互独立性 【例3-18】 问X与Y是否独立？ 解二：由分布函数与概率密度的关系知

对任意的x, y，均有f(x,y)=fX(x)fY(y),故X, Y相互独立 §3.4 随机变量的相互独立性 【例3-18】 问X与Y是否独立？ 解二： 同理, 对任意的x, y，均有f(x,y)=fX(x)fY(y),故X, Y相互独立

【例3-19】设(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y相互独立 的充要条件是=0. §3.4 随机变量的相互独立性 【例3-19】设(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y相互独立 的充要条件是=0. 证: 二维正态分布的概率密度为 若=0，由例3.11知

【例3-19】设(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y相互独立 的充要条件是=0. §3.4 随机变量的相互独立性 【例3-19】设(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y相互独立 的充要条件是=0. 证: 二维正态分布的概率密度为 反之，若X与Y独立，则对所有的x, y，有 令 ，可得=0.

§3.4 随机变量的相互独立性 【课堂练习1】

§3.4 随机变量的相互独立性 (1)由分布律的性质知

§3.4 随机变量的相互独立性 (2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有 特别有 又

某种保险丝的寿命X 服从参数为3的指数分布。 §3.4 随机变量的相互独立性 某种保险丝的寿命X 服从参数为3的指数分布。 (1)有两只这种保险丝，其寿命分别为 ，设 相互独立，求 的联合概率密度. (2)在(1)中，一只是原装的，另一只是备用的，备用的 只在原装的熔断时自动投入工作，于是两只保险丝 的总寿命为 ，求总寿命不超过1的概率。 【课堂练习2 】

§3.4 随机变量的相互独立性 解：(1) Ｘ１概率密度为 Ｘ２概率密度为 因两只保险丝的寿命 相互独立，故 的联合概率密度为

§3.4 随机变量的相互独立性 (2)

★ 小结 1.二维随机变量相互独立的充要条件

★ 小结 2) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 在平面上几乎处处成立。

习题三 (A) (P82) 三、解答题　13，15