梁之剪力及彎曲應力 觀念及計算 教 師：林威廷 製作

剪力及彎曲力矩之觀念 1. 梁：凡能承受與軸方向垂直之橫向載重之構件均可稱之。 2. 梁之內力：如圖下圖梁之任一點切開，其斷面所包含之內力有 (1) 軸力（N）：與梁斷面軸向平行之力。 (2) 彎矩（M）：使梁產生彎曲或旋轉之力。 (3) 剪力（V）：與梁斷面相垂直之力。 瑞芳高工建築科媒體教學—工程力學(二)

剪力及彎曲力矩之觀念 3. 剪力與彎矩慣用之符號： 4. 剪力與彎曲力矩之分析： 在靜定梁結構之分析，其最主要目的乃求其支承反力，並繪製成剪力圖及彎矩圖，而剪力及彎矩之計算常見之分析法有：(1)切面法 (2)面積法。 瑞芳高工建築科媒體教學—工程力學(二)

剪力及彎曲力矩之計算 1.剪力圖（V-dia）與彎矩圖（M-dia）的繪製步驟： (1) 先求反力。 (2) 由左邊畫至右邊。 無載重(b)：剪力圖若無變化，彎矩圖為一水平直線。 (4) 集中載重：剪力圖為垂直跳躍線，彎矩圖為一折線轉點。 【繪圖準則】 瑞芳高工建築科媒體教學—工程力學(二)

剪力及彎曲力矩之計算 (5) 一次均變載重：剪力圖為二次拋物線，彎矩圖為三次曲線。 (6) 偶矩載重：剪力圖為水平點，彎矩圖為垂直跳躍線。 (7) 彎矩值的大小為剪力圖的面積。 (8) 彎矩圖為剪力圖之高一次函數。 (9) 若遇梁上有外加順時針力矩作用時，彎矩圖為向上跳躍； 反之逆時針力矩，彎矩圖為向下跳躍。 瑞芳高工建築科媒體教學—工程力學(二)

剪力及彎曲力矩之計算 2. 基本載重之等值力系（面積）與作用位置（形心）： 瑞芳高工建築科媒體教學—工程力學(二)

剪力及彎曲力矩之計算 3. 相似三角形與相似二次拋物線之比值關係： 4. 基本之剪力圖（V-dia）與彎矩圖（M-dia）： 瑞芳高工建築科媒體教學—工程力學(二)

剪力及彎曲力矩之計算 5. 荷重W、剪力V及彎矩M之關係： (1) 荷重、剪力及彎矩之關係表： 瑞芳高工建築科媒體教學—工程力學(二)

剪力及彎曲力矩之計算 (2) 微分關係：  W=  即載重強度等於剪力之變化率。  V=  即剪力等於彎矩之變化率。  可求出最大彎矩。 瑞芳高工建築科媒體教學—工程力學(二)

剪力及彎曲力矩之計算 (3) 積分關係(面積)：  VB/A=  即A至B兩點之剪力差值等於A至B兩點之向 上載重圖面積。  MB/A=  即A至B兩點之彎矩差值等於A至B兩點之剪力 圖面積。 瑞芳高工建築科媒體教學—工程力學(二)

危險斷面 1. 危險斷面（臨界斷面）：當梁之斷面尺寸相同時，產生彎矩之絕對值為 最大時之截面；亦為應力最大之截面（若梁之 斷面尺寸不相同時）。 2. 討論： (1) 剪力等於零（V=0）處未必是危險截面，必須就彎矩圖之局部極大值 加以比較，其中彎矩值之絕對值為最大時之截面才是危險截面。 (2) 懸臂梁之危險斷面一定在固定端。 (3) 簡支梁之危險斷面在剪力圖之剪力由正變負處或由負變正處。 瑞芳高工建築科媒體教學—工程力學(二)

簡支梁之計算 例題1： 瑞芳高工建築科媒體教學—工程力學(二)

簡支梁之計算 1.先求各支點反力 2.自梁上各有負荷的點拉一向下之垂直線 3.在適當的位置劃一水平線 4.在水平線上由左至右依序將各應力劃上即得剪力圖 5.重複3跟4步驟在剪力圖下方劃彎矩圖 瑞芳高工建築科媒體教學—工程力學(二)

簡支梁之計算 步驟1.先求各支點反力 (1) ∵ΣMa=0 ∴-50x3+5Rb=0 =>Rb=30 ( ↑ ) (2) ΣFy=0   Ra+Rb=50   =>Ra=20 ( ↑ ) 瑞芳高工建築科媒體教學—工程力學(二)

簡支梁之計算 步驟2：自梁上各有負荷的點拉一向下之垂直線 瑞芳高工建築科媒體教學—工程力學(二)

簡支梁之計算 步驟3：在適當的位置劃一水平線 V為剪力，M為彎矩 瑞芳高工建築科媒體教學—工程力學(二)

簡支梁之計算 步驟4：在水平線上由左至右依序將各應力劃上即得剪力圖 剪力圖之變化乃由自由體圖中獲得，若力為集中負荷，則剪 力V在受力位置做向上或向下之變化。 瑞芳高工建築科媒體教學—工程力學(二)

簡支梁之計算 步驟5：重複3跟4步驟在剪力圖下方劃彎矩圖 1.彎矩圖之變化乃由剪力圖中獲得，變化之大小由剪力圖之面積決定。 2.最大之彎矩必產生在剪力=0之處，如圖其變化之大小為20X3=60(剪力圖之面積)。 瑞芳高工建築科媒體教學—工程力學(二)

簡支梁之計算 例題2：集中荷重 瑞芳高工建築科媒體教學—工程力學(二)

簡支梁之計算 1.先求各支點反力 2.在水平線上由左至右依序將各應力劃上即得剪力圖 3.在剪力圖下方劃彎矩圖 瑞芳高工建築科媒體教學—工程力學(二)

簡支梁之計算 步驟1：先求各支點反力 (1) ∵ΣMa=0 ∴1/2LxP+RbxL=0 =>Rb=P/2 ( ↑ ) (2)ΣFy=0 Ra+Rb=P =>Ra=P/2 ( ↑ ) 瑞芳高工建築科媒體教學—工程力學(二)

簡支梁之計算 步驟2：在水平線上由左至右依序將各應力劃上即得剪力圖 剪力圖由左至右故：1.支點向上P/2 2.有力之作用才有變化，向下P 3.向上P/2回到剪力軸 瑞芳高工建築科媒體教學—工程力學(二)

簡支梁之計算 步驟3：在剪力圖下方劃彎矩圖 1.彎矩圖之變化乃由剪力圖中獲得，變化之大小由剪力圖之面積決定。 2.最大之彎矩必產生在剪力=0之處，如圖其變化之大小為(P/2)x(L/2)=PL/4(剪力圖面積)。 瑞芳高工建築科媒體教學—工程力學(二)