第三章 无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计 概述: 许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。 数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。 数字滤波器——线性时不变系统。

1 1-δ1 δ2 ωc ωr π 通带 过渡带 阻带 ω

数字滤波器的数学描述： 1)差分方程 2)系统函数

分类: 递归系统 IIR 非递归系统 FIR 高通 低通 带通 带阻

数字滤波器的设计步骤： 1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。 2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这个性能要求，即求 h(n) 的表达式。 确定系数 、 或零极点 、 ，以使滤波器满足给定的性能要求——第三章、四章讨论 3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包括 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频率采样型以及快速卷积（FFT）型等; 选择合适的字长和有效数字的处理方法等(第五章)。

设计方法： 1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。 由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设计起来方便、准确、可将这些理论推广到数字域，作为设计数字滤波器的工具。

2）最优化设计方法 分两步： a) 确定一种最优准则，如最小均方误差准则，即使设计出的实际频率响应的幅度特性 （与所要求的理想频率响应 的均方误差最小， 此外还有其他多种误差最小准则， b)  在此最佳准则下，求滤波的系数 和 通过不断地迭代运算，改变 、 ，直到 满足要求为止。

以上两种设计方法中，着重讲第一种，因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务与模拟滤波器相同，如作低通、高通、带通及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是“模仿”模拟滤波器。在IIR滤波器设计中，采用这种设计方法目前最普遍。由于计算机技术的发展，最优化设计方法的使用也逐渐增多。  

§3.1 根据模拟滤波器设计IIR滤波器 利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器传递函数H（z），这归根到底是一个由S平面到Z平面的变换，这种映射变换应遵循两个基本原则： 1）H（z）的频响要能模仿Ha(s)的频响，即S平面的虚轴应映射到Z平面的单位圆 上,即频率轴要对应。 2）Ha(s) 的因果稳定性映射成 H（z）后保持不变，即S平面的左半平面 Re{S}＜0 应映射到Z平面的单位圆以内|Z|<1。 从模拟滤波器映射成数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，主要有以下几种映射方法：脉冲（冲击）响应不变法、双线性变换法、阶跃响应不变法。

一、脉冲响应不变法 1、变换原理 脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应ha(t)的采样值，即 h(n)=ha(nT), T为采样周期。 ① 如以 Ha(s) 及 H（z）分别表示 ha(t) 的拉氏变换及 h(n) 的 Z 变换，即 Ha(s)=L[ha(t)] , H(z)=Z[h(n)]

根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系 ① 理想采样 的拉氏变换 与模拟信号 的拉氏变换 之间的关系。 ② 理想采样 的拉氏变换 与采样序列 的 Z 变换 之间存在的 S 平面与 Z 平面的映射关系。

s平面与z平面的映射关系

以上表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完成的 S 平面到 Z 平面的变换，正是拉氏变换到Z变换的标准变换关系，即首先对Ha(s)作周期延拓，然后再经过 的映射关系映射到 Z 平面上。 （1）稳定性： 如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点 Si 都在S左半平 面，即 Re[si]＜0 , 那么变换后H(Z)的极点 也都在单位圆以内，即 ,因此数字滤波器保持稳定。

①当 时，r=1，这表明S平面虚轴映射为Z平面的单位圆 （2）映射关系 由此可见： ①当 时，r=1，这表明S平面虚轴映射为Z平面的单位圆 ② 当 时， ；而当 时， 。这表明S左半平面映射为Z平面的单位圆内部，而S左半平面映射为Z平面的单位圆内部

③由于 ，所以，当 从0到 变化时， 的对应值为0至 。这表明，S平面上每一条宽为 的横带部分，都将重叠地映射到Z平面的整个平面上。而每一横带的左半部分映射在Z平面单位圆内；横带的右半部分映射在单位圆以外。虽然 轴映射到单位圆上，但是它上的每一段 都对应于绕单位圆一周。如下图所示：

S 平面 Z 平面

（3）不足 应指出，Z=esT的映射关系反映的是Ha(s)的周期延拓与 H（Z）的关系，而不是Ha(s)本身与H（Z）的关系，因此，使用脉冲响应不变法时，从Ha(s)到H(z)并没有一个由S平面到Z平面的一一对应的简单代数映射关系，即没有一个S=f(z)代数关系式。

2、混迭失真 还可看到，数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓： 正如第一章的采样定律中所讨论的，如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率ΩS/2 以内， 即

这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响（存在于折叠频率ΩS/2以内） 但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即混淆，如下图，这时，数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。

脉冲响应不变法中的频响混淆

3、模拟滤波器的数字化方法 脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达系统函数，模拟滤波器的系统函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数 N＞M，则可表达为部分分式形式； 其拉氏反变换为： 单位阶跃 对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列

再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数： 第二个求和为等比级数之和，要收敛的话， 必有 所以有

（1）s平面的单极点 变换到z平面 处的单极点 （2） 和 的部分分式的系数是相同的，都是Ak。 对 和 加以比较，可以看出： （1）s平面的单极点 变换到z平面 处的单极点 （2） 和 的部分分式的系数是相同的，都是Ak。 （3）如果模拟滤波器是稳定的，即所有极点 位于平面的左半平面，则变换后数字滤波器的全部极点在单位圆内， （4）虽然脉冲响应不变法能保证S平面极点与Z平面极点有这种代数对应关系，但并不代表整个S平面与Z平面有这种对应关系。

例 将一个具有如下系统函数 的模拟滤波器数字化。 解：

模拟滤波器的频率响应为: 示于图a 数字滤波器的频率响应为: 显然 与采样间隔T有关,如图b, T越小,衰减越大,混叠越小,当 fs=24Hz ,混叠可忽略不计,为什么混迭呢?

小结  1)脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的，ω＝ΩΤ，ω与Ω是线性关系。 因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通过变换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。 例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。 2)在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响应不变法。

3)如果Ha(s)是稳定的，即其极点在S左半平面，映射后得到的H(Z)也是稳定的。 4)脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通，而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中 ，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于 的频带，再用脉 冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响应时才采用。

第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里； 第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。 二、双线性变换法 1、变换原理 脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从S平面到Z平面的标准变换z＝esT的多值对应关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步： 第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里； 第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。 由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。

s平面 s1平面 z平面 双线性变换法的映射关系

这里C是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定C，可使模拟滤波器的频率特性与数字源波器的频率特性在不同频率点 有对应关系。 为了将S平面的jΩ轴压缩到S1平面jΩ1轴上的－π/T到π/T 一段上，可通过以下的正切变换实现： 这里C是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定C，可使模拟滤波器的频率特性与数字源波器的频率特性在不同频率点 有对应关系。 经过这样的频率变换， 当Ω由 时, Ω1由-π/T经过０变化到π/T ，即S平面的整个jΩ轴被压缩到S1平面的2π/T 一段。

将这一关系解析扩展至整个S平面，则得到 S平面到S1平面的映射关系： 再将 S1 平面通过标准变换关系映射到Z平面，即令 通常取c=2/T, 考虑z = ejω,

最后得S平面与Z平面的单值映射关系：   以上两式存在S平面与Z平面的单值映射关系，这种变换就称为双线性变换。 双线性换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应，S平面的虚轴(整个jΩ)对应于Z平面 单位圆的一周，S平面的Ω=0处对应于Z平面的ω=0处，对应即数字滤波器的频率响应终 止于折叠频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。

即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是稳定的。如图。 图 双线性变换的频率非线性关系

2、逼近的情况 对单位圆 , 即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。 ② 时 ① 当 时，得： 对单位圆 , 即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。 ② 时

3、优缺点 1) 与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主要优点：S平 面与Z平面是单值的一一对应关系（靠频率的严重非线性关系得到的），即整个jΩ轴单值的对应于单位圆一周，关系式为：  可见，ω和Ω为非线性关系，如图2。

图2 双线性变换的频率非线性关系 由图中看到，在零频率附近，Ω～ω接近于线性关系，Ω进一步增加时，ω增长变得缓慢， (ω终止于折叠频率处)，所以双线性变换不会出现由于高频部 分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。

a. 数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变)。 2)双线性变换缺点： Ω与ω成非线性关系，导致： a. 数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变)。 例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是直线关系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器 b. 线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非线性相位。 c.要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。

虽然双线性变换有这 样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为∞的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。

预畸变： 即将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，然后通过双线性变换后正好映射到所需要的频率上。 利用关系式： 将所要设计的数字滤波器临界频率点 ，变换成对应的模拟域频率 ，利用此 设计模拟滤波器，再通过双线性变换，即可得到所需的数字滤波器，其临界频率正是 。如图所示。

双线性变换时频率的预畸变

4、模拟滤波器数字化方法——计算H(Z) 双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。由于s与z之间的简单代数关系，所以从模拟传递函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数。 置换过程:  频响：

这些都比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷得多，一般，当着眼于滤波器的时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好，而其他情况下，对于IIR的设计，大多采用双线性变换。