基本电路理论 第四章 电阻性网络的一般分析与网络定理 上海交通大学本科学位课程 电子信息与电气工程学院2004年7月

§4.3 节点分析法系统方法 基本要求： 了解系统步骤中一般支路的概念 列写降阶关联矩阵A 了解系统方法列写电阻网络节点方程的过程 §4.3 节点分析法系统方法 基本要求： 了解系统步骤中一般支路的概念 列写降阶关联矩阵A 了解系统方法列写电阻网络节点方程的过程 节点电导矩阵的建立和节点电流源列向量的正负问题 用视察法列写电阻网络节点方程

§4.3 节点分析法系统方法 典型支路特性方程 AIb=0、Vb=ATEn §4.3 节点分析法系统方法 在第一章网络图论中已得到KCL、KVL矩阵方程 AIb=0、Vb=ATEn 其中A为降阶关联矩阵，Ib为支路电流列向量，Vb为支路电压列向量，En为节点电压列向量。 典型支路特性方程 对具有b条支路的网络所有支路电流、电压有 Ib=Gb(Vb-VSb)+ISb、Vb=Rb(Ib-ISb)+VSb 其中ISb、VSb分别为支路电流、电压源列向量，Gb、Rb分别为支路电导、电阻矩阵，都是b×b阶对角阵。

§4.3 节点分析法系统方法 节点方程 KCL AIb=0 ① KVL Vb=ATEn ② 支路方程 Ib=Gb(Vb-VSb)+ISb ③ §4.3 节点分析法系统方法 节点方程 KCL AIb=0 ① KVL Vb=ATEn ② 支路方程 Ib=Gb(Vb-VSb)+ISb ③ 支路将③→① AIb=AGbVb-AGbVSb+AISb=0 AGbVb=AGbVSb-AISb ④ 将②→④ AGbATEn =AGbVSb-AISb 定义节点电导矩阵 Gn=AGbAT 定义节点电流源列向量 IS = AGbVSb-AISb 则 GnEn = IS 其中Gn称节点电导矩阵，En是节点电压（对参考节点）列向量，IS为节点电流源列向量。

§4.3 节点分析法系统方法 主对角线元素gii为自电导，总是正的，非主对角线元素gij为互电导，总是负的。 节点电导矩阵Gn §4.3 节点分析法系统方法 节点电导矩阵Gn 主对角线元素gii为自电导，总是正的，非主对角线元素gij为互电导，总是负的。 由Gn=AGbAT，进行转置，GnT=(AGbAT)T =( AT)T(AGb)T =AGbTAT=AGbAT，所以Gn是对称阵。 求解支路电压、支路电流 由节点方程Gn En = IS，求得节点电压En = Gn-1IS 已知En得支路电压Vb=ATEn，支路电流Ib=Gb(Vb-VSb)+ISb 在无受控源时，所得节点方程和视察法所得节点方程完全一样。

§4.3 节点分析法系统方法 若是正弦稳态情况，则矩阵方程中的列向量均为相量列向量，支路电导矩阵和节点电导矩阵将成为支路导纳矩阵 Yb和节点导纳矩阵Yn。此时Yb=Yb(j)，Yn=Yn(j)，称符号(或复数)导纳，都是j的函数。 对具有互感的电路，支路符号导纳矩阵将不再是对角矩阵，而是对称矩阵。设支路1、2间有互感，则 对具有受控源的电路，Yb和Yn，Gb和Gn一般就不再是对角阵或对称阵。当电路中含有受控源时，可以有两种处理方法 ①在建立支路矩阵（支路导纳矩阵或支路符号导纳矩阵）时将受控源考虑进去 ②先将受控源按独立源处理，最后转移到Gn或Yn中去。

§4.4 网孔分析法 基本要求： 列写网孔矩阵M 了解系统方法列写电阻网络网孔方程的过程 网孔电阻矩阵的建立和网孔电压源列向量的正负问题 §4.4 网孔分析法 基本要求： 列写网孔矩阵M 了解系统方法列写电阻网络网孔方程的过程 网孔电阻矩阵的建立和网孔电压源列向量的正负问题 用视察法列写电阻网络网孔方程

§4.4 网孔分析法 根据对偶原理，在已知平面网络的节点矩阵和节点方程的情况下，完全可以得到有关网孔分析的方程。 网孔矩阵Ma（其对偶矩阵是关联矩阵Aa） 定义：设网络N具有b条支路，m+1个网孔(包括外网孔)，网孔方向为：内网孔顺时针方向，外网孔逆时针方向。于是可得网孔关联支路的(m+1)×b阶的网孔矩阵Ma=(mik)

§4.4 网孔分析法 网孔矩阵Ma（其对偶矩阵是关联矩阵Aa） KVL MVb=0 KCL Ib=MTJm §4.4 网孔分析法 网孔矩阵Ma（其对偶矩阵是关联矩阵Aa） 网孔矩阵的秩 由r(Aa)=nt-1，可推知r(Ma)=(m+1)-1=m 降阶网孔矩阵 在关联矩阵Aa中，把与参考节点对应的一行划去得降阶关联矩阵A。在网孔矩阵Ma中，把与外网孔对应的一行划去得降阶网孔矩阵M。M的秩仍为m KVL MVb=0 KCL Ib=MTJm 支路特性方程 ∴ Vb=Rb(Ib-ISb)+VSb Rb是b×b阶对角阵

§4.4 网孔分析法 网孔方程 KVL MVb=0 ① KCL Ib=MTJm ② 支路方程 Vb=Rb(Ib-ISb)+VSb ③ §4.4 网孔分析法 网孔方程 KVL MVb=0 ① KCL Ib=MTJm ② 支路方程 Vb=Rb(Ib-ISb)+VSb ③ 支路将③→① MVb=MRbIb-MRbISb+MVSb=0 MRbIb=MRbISb-MVSb ④ 将②→④ MRb MTJm =MRbISb-MVSb 定义 Rm= MRbMT VS = MRbISb-MVSb 则 Rm Jm = VS 其中Jm是网孔电流列向量，VS为网孔电压源列向量，Rm称网孔电阻矩阵。

§4.4 网孔分析法 网孔电阻矩阵 对主对角线元素rii为自电阻，总是正的，非主对角线元素rij为互电阻，总是负的(网孔电流全取顺时针方向)。Rm是对称矩阵, rij=rji。 如果是正弦稳态情况，则列向量→相量列向量，Rb→Zb支路阻抗矩阵，Rm→Zm网孔阻抗矩阵 对具有互感的电路，Zb→对称矩阵 对求解支路电流、支路电压 由网孔方程Rm Jm = VS可求得网孔电流Jm = Rm-1VS 已知Jm得支路电流Ib=MTJm，支路电压Vb=Mb(Ib-ISb)+VSb

§4.5 基本回路分析法 基本要求： 回路、单连支回路的概念 列写基本回路矩阵B 了解用系统方法列写电阻网络回路方程的过程 §4.5 基本回路分析法 基本要求： 回路、单连支回路的概念 列写基本回路矩阵B 了解用系统方法列写电阻网络回路方程的过程 回路电阻矩阵的建立和回路电压源列向量的正负问题 任选一树应用视察法写出网络的回路方程

§4.5 基本回路分析法 网孔分析有一定的局限性，而回路分析不受平面网络的限制，具有根大的灵活性。 网络图论基本定理指出，具有b 条支路，nt个节点的连通图有一个n = nt-1条树支组成的树，有l = b-nt+1= b-n 条连支，并且每一条连支都可以和一些树支构成一个唯一的回路，即基本回路。 根据KVL，对每个基本回路可得一个回路方程，总共为 l 个回路方程。由于每个基本回路中，总有一条新的连支，所以l 个回路方程是彼此独立的。

§4.5 基本回路分析法 基本回路矩阵Bf 基本回路是由一条连支和一些树支组成的闭合路径，因此它与树的选择有关，一旦树被确定，就可得一个基本回路矩阵，对基本回路矩阵的建立作如下的规定：①支路的编号按先连支、后树支的次序编排，②基本回路的方向取与连支的方向一致。于是有基本回路矩阵中各元素bik

§4.5 基本回路分析法 因为在Bf中含有 l 阶单位阵，所以 r (Bf)=l，即基本回路矩阵的秩是l，是满秩的。 §4.5 基本回路分析法 ，并总可表示成Bf =(1l┆F) 因为在Bf中含有 l 阶单位阵，所以 r (Bf)=l，即基本回路矩阵的秩是l，是满秩的。 根据KVL BfVb=0 根据KCL 上面网络的支路电流ib与回路电流jl关系为

§4.5 基本回路分析法 Bf =(1l┆F) 矩阵是6×3阶矩阵，前三行三列为单位阵，后三行三列正好是矩阵F的转置。所以，上面的6×3阶矩阵是基本回路矩阵Bf的转置BfT。

§4.5 基本回路分析法 基本回路方程 KVL BfVb=0 ① KCL Ib=BfTJl ② §4.5 基本回路分析法 基本回路方程 KVL BfVb=0 ① KCL Ib=BfTJl ② 支路方程 Vb=Rb(Ib-ISb)+VSb ③ 支路将③→① BfVb=BfRbIb-BfRbISb+BfVSb=0 BfRbIb=BfRbISb-BfVSb ④ 将②→④ BfRbBfTJl =BfRbISb-BfVSb 定义 Rl=BfRbBfT ES = BfRbISb-BfVSb 则 Rl Jl = ES 其中Rl称基本回路电阻矩阵，Jl是基本回路电流列向量，ES为基本回路电压源列向量。

§4.5 基本回路分析法 回路方程的形式和网孔方程的形式是相似的。对于基本回路电阻矩阵 §4.5 基本回路分析法 回路方程的形式和网孔方程的形式是相似的。对于基本回路电阻矩阵 主对角线元素 rii为自电阻，总是正的，非主对角线元素 rij为互电阻，互电阻的正负取决于回路i与回路j在公共支路上的方向，一致时取正，否则取负。 例 设6条支路的电阻分别为R1，R2，…，R6，用视察法求回路电阻矩阵和回路方程。

§4.5 基本回路分析法 例 用视察法求电路的回路电阻矩阵和基本回路方程 用连支电流表示支路电流 §4.5 基本回路分析法 例 用视察法求电路的回路电阻矩阵和基本回路方程 解 将受控源当独立源处理，用视察法建基本回路方程。 用连支电流表示支路电流 即i2=J2，v4=R4i4=R4(J1-J2-J3)

§4.5 基本回路分析法 用连支电流表示支路电流，即i2=J2，v4=R4i4=R4(J1-J2-J3) §4.5 基本回路分析法 解 将受控源当独立源处理，用视察法建基本回路方程。 用连支电流表示支路电流，即i2=J2，v4=R4i4=R4(J1-J2-J3)

§4.6 基本割集分析法 基本要求： 割集、单树枝割集的拓扑概念 列写基本割集矩阵Qf 了解用系统方法列写电阻网络回路方程的过程 §4.6 基本割集分析法 基本要求： 割集、单树枝割集的拓扑概念 列写基本割集矩阵Qf 了解用系统方法列写电阻网络回路方程的过程 割集电导矩阵的建立和割集电流源向量的正负问题 任选一树应用视察法写出网络的基本割集方程

§4.6 基本割集分析法 基本割集矩阵Qf 建立基本割集矩阵的规定 §4.6 基本割集分析法 在网络拓扑图中，树支和连支、基本割集和基本回路是互为对偶的元素，割集分析法和回路分析法是互为对偶的方法。只是互为对偶的基本割集和基本回路是由同一个树决定。 基本割集矩阵Qf 建立基本割集矩阵的规定 ①支路编号与建立基本回路时的编号一致 ②取树支的方向为基本割集的方向

§4.6 基本割集分析法 基本割集矩阵Qf ①支路编号与建立基本回路时的编号一致 ②取树支的方向为基本割集的方向 建立基本割集矩阵的规定 §4.6 基本割集分析法 基本割集矩阵Qf 建立基本割集矩阵的规定 ①支路编号与建立基本回路时的编号一致 ②取树支的方向为基本割集的方向 ，可以表示成Qf =(E┆1n) Qf中含有n阶单位阵，所以r (Qf) = n，基本割集矩阵Qf是满秩矩阵

§4.6 基本割集分析法 基本割集矩阵Qf ，Qf =(E┆1n) 由KCL Qf Ib=0 由KVL §4.6 基本割集分析法 基本割集矩阵Qf ，Qf =(E┆1n) 由KCL Qf Ib=0 由KVL Vt割集电压列向量，即树支电压列向量。由树支电压表示支路电压。

§4.6 基本割集分析法 基本割集方程 KCL QfIb=0 ① KVL Vb=QfTVt ② §4.6 基本割集分析法 基本割集方程 KCL QfIb=0 ① KVL Vb=QfTVt ② 支路方程 Ib=Gb(Vb-VSb)+ISb ③ 支路将③→① QfIb=QfGbVb-QfGbVSb+QfISb=0 QfGbVb=QfGbVSb-QfISb ④ 将②→④ QfGbQfTVt=QfGbVSb-QfISb 令 Gt=QfGbQfT JS = QfGbVSb-QfISb 则 GtVt= JS 其中Gt称基本割集电导矩阵，Vt是基本割集电压列向量，也即树支电压列向量，JS为基本割集电流源列向量 。

§4.6 基本割集分析法 基本割集电导矩阵Gt 例 用视察法求图示电路的基本割集电导矩阵和基本割集方程。 §4.6 基本割集分析法 基本割集电导矩阵Gt 主对角线元素gii为自电导，总是正的，非主对角线元素 gij为互电导，互电导的正负取决于割集 i与割集 j在公共支路上的方向，一致时取正，否则取负。 例 用视察法求图示电路的基本割集电导矩阵和基本割集方程。 解 用视察法建立基本割集方程，先将受控源当独立源处理。

§4.6 基本割集分析法 另外，i2=G2v2=G2(vC4-vC6) → -G5ri2=-G2G5r(vC4-vC6) §4.6 基本割集分析法 例 用视察法求图示电路的基本割集电导矩阵和基本割集方程。 解 用视察法建立基本割集方程，先将受控源当独立源处理。 用割集电压（即树支电压）表示受控量，可根据 Vb= QfTVt 得 v4= vC4。 另外，i2=G2v2=G2(vC4-vC6) → -G5ri2=-G2G5r(vC4-vC6)

§4.6 基本割集分析法 在网络中不含受控源的情况下，回路电阻矩阵Rl和割集电导矩阵Gt完全可由视察法求出。 §4.6 基本割集分析法 在网络中不含受控源的情况下，回路电阻矩阵Rl和割集电导矩阵Gt完全可由视察法求出。 在网络中含受控源的情况下，受控源可先按独立源处理，再移项。移项可在求支路电阻矩阵Rb和支路电导矩阵Gb时进行，也可在最后求回路电阻矩阵Rl和割集电导矩阵Gt时进行。 在回路方程中的受控电流或电压，最后一定要用回路电流（即连支电流）来表示；在割集方程中的受控电流或电压，最后一定要用割集电压（即树支电压）来表示。