大学物理实验之理论基础 绪 论 物理实验中心 1

绪 论 绪论课将回答两个问题： 为何开设实验课程？ 如何学习物理实验？

绪 论 实验的重要性：是验证认知与探索未知的重要科研方法，结论直观、可靠。 古希腊时期（公元前300多年）经验：质量大的物体下落快。 树叶轻轻飘，石子飞速掉 例：人类对落体规律的认知。 古希腊时期（公元前300多年）经验：质量大的物体下落快。 1636年实验物理学之父伽利略推断： 物体下落速度与质量无关。 控制空气阻力 验证：比萨斜塔自由落体实验； 真空管实验。 条件的控制决定结论的正确性

绪 论 科学的实验： 实验课的教学目标： 根据科学研究的目的，人为控制外部条件，使某种现象重复出现，并反复观察、测量和分析，获得正确的结论。 加深对物理学理论知识的理解； 培养科研素质，鼓励创新精神。 培养良好的实验素养； 培养实践动手能力； 正确使用仪器； 正确测量、记录、分析、处理、发布数据； 独立设计简单实验。

绪 论 物理实验整体进程 （1）预习 （3）报告 （2）操作 实验名称 135min=讲解+操作+数据处理 实验内容 实验原理 实验仪器 实验步骤 数据记录和处理 误差分析及解决方法 135min=讲解+操作+数据处理 （2）操作 仪器的安装和调整 观察和测量 数据记录 结束实验

绪 论 操作课课堂要求 至少提前5分钟到场，保持安静； 签到并对号入座，严禁代签； 未经老师授权，不得把弄仪器； 正确完成实验操作并记录、处理数据，交老师评阅； 实验完成整理仪器； 保持实验室卫生； 不得随意调课！！！ 须提前请假、辅导员签字、团委以上级别盖章！！！

绪 论 理论课授课内容 误差的概念、特点及其评估； 不确定度的概念及其评定； 有效数字的读取及其运算； 数据处理方法。

大学物理实验之理论基础 测量不确定度 与数据处理基础知识 物理实验中心 8

测量与误差 测量 直接测量 间接测量 借助实验仪器，以直接或间接地获取被测量值的操作。 从仪器上直接读出被测量的过程。 例：米尺测长度、天平称质量、停表测时间、温度计测温度、电流表测电流等。 间接测量 先直接测出其它量，再通过函数关系算出被测量的过程。 例：测圆柱体体积，先测出直径D和高H，由V=πHD2/4算出体积。 思：测电阻是属于哪种测量？

测量与误差 误差 误差组成：系统误差和随机误差 系统误差：指在多次测量过程中，误差数值大小和符号保持恒定或以一定函数规律变化的误差分量。 测量值与被测量的真值之差，△x=x-x0,也称绝对误差。 相对误差：绝对误差与真值之比。可用于比较不同对象测量结果的优劣。 为什么会有误差出现？ 误差组成：系统误差和随机误差 系统误差：指在多次测量过程中，误差数值大小和符号保持恒定或以一定函数规律变化的误差分量。 电阻与温度有确定函数关系 误差来源：仪器、方法、人员、环境等。 成立条件：θ→0 例：电表、千分尺、游标卡尺零值误差； 测量单摆周期原理误差；温度变化导致电阻测量误差等。

系统误差具有很强的隐蔽性，分析和处理系统误差需研究仪器、条件、原理、过程等实验要素，是误差理论的重要课题，要求丰富的实验经验和技能。 测量与误差 系统误差的评估 仪器最大允许误差（允许误差限）：某种型号测量仪器示值误差的极限值（技术规范），用A表示。 信息来源：说明书；根据仪器等别、级别、分度值估算。 系统误差具有很强的隐蔽性，分析和处理系统误差需研究仪器、条件、原理、过程等实验要素，是误差理论的重要课题，要求丰富的实验经验和技能。 电学类 电表类：A=量程×K%；非电表类：A=示数×K% 非电学类 数字式：A=末尾最小分度单位；非数字式仪器：A=分度值 K：准确度等级，指符合一定的计量要求，使误差保持在规定极限以内的测量仪器的级别。我国常用电工仪表分为七级，分别为：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0等级。 如何评估不能预测大小和正负的随机误差？

测量与误差 随机误差：数值大小和符号都不能预测的测量误差。 随机误差的特性 误差来源：测量者的感官能力、气流振动、杂扰电磁波等各种随机因素。 例1：测量铅球投掷距离。 测量点M：· 1 2 O P Q （落点中心） 测量铅球的投掷距离 PQ：真值； PO-PQ：系统误差； MQ-PQ：随机误差。 M点决定了测量值及其误差的共同特性。 测量值出现的概率与相应误差出现的概相等。 随机误差的特性 ⑴ 反映测量结果或测量误差的分散性。

测量与误差 随机误差的特性 ⑵概率密度分布函数 服从正态分布。 例2：测量单摆周期值。 对周期的各测量值出现次数分组统计，如直方图所示。 单摆周期/s 2.149 2.168 2.164 2.162 2.158 2.174 2.166 2.167 2.176 2.171 2.163 2.160 2.159 2.181 2.177 2.156 2.169 2.165 2.157 2.173 2.153 2.170 2.155 2.152 2.161 2.172 2.179 2.178 例2：测量单摆周期值。 对周期的各测量值出现次数分组统计，如直方图所示。 总概率=1 15 30 频次 10 15 相对频次（%） 随测量次数增多，随机现象的固有特征变得明显。当测量次数n→∞，绝大多数统计规律趋于正太分布。 5 5 2.145 2.155 2.165 2.175 2.185 单摆周期/s

测量与误差 随机误差的特性 f(Δx) 随机误差概率密度正太分布函数特点： 单峰性：绝对值小的误差出现的概率大； 有界性：绝对值很大的误差出现的概率趋于0； 对称性：绝对值相等的误差出现的概率相等； 抵偿性：当测量次数趋于无穷，各次测量的 随机误差的代数和趋于0。 -σ σ f(Δx) Δx 可以由抵偿性推导： 平均值是最佳近似真值（期望值）

测量与误差 x 随机误差的特性 ⑶ 某些概率密度分布函数服从均匀分布。 f(x) 均匀分布又称等概率分布、矩形分布，在分布区间[a-，a+]内各测量值出现的概率相同。 遵从或假设为均匀分布的测量误 差有： 仪表盘刻度误差； 数字示值的分辨率； 数据切尾存在舍入误差； 人员读数误差； …… f(x) x a- a+ 如何评价测量随机结果的优劣？ 粗略地讲，其它连续分布曲线中一个 微元区间dx内的随机变量可看作均匀分布。

测量与误差 随机误差的特性 f(x) x 随机变量x1与x2的概率比与它们邻域微元面积比相等，可以用面积描述区间概率。 f(x2) dx f(x1) f(x2) 15 30 频次 10 15 相对频次（%） 5 5 2.145 2.155 2.165 2.175 2.185 单摆周期/s

测量与误差 x 随机误差的特性 f(x) 置信概率(Probability)：测量值落在某区间可能性的大小，该区间称为置信区间。 全区间的置信概率为 此即概率分布函数的归一化条件。 意义：1.所有测量值总概率为1； 2.测量值必然落在全区间内。

测量与误差 随机误差的评估（正太分布） f(Δx) 由概率论知： σ1 σ2 其中： 是标准偏差。 标准误差σ越小，指数函数f(Δx)曲线越向纵轴收缩，归一化条件迫使整个分布曲线升高，误差/测量值分散性越小，说明标准误差可以描述随机误差的分散性。

测量与误差 随机误差的评估（正太分布） 实际测量中不能得到真值，测量次数n也不可能太大，不能得到标准偏差σ 。可以在指定测量条件和测量程序下（统计控制状态），用尽可能多的有限次测量的数据，根据Bessel公式计算σ的近似值，即实验标准偏差s(xi)： 根据方差及其数学期望、残差等概念推导 其中， 它是该控制状态下的固有偏差。若后续进行m组测量与n相同，则平均值的实验标准差：

测量与误差 随机误差的评估(均匀分布) 概率密度函数： f(x) x a- a+ 标准偏差： 区间中点： 是测量的期望值。

不确定度 平均值是最接近真值的测量值，所以平均值的相邻区间的置信概率越大，它包含真值的可能性越大。一方面表明测量值在该置信区间出现的概率越大，另一方面，表明真值在该置信区间出现的概率越大，真值在全区间出现的概率是1，所以它在该置信区间出现的概率就是该区间的置信概率。 在检验检疫、仪器校正、工程评估等方面需要对真值所处的范围进行评估，并给出真值在此范围出现的概率，这个过程就是不确定度（uncertainty: u）的评定过程。 测量结果表达式应包含不确定度及相应的置信概率P，表示为： 不确定度来源于测量值的随机性 与测量值随机性相关 定义：表征合理赋予被测量值的分散性，与测量结果相联系的参量。

不确定度的评定 标准不确定度（u） 以测量值的标准偏差σ表示。 A类评定：与随机误差相关。对观测列数据进行统计分析得到标准偏差σ将其作为测量结果的不确定度。实验当中常用平均值的实验标准偏差作为近似： 有时为得到更大的置信概率P，可将u乘以一个系数k，这个系数就是置信因子（包含因子）.

不确定度的评定 标准不确定度（u） 以测量值的标准偏差σ表示。 无法用统计的方法确定标准差 以测量值的标准偏差σ表示。 B类评定：与未定系统误差相关（来自于对系统误差认识不足）。根据已有信息或经验，对被测量的概率分布规律、均值所处区间及其相应的置信概率进行分析判断，估计区间半宽度A和对应的置信因子k，得到标准偏差σ将其作为测量结果的不确定度： 假定误差是均匀分布 B类不确定度可能来自于多种原因，每一个原因对应一个B类分量，用方和根合成。但本课程只要求评定仪器带来的B类不确定度：

不确定度的评定 仪器不是主要误差来源时，如何处理？ 米尺测量人的身高，米尺的分度值为1mm，但我们知道，测量的不确定度远大于这个值。我们可以经验地估计一个身高测量值置信区间半宽，如1cm，并采用均匀分布，则 24

不确定度的评定 合成标准不确定度（Combined uncertainty:uc) 直接测量y的合成标准不确定度 直接测量y=x，可以通过方和根直接将x的A类和B类标准不确定度进行合成,得到合成标准不确定度： 例1．用千分尺量一圆柱体的直径D，测量数据如下表(单 位：mm)。试求其不确定度uc(D)。 量次 1 2 3 4 5 6 直径 18.003 17.998 18.002 18.000 17.997 17.999

不确定度的评定 解 圆柱直径测量值的平均： 与随机误差相关的不确定度的A类评定： 由千分尺精度相关的不确定度的B类评定：

不确定度的评定 A=2.00×0.5% = 0.01 V 量次 例2．用0.5级量程2.00V的电压表测得电阻两端的电压值 直径 3 4 5 6 直径 1.54 1.55 1.53 1.56 1.52 A=2.00×0.5% = 0.01 V 解

不确定度的评定 合成标准不确定度（uc） 间接测量y的合成标准不确定度 文献： 1.Stern F., Muste M.,Beninati,L-M.,Eichinger B."Summary of experimental uncertainty assessment methodology with example"IIHR Report, Iowa Institute of Hydraulic Research,The University of Iowa,Iowa City, IA, 1999. 2.崔伟群. “测量不确定度传播率存在的问题及解决”. 现代测量与实验室管理.中国计量科学研究院,北京. 2012. 不确定度的评定 合成标准不确定度（uc） 间接测量y的合成标准不确定度 间接测量y= f (x1, x2, … xl)，若输入量xi是l个非相关量，则被测量y的合成标准不确定度用传播律计算： 其中 称传播系数或灵敏系数，它不仅对输入分量的不确定度uc(xi)起缩放作用，也将输入量的单位转化为输出量uc(y)的单位。

不确定度的评定 合成标准不确定度（uc） 大多数情况下，y与x的函数关系是乘除、乘方或指数函数等非线性关系，为了计算方便，可以对原函数两边做取自然对数的等价变换处理，然后得到被测量y的一般线性模型，全微分后可以先求得相对不确定度Ex,如下： 最后得到： 步骤：(1)两边取对数；(2)将输入量作为变量，表达式求微分；(3)将微分改为标准不确定度；(4)方和根合成。

不确定度的评定 例3：光栅衍射测量光的波长实验中，其公式为dsinф=kλ，其中为d, ф直接测量量，试推导出波长的不确定度表达式。(教材p27) 解 将dsinф=kλ两边取自然对数： 以输入量为变量求全微分： 微分号变不确定度符号，求方和根： 30

不确定度的评定 例4 测量圆柱体的体积。分别用游标卡尺和螺旋测微计测量圆柱体的高H和直径D，测量数据如下：H=45.04mm (单次测量)，直径数据如下表： n 1 2 3 4 5 6 7 8 D 16.272 16.274 16.271 16.275 16.270 16.273 (游标卡尺分度值0.02mm；一级螺旋测微计测量范围0～25mm，分度值为0.01mm）。试计算圆柱体的体积和合成不确定度。（教材Ｐ24） 解：体积公式为πHD2/4，H和D是不同仪器测量 的非相关量，可以用传播率合成体积的不确定度uc(V) 。而对H重复测量所得A类不确定度uA(H)很小可忽略，所以单次测量，其B类不确定度：

不确定度的评定 置信概率？

不确定度的评定 标准不确定度的置信概率 不确定度区间置信概率的计算： 正态分布的概率密度函数： 令u=kσ, t=x/σ,则

不确定度的评定 u=kσ f(x) x 包含因子与置信概率 0.4 0.3 0.2 k P 0.0 0.000 00 0.5 0.382 92 1.0 0.682 69 1.5 0.866 39 2.0 0.954 50 2.5 0.987 58 2.58 0.990 12 2.6 0.990 68 3.0 0.997 30 0.2 0.4 0.3 f(x) x P

不确定度的评定 f(x) x a- a+ 均匀分布的概率密度函数： 令u=kσ, A=(a+-a-)/2则

不确定度的评定 扩展不确定度（UP，U） UP=kpuc 或 U=kuc 有时为减小风险、增大效益等，需要对标准不确定度uc乘以一个大于1的正数k扩展置信区间，包含更大的置信概率，这个k称为包含因子，乘积称为扩展不确定度： UP=kpuc 或 U=kuc 若接近正太分布，kp是根据所规定的置信概率P和对子样本t分布估计得到的有效自由度（或测量次数）νeff ，通过查t分布临界值表得到的，kp=tp(νeff)。为简单起见，可不必考虑麻烦的被测量值分布情况，在自由度不太小的情况下，k估计为2和3，大体上对应正太分布95%和99%的概率，不能确切知道概率P。 β是上下底之比

不确定度的评定 对于测量结果的评价，国际标准化组织（ISO）推荐采用置信概率为95%的扩展不确定度，表示为U95。在我们的本科教学中，对x和uc(x)的概率分布可认定为两种分布，正太分布和均匀分布。只要输入量xi有任意一个为多次测量，就认为x近似为正太分布，只有当xi都为单次测量时认为服从均与分布，对于均匀分布，95%的置信概率对应的包含因子k= 3 。测量结果报告应含有最佳估计值、测量结果的置信概率、不确定度:ISO规定默认U95

不确定度的评定 例5. 已知m=m1+2m2,其中m1=(12.75±0.03)g, m2=(1.583± 解：

不确定度的评定 例6. 用伏安法测量电阻，其中电压表量程为300mV，等级为0.5，测量值为260.0mV；电流表量程为50mA，等级为0.5，测量值为48.50mA。求测量的电阻值。 解：

不确定度的评定 例5.《微波布拉格衍射》实验的数据处理（这里要求算出波长）。测量公式为kλ=2dsinθ，其中d=5.0±0.1cm。 θ(°) 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 18.0 19.0 20.0 I(μA) 6.0 4.0 解：衍射第一极大值对应的掠射角是12.0°，且k=1，将其带入公式 得 λ=2dsinθ=2.079 cm。

不确定度评定的一般过程 数学建模y=f(x1,x2,…,xl) 求被测量y的平均值 对输入分量xi的A类和B类标准不确定度进行评定，以方和根合成得到分量的合成标准不确定度uc(xi) 多次测量不确定度A类评定，单次测量或估计不确定度B类评定 求出灵敏系数∂f/∂xi，再将(∂f/∂xi)uc(xi)按方和根合成 用传递公式求被测量y的合成标准不确定度uc(y) 乘、除、乘方、开方或指数关系 先取对数求Ey 根据分布规律和置信概率要求，确定包含因子，求出扩展不确定度U(y) 一般要求P=95%，多次k=2，单次k= 数据修约，结果表达

传播率的应用 1.计算间接测量量的不确定度； 2.分析主要误差来源； 3.在设计性实验中进行误差分配； 4.帮助正确选择仪器及确定测量条件。 42

传播率的应用 设计最佳测量方案 例6. 测量某箱体零件的轴心距离L，如图所示。设现有测量手段能达到的准确度分别为uc(d1)=6，uc(d2)=8，uc(L1)=15，uc(L2)=12（单位：10-6m），试决定最佳测量方案。（教材P21，例3） 解：测量轴心距有3种方案 (1)测量两轴直径d1，d2和外尺寸L1，计算式

传播率的应用 (2)测量两轴直径d1，d2和内尺寸L2，计算式

传播率的应用 (3)测量外尺寸L1和内尺寸L2，计算式

计算器计算A类不确定度 1、清除数据和模式（SHIFT+CLR;选3；==） 2、模式选择（MODE;选2 ，SD:标准差） 3、数据输入（x1 ,M+；x2 ,M+；......） 4、计算贝塞尔公式(SHIFT+2;选3；=） 5、用结果除以

有效数字 有效数字：由准确数字和存疑数字组成。 有效数字的读取：可以估读的仪器，必须估读到分度值的下一位，不能估读的读到分度值所在位。 31.5×1mm=31.5 mm 31.4 ~ 31.6 31.52×1mm=31.52 mm？ 最多分辨0.1mm。

有效数字 量程 分度值 虚线示数 实线示数 150 75 750 150mV/150=1mv 85.8×1mv=85.8 mv

有效数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 50分度，分度值0.02mm 误差在0.02mm位 不需要估读的还有机械停表、数字仪表等 14+4×0.02 mm =14.08 mm 14+5×0.02 mm =14.10 mm 14+3×0.02 mm =14.06 mm

有效数字 有效数字特点 由低位向高位数到最后一个非0数字,更高位的0只为表示小数点位置不是有效数字； 使用不同精度仪器测量，有效位数不同； 常数被认为是无穷位有效数字； 科学记数法的系数部分是有效数字，从个位写起的小数；百分号内部数字是有效数字。 0.50 g 2位 0.5000 g 4位 5.0000g 5位 50% 5.0×10-3

有效数字 有效数字单位换算 十进制：需保持换算前后有效位数不变。 非十进制：换算后的有效位数由不确定度小数位决定。 最末位是误差也是不确定度所在位，故将分度值进行单位换算，可知换算后单位不确定度所在位（保留一位有效数字）。 3.6 min=____s 0.1min=0.1×60 s=6 s 3.6 min=3.6×60 s= 216 s

有效数字 有效数字运算 1.加减法 加减法运算结果的可疑数字所在位与参加运算的可疑数字所在位最高的分量一致。 例1. (1)19.68 - 5.848 = _____; (2) 432.3+0.1263-2=_____. 19.68 -5.848 ————— 13.832 结果为 13.83 432.3 + 0.1263 2 ——————— 430.1263 结果为430

有效数字 有效数字运算 2.乘除法 由于运算结果的相对不确定度不小于有效数字位最高的分量的相对不确定度，运算结果的有效数字位数应与有效数字位数最少的分量相同。 例2. (1) 3.21  6.5 = _____; (2) 2121.843= 0.96 3.21  6.5 ————— 1605 1926 20.865 结果为 21

有效数字 有效数字运算 3.乘方、开方 保持运算前后有效数字位数不变。 例3. (1) 6.542 = 42.8 ; 例4.综合运算 50.00  ( 18.30  16.3 ) ( 103  3.0 )  ( 1.00 + 0.001 ) = 50.00  2.0 100  1.00 1.0102 100 = 1.0 __

有效数字 有效数字运算 4. 三角函数、对数、指数 三角函数和对数的计算结果尾数与x的位数相同；10x或ex的位数和x小数点后的位数相同（包括小数点后的0）。 例5.（1）实例 (2)综合运算 lg100.0 27.3211  27.31 35 = 100  2.0000 0.01 2104  35 10.02 lg 1.983 = 0.2973227 = 0.2973; lg 1983 = 3.29722714= 3.2973; 106.25=1778279.41 =1.8106; 100.0035=1.0080961=1.008.

有效数字 有效数字运算 5. 自然数与常量 自然数不是测量值，不存在误差，故有效数字是无穷位； 常量、e等的位数可与参加运算的量中有效数字位数最少的位数相同或多取一位。 例 6. L=2R 其中R=2.3510-2m 解：取3.14或3.142， L=23.1422.3510-2=0.148(m) 4种运算的中间过程与结果，均可多保留一位，最后进行数据修约。

有效数字修约 数字修约：按一定规则截去无效的存疑数字。 《测量误差及数据处理技术规范》JJG1027-91 数字修约：按一定规则截去无效的存疑数字。 舍入规则：因为数字1-9中，奇数出现概率偏大，采用四舍六入五凑偶数的原则进行数据舍入。 不确定度：一般保留一位有效数字，首位为1,2,3时可保留两位，不至于尾数舍入影响过大。 测量结果：有效位数取决于不确定度，确保与不确定度末位对齐。

数据处理 数据处理是指从获得数据开始到得出最后结论的整个加工过程，包括数据记录、整理、计算、分析和绘制图表等。这里介绍一些基本的数据处理方法。 一.列表法 对一个物理量进行多次测量或研究几个量之间的关系时，往往把实验数据列成表格。 使大量数据表达条理化，清晰醒目，同时有助于反映出物理量之间的对应关系。 列表要能充分反映上述优点，应注意： 各栏目应注明所记录物理量的名称和单位； 栏目的顺序安排根据数据间的联系和计算顺序； 表中的原始测量数据应正确反映有效数字；

样品：细钢丝 测量条件：D=152cm，L=85.8cm，l=7.02cm，d=0.0489cm 数据处理 一.列表法 例1. 拉伸法测金属丝杨氏模量实验数据 样品：细钢丝 测量条件：D=152cm，L=85.8cm，l=7.02cm，d=0.0489cm 序数 荷重F/kg 增重读数x/cm 减重读数x′/cm 平均 𝑥 /cm 0.000 1 1×0.500 2 2×0.500 3 3×0.500 4 4×0.500 5 5×0.500 6 6×0.500 7 7×0.500 8 8×0.500 9 9×0.500

数据处理 二.图解法 图线能够直观地表示实验数据间的关系，找出物理规律，因此图解法是数据处理的重要方法之一。图解法处理数据，首先要画出合乎规范的图线，其要点如下： 1.选择图纸。作图纸有直角坐标纸(即毫米方格纸)、对数坐标纸和极坐标纸等，根据作图需要选择。在物理实验中比较常用的是毫米方格纸。 2.曲线改直。由于直线最易描绘,且直线方程的两个参数(斜率和截距)也较易算得。所以对于两个变量之间的函数关系是非线性的情形，在用图解法时应尽可能通过变量代换将非线性的函数曲线转变为线性函数的直线。下面为几种常用的变换方法。

数据处理 2.曲线改直 3.确定坐标比例与标度。合理选择坐标比例是作图法的关键所在。作图时通常以自变量作横坐标(轴)，因变量作纵坐标(轴)。坐标轴确定后，用粗实线在坐标纸上描出坐标轴，并注明坐标轴所代表物理量的符号和单位。

数据处理 坐标比例是指坐标轴上单位长度(通常为1cm)所代表的物理量大小。坐标比例的选取应注意以下几点： (1)原则上做到数据中的可靠数字在图上应是可靠的，即坐标轴上的最小分度(1mm)对应于实验数据的最后一位准确数字。坐标比例选得过大会损害数据的准确度。 (2)坐标比例的选取应以便于读数为原则，常用的比例为“1∶1”、“1∶2”、“1∶5”(包括“1∶0.1”、“1∶10”…)，即每厘米代表“1、2、5”倍率单位的物理量。切勿采用复杂的比例关系，如“1∶3”、“1∶7”、“1∶9”等。这样不但不易绘图，而且读数困难。 坐标比例确定后，应对坐标轴进行标度，即在坐标轴上均匀地(

数据处理 一般每隔2cm)标出所代表物理量的整齐数值，标记所用的有效数字位数应与实验数据的有效数字位数相同。标度不一定从零开始，一般用小于实验数据最小值的某一数作为坐标轴的起始点，用大于实验数据最大值的某一数作为终点，这样图纸可以被充分利用。 4.数据点的标出。实验数据点在图纸上用“+”符号标出，符号的交叉点正是数据点的位置。若在同一张图上作几条实验曲线，各条曲线的实验数据点应该用不同符号(如×、⊙等)标出，以示区别。 5.曲线的描绘。由实验数据点描绘出平滑的实验曲线，连线要用透明直尺或三角板、曲线板等拟合。根据随机误差理论，实验数据应均匀分布在曲线两侧，与曲线的距离尽可能小。个别偏离

数据处理 曲线较远的点，应检查标点是否错误，若无误表明该点可能是错误数据，在连线时不予考虑。对于仪器仪表的校准曲线和定标曲线，连接时应将相邻的两点连成直线，整个曲线呈折线形状。 6.注解与说明。在图纸上要写明图线的名称、坐标比例及必要的说明(主要指实验条件)，并在恰当地方注明作者姓名、日期等。 7.直线图解法求待定常数。直线图解法首先是求出斜率和截距，进而得出完整的线性方程。其步骤如下： (1)选点。在直线上紧靠实验数据两个端点内侧取两点[A(x1,y1)、B(x2,y2)]，并用不同于实验数据的符号标明，在符号旁边注明其坐标值(注意有效数字)。若选取的两点距离较近，计算斜率时会减少有效数字的

数据处理 位数。这两点既不能在实验数据范围以外取点，因为它已无实验根据，也不能直接使用原始测量数据点计算斜率。 (2)求斜率。设直线方程为 y=ax+b，则斜率为 (3)求截距。截距的计算公式为 【例7】金属电阻与温度的关系可近似表示为R=R0(1+αt)，R为t ℃时的电阻，α为电阻的温度系数。实验数据见下表，试用图解法建立电阻与温度关系的经验公式。 I 1 2 3 4 5 6 7 t/℃ 10.5 26.0 38.3 51.0 62.8 75.5 85.7 R/Ω 10.423 10.892 11.201 11.586 12.025 12.344 12.679

数据处理 所以，铜丝电阻与温度的关系为

数据处理 三.平均法（求经验公式 ） 充分利用较多的方程解决较少待定参量。 将所有数据代入模型公式 将测量得到的n个方程分成前后两组 三.平均法（求经验公式 ） 充分利用较多的方程解决较少待定参量。 将所有数据代入模型公式 将测量得到的n个方程分成前后两组 分别组内求和 联立求出参数a，b

数据处理 四. 逐差法 当两个变量之间存在线性关系，且自变量为等差级数变化的情况下，将测量得到的偶数组数据分成前后两组，将对应项分别相减，然后再求平均值。充分利用测量数据，保持了多次测量减少随机误差的优点；逐差法计算简便，特别是在检查具有线性关系的数据时，可随时“逐差验证”，及时发现数据规律或错误数据。 例：在弹性限度内，弹簧的伸长量与所受的载荷(拉力) 满足线性关系F=kx，实验时等差地改变载荷，测得一组实验数据如下表： 砝码质量/Kg 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 弹簧伸长位置 /cm x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 求每增加1kg砝码弹簧的平均伸长量 。

数据处理 五. 最小二乘法 最小二乘法：设物理量y和x之间的满足线性关系，用一组实验数据拟合出一条最佳直线y=a+bx。最小二乘法的任务就是要用实验数据来确定方程中的待定常数a和b，即直线的截距和斜率。 假定y和x值中只有y有明显的测量随机误差, 则yi的测量偏差： 最佳的a，b应该使得任意测量偏差vn尽可能小，而vi都各不相同，所以要求总的偏差S最小：

数据处理 五. 最小二乘法 按照极值条件： , 解得：

数据处理 五. 最小二乘法 如果已知y与x满足线性关系，直接用最小二乘法拟合。如果实验是要通过对 y、x 的测量来寻找经验公式，就应该在拟合前判断由上述一元线性拟合所确定的线性回归方程是否恰当。这可用相关系数来判别 其中， ,

数据处理 五. 最小二乘法 r值总是在0和1之间。|r| 值越接近 1，实验数据点越密集地分布在拟合的直线附近，则用线性函数进行回归是合适的。 |r|=1表示y和x完全线性相关，拟合直线通过全部实验数据点。 值越小线性越差，一般r>0.9时可认为两个物理量之间存在较密切的线性关系，此时用最小二乘法直线拟合才有实际意义，见图。

大学物理实验之理论基础 物理实验中心 完 结