第2章 控制系统的数学模型 2.1 列写系统的微分方程 2.2 传递函数 2.3 系统的动态结构图 2.4 动态结构图的等效变换 2.5 信号流图与梅逊公式 2.6 系统的传递函数 习题

2.1 列写系统的微分方程 　微分方程是在时域中描述系统动态特性的数学模型。 列写系统的微分方程是建立数学模型的重要环节。 研究控制系统时常用的传递函数、 动态结构图等都是在微分方程的基础上衍生出来的。

一般线性定常系统或元件的典型形式为   （2-1）  

图 2-1 带阻尼的弹簧系统

2.1.1 机械系统 例2.1 带阻尼的弹簧系统如图2-1所示， 试列写系统的微分方程。 解 (1) 明确输入、 输出量。 外作用力F为输入变量， 位移x为输出变量。 (2) 建立输入、 输出量的动态联系。设质量m相对于初始平衡状态的位移、 速度和加速度分别为x、 dx/dt和d2x/dt2。 根据牛顿定律得

（2-2） 其中， k为弹簧的弹性系数， f为阻尼器的粘性摩擦系数。 (3) 整理, 得系统数学模型： （2-3）

2.1.2 电路系统 例2.2 已知一RLC电路如图2-2所示， 试列写其微分方程。 解 (1) 明确输入、 输出量。 uo(t)为输出量， ui(t)为输入量。 (2) 建立输入、 输出量的动态联系。 （2-４） （2-5）

图 2-2 RLC电路

(3) 消去中间变量， 得到系统的数学模型。 由式(2-5)得 代入式(2-４), 得 （2-6）  

2.1.3 机电系统 　 例2.3 已知一他励直流电动机系统如图2-3所示， 试列写其微分方程。 图中， u(t)为电枢电压； Ea为反电动势； Ia为电枢电流； Ra为电枢电阻； La为电枢电感； M为电磁力矩； Ω为电机角速度； J为电动机总的转动惯量； f为电动机和负载折算到轴上的等效粘性阻尼系数； If为励磁电流（常数）。 　　 解 (1) 明确输入、 输出量。 输出量为Ω， 输入量为u(t)。

图2-3 直流电动机系统

(2) 建立输入、 输出量的动态联系。 在他励直流电动机系统中有机械运动及电磁运动， 二者之间还存在耦合。 根据几种关系建立的输入、 输出量的动态联系为 机械运动： （2-7） 电磁运动: （2-8）

机电之间的耦合关系： Ea=CeΩ 　　　　 　 （2-９） M=CmIa 　　 　　　 （2-10） 其中， Ce为电动机电势常数； Cm为电动机力矩常数。

(3) 消去中间变量， 得到系统的数学模型。 消去中间变量Ea、 Ia和M, 得 （2-11）

当电动机的电感La和粘性摩擦系数f较小时， 二者对系统的动态影响可以忽略不计， 则式(2-11)可以简化为 　（2-12） 其中 称为电动机的机电时间常数。

2.1.4 非线性方程的线性化 　严格说， 现实系统中的元件几乎都具有不同程度的非线性， 所以对于系统的输入变量和输出变量之间的关系来说， 其实应该用非线性动态方程来加以描述。 但是在大多数情况下， 非线性因素都比较弱， 可以将它们近似为线性元件， 然后用线性微分方程加以描述。 然而， 有的元件的非线性程度较为严重， 如果简单地将它们看作线性元件， 则会使建立的数学模型与实际情况偏离过大， 从而导致分析结果出现错误。

通常采用“小偏差法”对非线性方程进行线性化。 应用“小偏差法”的条件是输入变量和输出变量的函数及各阶导数值在预定的工作点附近都存在。 该方法的实质是在一个很小的范围内将非线性曲线用一段直线来代替。 方法如下。 设非线性函数y=f(x)， 其特性如图2-４所示。

图 2-4 非线性特性

图中， A点为工作点， y0=f(x0)。 x、 y在工作点附近做小范围增量变化， 即当x=x0+Δx 时， 有y=y0+Δy。 则函数y=f(x)在工作点附近可以展开成泰勒级数： （2-13）

当Δx很小时， 可以忽略上式的高次项， 则式(2-13)可以改写为 y=f(x0)+f′(x0)Δx 　　　 　（2-1４） 或 y-y0=f′(x0)Δx 　　　　 　（2-15） 即 Δy=f′(x0)Δx 　　　　 （2-16）

对于式(2-16)， 如果略去增量符号Δ， 那么非线性函数y=f(x)在工作点处的线性化方程就是 y=f′(x0)x 　　　　　 　　（2-1７） 令k=f′(x0)， 则有 y=kx 　　　　　　 　　（2-1８）

2.2 传递函数 2.2.1 传递函数的概念 设RC电路如图2-5所示， 输入电压为ui(t)， 输出电压为uo(t)。 （2-19） 2.2 传递函数 2.2.1 传递函数的概念 　　 设RC电路如图2-5所示， 输入电压为ui(t)， 输出电压为uo(t)。   （2-19） 令RC=T， 上式改写为 （2-20）

图2-5 RC电路

设初始值uc(0-)=0， 对式(2-20)进行拉氏变换， 得 TsUo(s)+Uo(s)=Ui(s) 　　　　　 （2-21） 比较式(2-20)和式(2-21)可以看出， 只要将微分方程中的d/dt变为s； uo(t)变为Uo(s)； ui(t)变为Ui(s)， 就可以得到象方程。 二者的结构、 项数、 系数和阶次完全一致。

将式(2-21)整理, 得 　（2-22） 式(2-22)中， Uo(s)和Ui(s)分别为输出量和输入量的象函数。 由式(2-22)可知， Uo(s)和Ui(s) 的比值是s的有理分式函数， 只与系统的结构和参数有关， 而与输入信号无关。 由于它包含了微分方程(2-19)中的全部信息， 故可以用它作为在复频域中描述RC电路输入-输出关系的数学模型， 可记为

（2-23） 这一关系可以用图2-6所示的方框图表示， 输入信号经过G(s)动态传递到输出， 故称G(s)为RC电路的传递函数。

图2-6 RC电路方框图

2.2.2 传递函数的定义 　 　传递函数是指在零初始条件下， 线性定常系统输出变量的拉氏变换象函数与输入变量的拉氏变换象函数之比。 　　 设线性定常系统为 （2-2４）

设初始值为0， 对式(2-2４)两边进行拉氏变换得 (a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an)C(s) =(b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bm)R(s) （2-25） 根据传递函数的定义得到系统的传递函数为 　（2-26）

2.2.3 传递函数的性质 (1) 传递函数是将线性定常系统的微分方程经拉氏变换后导出的， 因此传递函数的概念只适用于线性定常系统。 　 　(2) 传递函数是复变量s的有理分式函数， 通常n≥m， 且所有的系数均为实数。 　　 (3) 传递函数只取决于系统或元件的结构和参数， 与输入量的形式和大小无关。 　　 (4) 传递函数是在零初始条件下求得的。

2.2.4 传递函数的求法 　　 1. 根据系统的微分方程求传递函数 　 　 首先列写出系统的微分方程或微分方程组， 然后在零初始条件下求各微分方程的拉氏变换， 将它们转换为s域的代数方程组， 消去中间变量， 得到系统的传递函数。

例2.4 试求例2.2中RLC电路的传递函数。 解 根据基尔霍夫定律， 有 （2-27） （2-28）

在零初始条件下, 将上两式进行拉氏变换得 （2-29） （2-30） 消去中间变量I(s)后， 得 (LCs2+RCs+1)Uo(s)=Ui(s) 　 （2-31） 根据传递函数的定义, 可得RLC电路的传递函数为 （2-32）

2. 用复阻抗的概念求电路的传递函数 　　 在电路中有三种基本的阻抗元件： 电阻、 电容、 电感。 流过这三种阻抗元件的电流i与电压u的关系是 电阻： u=Ri； 　电容： ； 　 电感： 。

对以上各等式两边作拉氏变换（零初始条件）， 得： 电阻： U(s)=RI(s) 可见电阻R的复阻抗仍为R。 电容： 整理得 可见电容的复阻抗为1/(Cs)。

电感： U(s)=LsI(s) 可见电感的复阻抗为Ls。 复阻抗在电路中经过串联、 并联， 组成各种复杂电路， 其等效阻抗的计算和一般电阻电路完全一样。 通过复阻抗的概念可以直接写出一个电路的传递函数， 省掉了微分方程的推导和计算过程， 从而减小了计算量。

例2.5 试用复阻抗的概念求例2.2所示电路的传递函数。 解 根据基尔霍夫定律， 有 （2-33） 整理得 （2-34）

2.3 系统的动态结构图 控制系统的动态结构图（方框图）是描述系统中各变量间关系的数学图形。 应用动态结构图可以简化复杂控制系统的分析和计算， 同时能直观地表明控制信号在系统内部的动态传递关系， 因此在控制理论中的应用十分广泛。

2.3.1 动态结构图 　　 动态结构图是系统中各环节函数功能和信号流向的图形表示， 由函数方框、 信号线、 信号分支点、 信号相加点等组成（如图2-７所示）。 　 　(1) 信号线（如图2-7(a)所示）： 表示输入、 输出通道， 箭头代表信号的传递方向。 　 　(2) 函数方框（传递方框， 如图2-7(b)所示）： 方框内为具体环节的传递函数。

(3) 信号相加点（综合点、 比较点， 如图2-7(c)所示）： 表示几个信号相加减。 　 　(4) 信号分支点（引出点， 如图2-7(d)所示）： 表示同一信号输出到几个地方。  

图2-7 动态结构图的基本组成部分

2.3.2 动态结构图的绘制 　　 系统的动态结构图的绘制步骤如下： 　　 (1) 根据信号传递过程， 将系统划分为若干个环节或部件。 　　 (2) 确定各环节的输入量与输出量， 求出各环节的传递函数。 　　 (3) 绘出各环节的动态结构图。 　　 (4) 将各环节相同的量依次连接， 得到系统动态结构图。

例2.6 试绘制图2-8所示RC电路的动态结构图。 图 2-8 RC电路

解 (1) 根据信号传递过程， 将系统划分为四个部件： R1、 C1、 R2、 C2。 　　 (2) 确定各环节的输入量与输出量， 求出各环节的传递函数。 　 R1： 　输入量为ui-u1， 输出量为i1； 传递函数为

C1： 输入量为i1-i2， 输出量为u1； 传递函数为 R2： 输入量为u1-uo， 输出量为i2； 传递函数为 C2： 输入量为i2， 输出量为uo； 传递函数为

(3) 绘出各环节的动态结构图（如图2-9所示）。 (4) 将各环节相同的量依次连接， 得到系统动态结构图（如图2-10所示）。

图 2-9 RC电路各部件的动态结构图

图 2-10 RC电路的动态结构图

2.3.3 动态结构图的基本连接方式 　　 动态结构图的基本连接方式有三种： 串联、 并联、 反馈。 复杂系统的动态结构图都是由这三种基本的连接方式组合而成的。 1. 串联 如图2-11所示， 在串联连接方式中， n个环节首尾相连， 前一个环节的输出作为后一个环节的输入， 这种连接方式称为串联。

图 2-11 串联环节

n个环节串联后的总传递函数等于各环节的传递函数的乘积： （2-35）

2. 并联 如图2-12所示， 在并联连接方式中， n个环节的输入相同， 而总输出为各环节输出的代数和， 这种连接方式称为并联。

图 2-12 并联连接

n个环节并联后的总传递函数等于各环节的传递函数之代数和： （2-36）

3. 反馈 　 　图2-13所示为反馈连接方式的一般形式， 其特点是将系统的输出信号C(s)在经过某个环节H(s)后， 反向送回到输入端。

图 2-13 反馈连接

从E(s)到C(s)的通道称为前向通道， 从C(s)到B(s)的通道称为反馈通道。 前向通道和反馈通道在系统中形成闭合回路。 从R(s)到C(s)的传递函数称为闭环传递函数， 一般用Φ(s)表示。 根据反馈信号加在相加点的极性， 反馈连接方式可以分为负反馈和正反馈。 由图2-13可知， 在负反馈的情况下： C(s)=G(s)E(s)=G(s)［R(s)-B(s)］=G(s)［R(s)-H(s)C(s)］ 即 ［1+G(s)H(s)］C(s)=G(s)R(s) 　　　　　　　　　　　　

整理得 （2-37） 相应的， 在正反馈的情况下： (2-38） 如果反馈通道的传递函数H(s)=1， 则称闭环系统为 单位反馈系统。

2.4 动态结构图的等效变换 2.4.1 相加点的移动 1. 相加点的前移 　 　将图2-14（a）中G(s)方框之后的相加点移到方框之前， 需要在被挪动的通道串上1/G(s) 方框， 其等效结构如图2-14(b)所示。

图 2-14 相加点的前移

移动前 　　　　　　　　 C(s)=R(s)G(s)±X(s) 移动后 移动前后的输出相同， 可见二者是等效的。

2. 相加点的后移 　　 将图2-15（a）中G(s)方框之前的相加点移到方框之后， 需要在被挪动的通道串上G(s) 方框， 其等效结构如图2-15(b)所示。 移动前 C(s)=［R(s)±X(s)］G(s) 移动后 C(s)=R(s)G(s)±X(s)G(s)=［R(s)±X(s)］G(s)   移动前后的输出相同， 可见二者是等效的。

图 2-15 相加点的后移

　 3. 相加点之间的移动 将图2-16（a）中的两个相加点交换位置之后， 其等效结构如图2-16(b)所示。 移动前 C(s)=R1(s)±R2(s)±R3(s) 移动后 C(s)=R1(s)±R3(s)±R2(s)   移动前后的输出相同， 可见二者是等效的。 这说明相加点之间可以任意移动。

图 2-16 相加点之间的移动

2.4.2 分支点的移动 1. 分支点的前移 　　 将图2-17（a）中G(s)方框之后的分支点移到方框之前， 需要在被挪动的通道串上G(s) 方框， 其等效结构如图2-17(b)所示。 移动前 C(s)=R(s)G(s) 移动后   移动前后的输出相同， 可见二者是等效的。

图2-17 分支点的前移

2. 分支点的后移 　　 将图2-18（a）中G(s)方框之前的分支点移到方框之后， 需要在被移动的通道串上1/G(s)方框， 其等效结构如图2-18(b)所示。 图 2-18 分支点的后移

移动前 C(s)=R(s) 移动后 移动前后的输出相同， 可见二者是等效的。

3. 分支点之间的移动 将图2-19（a）中的两个分支点交换位置之后， 其等效结构如图2-19(b)所示。 移动前后相邻分支点的输出相同， 可见二者是等效的。 说明分支点之间可以任意移动。

图 2-19 分支点之间的移动

例2.7 化简图2-10所示RC电路的动态结构图， 并求出传递函数。 　　 解 这是一个多回路的动态结构图， 图中有多处交叉， 所以必须移动相加点和分支点， 消除交叉连接， 使各个回路互相分离。 移动过程如图2-20(a)、 (b)、 (c)所示， 从而求得系统的传递函数： （2-39）

图 2-20 RC电路动态结构图的等效变换过程

2.5 信号流图与梅逊公式 信号流图与动态结构图一样， 也是一种描述控制系统信号传递关系的数学图形， 它比动态结构图更简洁。 利用梅逊公式可以避免复杂的动态结构图的等效变换， 直接写出信号流图或动态结构图所描述的控制系统的传递函数。

2.5.1 信号流图的组成 　　 信号流图的基本单元有两个： 节点和支路。 在图2-21所示的信号流图中， 节点表示系统中的变量或信号， 在图中用一个小圆圈表示。 支路是连接两个节点的有向线段， 支路上的箭头表示信号传递的方向； 两个变量之间的因果关系式叫做增益（相当于动态结构图方框中的传递函数）， 增益标在相应的支路上。支路相当于一个乘法器， 信号流经支路时， 乘上支路增益变为另一信号。

如节点变量X2与其它变量的因果关系可以表示为： X2=aX1-dX4 　　　 　　　（2-４0） 节点具有两个特点： ① 节点所表示的变量等于流入该节点的信号之和。 ② 从节点流出的每一支路信号都等于该节点所表示的变量。 可见节点起到了动态结构图中相加点和分支点的作用（这一特点对于根据动态结构图画出信号流图而言是非常有用的）。

节点分为三种： 　　 (1) 输入节点。 只有输出支路的节点， 又称为源节点， 用来表示系统的输入变量， 如图2-21 中的X1节点。 　 (2) 输出节点。 只有输入支路的节点， 又称为阱节点， 用来表示系统的输出变量， 如图2-21 中的X5节点。 　 　(3) 混合节点。 既有输入支路， 又有输出支路的节点， 如图2-21中的X2、 X3、 X4节点。

图 2-21 信号流图

2.5.2 信号流图的绘制 　 　信号流图可以根据系统的微分方程绘制： 在列写出系统的微分方程以后， 利用拉氏变换将微分方程转换为s域的代数方程； 再根据系统中各变量的因果关系， 将对应的节点从左到右顺序排列； 最后绘制出有关的支路， 并标出各支路的增益， 就可以得到系统的信号流图。 当然， 在画出系统的动态结构图的基础上， 也可以根据动态结构图绘制信号流图。

例2.8 试绘制图2-22所示RC电路的动态结构图对应的信号流图。

解 在动态结构图中的信号线上流动的信号对应于信号流图中的节点。 图2-22中有8个不同的信号： Ui、 E1、 I1、 E2、 U1、 E3、 I2、 Uo。 　　 (1) 按从左到右的顺序， 画出上面的8个信号对应的节点。 　 　(2) 按结构图中信号的传递关系用支路将这些节点连接起来， 并标出支路的信号传递方向。 　 　(3) 将结构图中的传递函数标在对应的信号流图中的支路旁。 如果动态结构图的输出信号为负， 则信号流图中对应的增益也应该加一个负号， 如图2-23所示。

图 2-23 RC电路的信号流图

2.5.3 梅逊(S.J.Mason)公式 　应用梅逊公式可以不进行结构变换而直接得到系统的传递函数。 　　 梅逊公式为（对于动态结构图而言）   （2-４1）

其中, Δ为系统的主特征式， 且： Δ=1-∑La+∑LbLc-∑LdLeLf+… 　　（2-４2） ∑La为各回路的回路传递函数 回路传递函数是指每一个回路前向通道和反馈通道的传递函数之乘积， 并且包含表示反馈极性的正、 负号。

例2.9 试用梅逊公式求图2-23所示RC电路的信号流图的传递函数。 例2.10 试用梅逊公式求图2-2４所示动态结构图的传递函数。

图2-2４ 某系统的动态结构图

2.6 系统的传递函数 控制系统一般受到两类信号的作用。 一类是有用信号r(t), 即输入信号、 给定信号、 指令信号； 另一类是各种干扰信号n(t)。 输入信号r(t)加在控制装置的输入端， 即系统的输入端。 干扰信号n(t)一般作用在受控对象上， 但也可能出现在其他元部件上， 甚至夹杂在输入信号中。 一个系统往往有多个干扰信号， 一般只考虑其中主要的干扰信号。

闭环控制系统的典型结构如图2-25所示。 在控制系统中， 影响系统输出的因素不仅有输入信号r(t)， 而且还有干扰信号n(t)， 因此在研究系统被控量c(t)的变化规律时， 要同时考虑r(t)和n(t)的影响。 下面介绍控制系统中经常使用的几个系统传递函数的概念。

图 2-25 闭环控制系统的典型动态结构图

2.6.1 闭环控制系统的开环传递函数 　 　在图2-25中， 将反馈环节H(s)的输出端切断， 断开系统的反馈通道。 则反馈信号B(s)与输入信号R(s)的比值， 称为系统的开环传递函数： （2-51） 也就是说， 闭环控制系统的开环传递函数等于前向通道的传递函数与反馈通道的传递函数的乘积， 一般用Gk(s)表示。

需要注意的是： ① 要将闭环控制系统的开环传递函数与开环控制系统的传递函数区别开来。 ② 闭环控制系统的开环传递函数与梅逊公式中的回路传递函数是不同的， 开环传递函数不包含反馈的极性。

2.6.2 给定输入信号r(t)作用下的闭环传递函数 　　 由于只考虑r(t)的作用， 因此可设n(t)=0， 图2-25简化为图2-26。   （2-52） 称Φr(s)为r(t)作用下的闭环传递函数。 而输出量为 （2-53）

图 2-26 r(t)作用下的系统动态结构图

2.6.3 扰动信号n(t)作用下的闭环传递函数 由于只考虑n(t)的作用， 因此可设r(t)=0， 图2-25简化为图2-2７。 图 2-27 n(t)作用下的系统动态结构图

输出量c(t)与扰动信号n(t)之间的闭环传递函数为 （2-54） 称Φn(s)为n(t)作用下的闭环传递函数。 而输出量为 （2-55）

2.6.4 系统的总输出 　　 根据线性系统的叠加原理， 系统的总输出为给定输入r(t)和扰动输入n(t)引起的输出的总和， 将式(2-53)和(2-55)相加， 得到系统的总输出 （2-56）

2.6.5 闭环系统的误差传递函数 　　 控制系统误差的大小反映了系统的控制精度， 故有必要分析误差与输入信号r(t)和扰动n(t)之间的关系。 闭环系统的误差e(t)是指给定输入信号r(t)和反馈信号b(t)之差：   e(t)=r(t)-b(t) 　　　　 　（2-57） E(s)=R(s)-B(s) （2-58）

1. r(t)作用下闭环系统的误差传递函数 令n(t)=0， 以E(s)为输出量， 将图2-25转换为图2-28。 求得 （2-59）

图 2-28 r(t)作用下的误差输出结构图

2. n(t)作用下闭环系统的误差传递函数 令r(t)=0， 以E(s)为输出量， 将图2-25转换为图2-29。 求得 （2-60）

图2-29 n(t)作用下闭环系统的误差传递函数

3. 系统的总误差 　　由叠加原理可得， 系统的总误差为 E(s) =Φer(s)R(s)+Φen(s)N(s) （2-61）

比较Φr(s)、 Φn(s)、 Φer(s)和Φen(s)可以看出， 它们都具有相同的分母——［1+G1(s)G2(s)H(s)］， 即它们均具有相同的特征方程   该特征方程反映了它们共同的本质， 其根就是反馈控制系统的闭环特征根。

习 题 2.1 试列写出习题2.1图中各电路的动态方程。 2.2 试求习题2.2图所示有源网络的传递函数。 习 题 2.1 试列写出习题2.1图中各电路的动态方程。 2.2 试求习题2.2图所示有源网络的传递函数。 2.3 试求习题2.3图所示有源网络的传递函数。

习题2.1图

习题2.2图

习题2.3图

2.4 试用拉氏变换变换下列微分方程（初始值为0）。

2.5 系统的微分方程如下：

式中, T1、 T2、 K1、 K2、 K3均为正的常数， 系统的输入量为r(t)， 输出量为c(t)， 试画出动态结构图， 并求传递函数C(s)/R(s)。

2.6 系统微分方程如下： x1(t)=r(t)-c(t)-n1(t) x2(t)=K1x1(t) x3(t)=x2(t)-x5(t)

式中, T、 K1、 K2、 K3均为正常数。 试建立以r(t)、 n1(t)和n2(t)为输入量， c(t)为输出量的系统动态结构图。 2.7 试将习题2.7图所示的动态结构图转换为信号流图。 2.8 分别用等效变换及梅逊公式求解习题2.8图所示各图的传递函数C(s)/R(s)。 2.9 试求习题2.9图所示系统分别在输入信号和扰动信号作用下的闭环传递函数， 并求系统的总输出。

习题2.7图

习题2.8图

习题2.9图