第二章 线性系统的数学模型 数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法： 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法： 解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 微分方程差分方程 状态方程 复数域： 传递函数 结构图 频率域： 频率特性

§2-1 线性系统的输入-输出时间函数描述 线性系统的输入-输出微分方程 描述的建立 p11例2-1 m-K-f系统

机械旋转系统

R-L-C 系统 微分方程的一般形式： 线性：迭加性、比例性 定常

§2-2 线性系统的输入-输出传递函数描述 拉氏变换及其反变换 拉氏变换的计算 指数函数 三角函数 单位脉冲函数 单位阶跃函数 单位速度函数 单位加速度函数 幂函数

幂函数的拉氏变换

阶跃函数的拉氏变换

单位速度函数的拉氏变换 斜坡函数

单位脉冲函数拉氏变换

单位加速度函数拉氏变换 抛物线函数

几个重要的拉氏变换 f(t) F(s) δ(t) 1 sinwt 1(t) 1/s coswt t 1/(s+a)

拉氏变换的主要运算定理 线性定理 微分定理 积分定理 位移定理 延时定理 卷积定理 初值定理 终值定理

拉氏反变换 例1： 例2：求 的逆变换。 解：

2. 拉式反变换——部分分式展开式的求法 （1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和

（2）情况2:F(s)有共轭极点 例2： （3）情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点 ,而其余极点均不相同。那么

§2-2 线性系统的输入-输出传递函数描述 零初始条件下：线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 §2-2 线性系统的输入-输出传递函数描述 零初始条件下：线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为

例1：RC电路如图所示 依据：基尔霍夫定律 消去中间变量 则微分方程为： 对上式进行零初始条件下的拉氏变换得

§2-4 典型环节的数学模型 控制系统数学模型的处理方法：使用简单的典型的 环节模型， 通过串 、并联组成复杂系统。 比例 环节 §2-4 典型环节的数学模型 控制系统数学模型的处理方法：使用简单的典型的 环节模型， 通过串 、并联组成复杂系统。 比例 环节 如：刚性杠杆、理想运放、上述线性化励磁环节 特征：输入输出成比例，不失真，无延迟 惯性环节 如：R-C、R-L、特征：输出不能立即跟随输入的变化,T越大，响应越慢。 T--惯性环节时间常数

积分环节 微分方程 T越大，响应越慢

微分 环节 特征：输出与输入的变化成正比 实际：一阶微分环节 带惯性微分环节 振荡环节 1>ζ>0

纯滞后环节 G（s）= 当τ很小时 如：传送带、间隙等 特征：输出是输入的延迟 负载效应问题 系统的各部分串联连接时，后面部分通常是前面的负载，分成两个独立环节时应考虑其影响。

RC惯性环节

电容充电

积分运算放大器

RC微分网络

理想微分运算放大器

RLC串联网络电路

§2-6 方框图及其简化方法 方框图表示法 信号名写在箭头旁边 箭头表示信号以及指示信号流动方向 方框表示系统或环节 其传递函数写在框内 运算方法：C(S) = G(S)*R(S)

方框图变换 环节串联 C(s)=G2(s)*C1(s) =G2(s)* G1(s)* R(s) G(s)=G1(s)*G2(s) 负载效应问题 上图中，后一个网络的输入接到前一个的输出，由于存在负载效应，就不能进行上述的变换，即

C(s)=G 1(s)*[R(s) ± G 2(s)*C(s)] 环节并联 G(s)=G1(s)+G2(s) 反馈联接 C(s)=G 1(s)*[R(s) ± G 2(s)*C(s)] 整理得 请注意这里的符号！ .

基于方框图的运算规则

引出点 的移动 相加点的变位 相加点 的移动

化简示例1

第七节 信号流程图 一、基本概念 信流图是线性代数方程组结构的一种图形表达。 二、常用术语 输入节点：只有输出支路的节点 输出节点：只有输入支路的节点 混合节点：既有输出支路，又有输入支路的节点 传 输： 两个节点之间的增益叫传输。 前向通路：信号由输入节点到输出节点传递时，每个节点只通 过一次的通路称为前向通路。 前向通路总增益：前向通路上各支路增益的乘积 回 路： 通路的起点就是通路的终点，并且与其它节点相交 不多于一次的闭合通路叫回路。 回路增益：回路中，所有支路增益的乘积。 不接触回路：指相互间没有公共节点的回路。

一、信号流图的组成要素及其术语 信号流图起源于梅逊（S. J. MASON）利用图示法来 描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成的一 种信号传递网络。 节点 表示变量或信号，其值等于 所有进入该节点的信号之和。 支路 连接两个节点的定向线段，用 支路增益（传递函数）表示方 程式中两个变量的因果关系。 支路相当于乘法器。信号在支 路上沿箭头单向传递。 通路 沿支路箭头方向穿过各相 连支路的路径。

既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出 一条具有单位增益的支路，引出信号为输出节点。 输入节点 只有输出的节点，代表系统的输入变量。 输出节点 只有输入的节点，代表系统的输出变量。 输出节点 输入节点 混合节点 既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出 一条具有单位增益的支路，引出信号为输出节点。

前向通路 从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点 不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之 乘积，称前向通路总增益，一般用pk表示。

回路 起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的 闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回 路增益，用Lk表示。 X2、X3 X3、X4 X5 不接触回路 相互间没有任何公共节点的回路

二、信号代数运算法则

四、根据方框图绘制信号流图 方块图转换为信号流图示例1

方块图转换为信号流图示例2

四、梅逊公式 ∆k G —系统总传递函数 Pk—第k条前向通路的传递函数（通路增益） ∆ —流图特征式 —所有不同回路的传递函数之和 —每两个互不接触回路传递函数乘积之和 —每三个互不接触回路传递函数乘积之和 —任何m个互不接触回路传递函数乘积之和 —第k条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式∆，将与第k 条前向通路相接触的回路传递函数代以零值，余下的∆即为∆k。 ∆k

一个前向通道的情况

例2： 利用梅逊公式，求：C（s）/R（s）（多个前向通道） 解：画出该系统的信号流程图

该系统中有四个独立的回路： L1 = -G4H1 L2 = -G2G7H2 互不接触的回路有一个L1 L2。所以，特征式 L3 = -G6G4G5H2 L4 = -G2G3G4G5H2 互不接触的回路有一个L1 L2。所以，特征式 Δ=1-（L1 + L2 + L3 + L4）+ L1 L2 该系统的前向通道有三个： P1= G1G2G3G4G5 Δ1=1 P2= G1L6G4G5 Δ2=1 P3= G1G2G7 Δ3=1-L1

因此，系统的闭环系统传递函数C(s) / R(s)为

例3：画出信流图，并利用梅逊公式求取它的传递函数C(s) / R(s)。 信流图：

注意：方块图中C位于比较点的前面，为了引出C处的信号，在信流图的表示中，要用一个传输为1的支路把C、D的信号分开。 这个系统中，单独回路有L1、L2和L3，互不接触回路有L1L2，即 前向通路只有一条，即

例 前向通道（2条）： P1=acegi ⊿1=1 P2=kgi ⊿1=1-cd ∑前向通道传函之积： P1⊿1+ P1⊿1 =acegi+kgi(1-cd) 回环6个： L1=ab+cd+ef+gh+ij+kfdb 两个互不接触回环7个： L2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij 三个互不接触回环1个： L3=abefij ⊿=1-L1+L2-L3

没有不接触回环时的梅逊公式 ∑前向通道传函之积 系统总传函= 1 - ∑回环传函之积 例2 前向通道： ⊿1=G1G2G3G4 回环3个(互有接触)： (-G3G4G5)、(-G2G3G6)、(-G1G2G3G4G7）

第二章 完