債券的基本概念 區國強

決定債券價格的基本因素 面值 (Par Value) 殖利率 (Coupon Interest Rate ) 到期日 (Maturity Date) 可贖回條款 (Call Provision) 信用風險 (Credit Risk)

債劵價值 (Bond valuation) P: 價格; FV: 面值; c:票面利率 T: 剩餘期; r: 利率； C: 利息給付 (C= c × FV) 則債劵價格為「未來現金流的現值 」

EAR vs APR 有效年利率 (Effective annual rate, k ) 年百分利率 (Annual percentage rate, r )

Zero 的折現、現值及未來值 無利息給付的債券稱為 「Zero」，其現值(PV)與未來值簡單為:

收益 (yield) = 內部報酬率(internal rate of return) 有效年利率(effective annual rate, EAR)

半年複利 債券通常半年複利一次，故 yS :以半年計算的收益

連續複利 若以連續複利計算，則現值為: Yc :連續複利的收益

收益 (Yield) 的種類 現在收益 (Current Yield) 到期收益 (Yield to Maturity) 贖回收益 (Yield to Call )

重要概念: 如果現值及最終值固定，則複利次數增加，所對應的收益率將降低

例題 (1999 FRM Exam Q.17) 假定利率8%,半年複利一次,則對應之年利率為何? A. 9.20% B. 8.16% C. 7.45% D. 8.00%

例題 (1998 FRM Exam Q.28) 假定利率10%，連續複利，則對應之半年複利之利率為何? A. 10.25% B. 9.88% C. 9.76% D. 10.52%

解題: 若本金為 A0, 連續複利(10%)，一年後得: 對應之半年複利之利率為若r， 一年後得: 兩式相等得:

債券的風險 利率風險 (Interest Rate Risk) 再投資風險 (Reinvestment Risk) 信用風險 (Credit Risk)

價格與收益率之關係 多期債券 債劵價格 =未來現金流的現值 C = 殖利率 (coupon rate) FV =票面值 (face value)

則到期前，每期現金流為利息收入 到最終期時，現金流為利息收入加上票面值

如果票面利率 = 收益率，則價格等於票面值，稱為 par bond 因為票面利率在債劵發行時已固定，故債劵價格可直接寫成收益率(利率)的函數

永續債劵 永續債劵 (consol, perpetual bond)

例題 (1998 FRM Exam Q.12) 債劵現價 $102.9，剩一年到期，票面利率 8%，半年給付一次，則該債劵的收益率為何？ A. 8% B. 7% C. 6% D. 5%

解題: 方法一: 代公式 猜題: 現價 $102.9高過 $100，則收益必低于市場利率, 刪去答案(Ａ) ，低多少？最小低過2.9%，刪去答案(B)與(C) ，剩下答案(D)

泰勒展開式 Taylor expansion 原始的價格 收益率改變，導致新價格 新收益率:

如果變動不太大，則可以在原收益率用Taylor expansion展開

注意: 此式在財務金融極為重要，在不同的領域，有不同的含意，例如在選擇權定價，若S為股票價格，則選擇權的價格變動為

債劵價格的微分 存續期 (Dollar duration, DD)為負的利率一階微分，其計算債劵價格對利率變動的敏感度， 存續期愈長， 債劵價格對利率變動愈敏感， 風險愈大

簡單存續期 (Simply, Macauley Duration,D)

修正存續期 (modified duration, D*)

實務上，風險是以「一個基本點的價值」(dollar value of a basis point, DVBP, DV01)來衡量

Convexity (C)為二階微分 (二階微分是衡量曲線的「曲率」)

無利息債劵(zero-coupon bond, Zero)的唯一給付為到期時支付票面價值, C = FV，一階微分：

故修正存續期 D*： 傳统存續期 (或稱為 Macaulay duration, D)在 Zero債劵時，D = T 留意： 1. 若連續複利，則 D* = D 2.存續期是以期數T來表達，故若一年複利一次，則存續期以「年」為單位；若半年複利一次，則存續期必須除以2，轉化為以「年」為單位

二階微分: 故convexity 等於

價格變动的趨近式 將D* 及 C 代入價格變動的公式，得

例題 市場利率為6%的10年Zero，其現值 Macaulay存續期 : D = 20/2=10 修正存續期:

Convexity: Dollar duration: DV01 = DVBP = DD X 0.0001=0.0538

利率由6%升至7% 價格變動: 若只計入存續期， 新價格 = 55.368 – 5.375 = 49.992 若只計入存續期， 新價格 = 55.368 – 5.375 = 49.992 若 D 及 C 都計入 新價格 = 55.368 - 5.101 = 50.266

實際新價格 預期誤差: 1.只計入存續期: (49.992 - 50.257)/50.257 = -0.53% 2. D 及 C 都計入 (50.266-50.257)/50.257 = 0.02%

基本概念 DD 衡量價格收益曲綫在始點(原價格)切線的(負)斜率 若 convexity為正，則二階效果 必定為正，且對修正誤差必定有好處

基本概念: 支付利息債劵(coupon-paying bond)的convexity一般皆為正；

有效存續期 Effective Duration 定義: 則有效存續期為:

有效convexity 利用 有效convexity為

例題 (1998 FRM Exam Q.17) 債劵現價$100, 收益為8%。若收益上升一個基本點(basis point)，則價格跌至$99.95；若收益下降一個基本點，則價格升至$100.04，請問修正存續期為: A. 5.0 B. -5.0 C. 4.5 D. -4.5

解題: 代公式:

例題 (1998 FRM Exam Q.22) 年期10年以面值定價的債劵(par bond)其修正存續期為7，convexity 為50。若收益上升 10個基本點，則其價格之變動為: A. -0.705 B. -0.700 C. -0.698 D. -0.690

解題: 代公式:

例題 (2002 FRM Exam Q.118) 一剩下18個月的政府公債票面年息6%，半年複利的年收益為4%，下次給付利息的時間剛好為6個月後，則此公債的Macaulay duration接近: A. 1.023年 B. 1.457年 C. 1.500年 D. 2.915年

自習題(1998 FRM Exam Q.29) A、B分別為兩永續債劵，A的票面年利率為4%，B的票面年利率為8%，若兩永續債劵在相同的收益下交易，則兩者存續期的關係為: A. A的存續期大過B的存續期 B. A的存續期小過B的存續期 C. 兩者的存續期相同 D. 以上皆非

自習題(1999 FRM Exam Q.75) 若你同時「放空」兩種皆為20年期的債劵: 債劵A: 面息6.0%、收益6.0%; 債劵B: 面息6.5%、收益6.0% 若利率下降，何者風險較大: A. 債劵A B. 債劵B C. 兩者風險相同 D. 以上皆非