一、条件概率 许多情况下，我们会遇到在事件A发生的条件下求事件B的概率问题，我们把这个概率称为在事件A发生的条件下事件B的条件概率。记作：P(B/A)； 相应地，P(B)称为无条件概率。 例如：老张有3个孩子，已知老大是女孩，求另外两个孩子也是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同)。 解：记A={老大是女孩}，B={三个孩子都是女孩} 所求概率为在事件A发生的条件下事件B的条件概率P(B/A)。 显然 P(B/A)=1/4.

另一方面，我们再求一下P(AB)/P(A)。 这个等式启发我们引入条件概率的定义： 定义1：设A、B是样本空间S中的两个事件，且P(A)>0，称 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。

二、概率乘法公式 将上式变形就得到概率论中非常有名的乘法公式： 定理：两个事件积的概率等于其中一个事件的概率与另一事件在前一事件发生的条件下的条件概率之积 。 即：P(AB)=Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ/Ａ) 　　 P(AB)=Ｐ(Ｂ)Ｐ(Ａ/Ｂ)　　 下面我们利用概率的统计定义证明一下这个结论。

由概率的统计定义,概率是频率的稳定性数值,故 证明：假设试验重复了n次，事件A发生了m次，事件B 发生了k次，事件AB发生了r次，则 　事件A发生的频率为：m/n 事件B发生的频率为：k/n 事件AB发生的频率为：r/n 在事件A发生的条件下事件B发生 的频率为：r/m 由于 B 由概率的统计定义,概率是频率的稳定性数值,故

问：P(B/A)与P(B)的样本空间一样吗？

注意：上述公式还可以推广到三个及以上的情形 用条件概率解答下列问题.

讨论： 用条件概率解答囚犯和看守关于处决谁是否要保密的问题. 问题： 监狱看守通知三个囚犯，在他们三人中要随机地选出一个处决，而把另外两个释放。囚犯甲请求看守秘密告诉他，另外两个囚犯中谁将获得自由。请问：就甲的求生而言，看守该如何做对甲有利？ 解：设A=“甲被处决”， B=“乙被处决”， C=“丙被处决” 注意:A、B、C是两两互斥事件。

若看守不告诉甲： P(A)=1/3 若看守告诉甲，比如乙将获释，则： 同理：

讨论：用条件概率计算抽签问题 解：记 Ai=“第i人抽到入场券”, i=1,2,3,4,5. 　5个球迷得到一场精彩球赛的入场券，只好用抽签方式决定谁去。 解：记 Ai=“第i人抽到入场券”, i=1,2,3,4,5. =“第i人没抽到入场券, i=1,2,3,4,5.

第二个人抽到意味着第一个人未抽到，

同理：第三个人抽到意味着前两人均未抽到 类似可得：P(A4)=P(A5)=1/5.

例1（波里亚罐子模型)：一个罐子中装有b个黑球和r个红球，从罐中随机地摸取一球，观看颜色后再放回罐中，并且再加进c个与所取出的球具有相同颜色的球。这种过程进行四次，试求第一、二次取到黑球且第三、四次取到红球的概率。 解：令Ai ={第i次取到黑球}, Bj ={第j次取到红球} i,j=1,2,3,4,… 则A1A2B3B4 表示事件“第一、二次取到黑球且第三、四次取到红球”，于是

说明：当c>0时，每次取出球后都会增加下一次再取到同色球的概率，这其实是一个传染病模型，即每次发现一个传染病患者后都会增加下一次再传染的概率。

例2：某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随机地拨号，假设拨过的数字不再重复，试求下列事件的概率。 （1）拨号不超过3次而接通电话的概率。 （2）第3 次拨号才接通电话的概率 解：令Ai ={第i次拨号才接通电话}, i=1,2,3 （1）拨号不超过3次而接通电话可表示为：

（2）第3 次拨号才接通电话可表示为： 于是：

三、事件的独立性 由条件概率我们知道，一般情况下P(B/A)≠P(B)，但有时也会出现P(B/A)=P(B)的情况。 例如：同时抛掷两枚均匀的硬币 记A={第一枚出现正面}，B ={第二枚出现正面} 显然P(B)=1/2，P(B/A)=1/2, 也就是说，A事件发生与否不影响事件 B发生的概率，即P(B/A)= P(B)，这时我们称事件A与B是相互独立的。

定义：设A、B为两事件，若满足 则称 A与B是相互独立的。 在事件A与B相互独立的情况下，乘法公式变得非常简单，即 P(AB)=P(A)P(B) 我们就用上式来定义事件的独立性 定义：设A、B为两事件，若满足 则称 A与B是相互独立的。

解：P(A)=4/52=1/13，P(B)=26/52=1/2， P(AB)=2/52=1/26，所以 例：从一幅不含大小王的扑克牌中任抽一张， 记A=“抽到K”，B=“抽到黑色的牌”，问事件A与B是否独立？ 解：P(A)=4/52=1/13，P(B)=26/52=1/2， P(AB)=2/52=1/26，所以 P(AB)=P(A)P(B) 即A与B是相互独立的。

◆说明：n个事件相互独立与两两独立的区别 下面以3个事件为例： 三个事件A、B、C相互独立，必须满足如下条件：　　　　　　　 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 三个事件A、B、C两两独立，只需满足 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C)

1、事件独立性的重要结论 （1）若事件A与事件B是相互独立的，则 　 一般情况下，当A、B、C两两独立时，等式　P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不一定成立。 （课本P29第19题） 1、事件独立性的重要结论 （1）若事件A与事件B是相互独立的，则 也是相互独立的。 （2）设A1,A2,A3,……,An相互独立，则有 P(A1 A2  A3  ……An)

（1）证明：

（2） P(A1 A2  A3  ……An) 2、利用独立性求事件的概率

注：实际应用中，对于事件的独立性我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来判断。 例1:甲、乙、丙三人进行射击，甲击中目标的概率为0.6,乙击中目标的概率为0.55,丙击中目标的概率为0.45。 令Ai=“第i人击中目标”，i=1，2，3。 （1）求三人都击中目标的概率。 （2）求目标被击中的概率。 (1)解：P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.1485

解：设Ak=“第k人的血清中含有肝炎病毒”， k=1,2,…，100 (2)P(A1+A2+A3)= 例2： 假设每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.004,混合100个人的血清，求此混合血清中含有肝炎病毒的概率。 解：设Ak=“第k人的血清中含有肝炎病毒”， k=1,2,…，100 B=“混合血清中含有肝炎病毒”

例3： （系统可靠性问题） 电子元件正常工作的概率称为该元件的可靠性。 设每个电子元件正常工作的概率为r,且是否正常工作相互独立，考察下列系统的可靠性。

四、全概率公式与贝叶斯公式 设B1,B2,…Bn为样本空间S的一组事件，且满足：  BiBj= ,ij, i,j=1,2,…..n；  B1B2 …  Bn=S 则对S中任意事件A，有 (1)式称为全概率公式， (2)式称为贝叶斯公式。

从而 P(A)=P(AS)=P(AB1AB2 …  ABn) 全概率公式 证明：由于 B1B2 …  Bn =S 所以 A=AS=A(B1B2 …  Bn) =AB1AB2 …  ABn 从而 P(A)=P(AS)=P(AB1AB2 …  ABn) =P(AB1)+P(AB2 )+ … +P(ABn ) = P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A | B2 ) + … + P(Bn) P(A | Bn )

(2)贝叶斯公式 证明：

的一组事件B1,B2,…Bn为样本空间S的一个划分。 定义：样本空间的划分 我们称满足：BiBj= ,ij, i,j=1,2,…..n；  B1B2 …  Bn=S 的一组事件B1,B2,…Bn为样本空间S的一个划分。

说明: 全概公式的作用在于把一个事件A化为许多互斥事件的和，且A至少与某个Bi一同出现。 下面看一下全概公式与贝叶斯(bayes)公式的应用。

例1：设某厂所用的晶体管是由甲、乙、丙三个厂家提供的，根据以往的记录有以下的数据： 设三个厂家的产品在仓库中是均匀混合的。 (1)在仓库中任取一只晶体管，求它是次品的概率； (2)在仓库中任取一只晶体管，发现它是次品，问它 是由甲厂生产的概率？

(1)解：设 A=“取到的一只晶体管是次品” Bi=“取到的是第i厂的产品” ，i=1,2,3. 则B1,B2,B3是样本空间的一个划分，且 P(B1)=0.15, P(B2)=0.80, P(B3)=0.05； P(A|B1)=0.02, P(A|B2)=0.01, P(A|B3)=0.03 由全概率公式: P(A)=P(A|B1) P(B1) +P(A|B2) P(B2)+ P(A|B3) P(B3)

P(A)=0.02×0.15+0.01×0.80+0.03×0.05=0.0125 (2) 由贝叶斯公式 P(B1|A)= 同理 P(B2|A)=0.64 , P(B3|A)=0.12 . 所以乙厂生产的可能性最大。

例2：某发报台分别以概率0. 6和0. 4发出信号“＋”与“－”。由于通信受到干扰，当发出信号“＋”时，收报台分别以概率0. 8和0 例2：某发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“＋”与“－”。由于通信受到干扰，当发出信号“＋”时，收报台分别以概率0.8和0.2收到信号“＋”与“－”；当发出信号“－”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“－”与“＋”。 （１）求收报台收到信号“＋”的概率。 （２）若收报台收到信号“＋” ，求是由信号“＋”发出的概率。

解：A={发出信号“＋”}， ={发出信号“－”}； ={收到信号“－”}； B={收到信号“＋”}， 显然 A， 是样本空间的一个划分,于是

例3：已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色盲，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲，求此人是男人的概率。 解：A={任选的一人是男人}， ={任选的一人是女人}；　 B={任选的一人是色盲}， 显然 A， 是样本空间的一个划分,于是

例4： 甲盒中有3只白球2只黑球，乙盒中有4只白球5只黑球，今从甲盒中任取一球放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，求从乙盒中取到白球的概率。 解：设 A=“从甲盒中取出的一球是白球”， =“从甲盒中取出的一球是黑球”; B=“从乙盒中取出白球”

显然 A， 是样本空间的一个划分， 由全概率公式

第一章 小结 概率论基本概念 事件间的关系和运算 概率的基本性质 古典概型与几何概型 条件概率、乘法公式及事件的独立性 全概公式与贝叶斯公式

解：A={甲中靶}, B={乙中靶}, C={丙中靶}； 练习1：甲、乙、丙三人向靶子各射击一次，结果有两发子弹中靶。已知甲、乙、丙中靶的概率分别为4/5，3/4，2/3，求丙脱靶的概率。 解：A={甲中靶}, B={乙中靶}, C={丙中靶}； D={三发中恰两发子弹中靶},则

补充例题： 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中飞机的概率分别为0. 4、0. 5、0. 7. 飞 机被一人击中而被击落的概率为0 补充例题： 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中飞机的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6， 若被三人击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.

解：Ai={第i人击中飞机}, i=1,2,3 Bi={飞机被击中i处}, i=0,1,2,3 C ={飞机被击落}

显然B0，B1，B2，B3构成样本空间的一个划分，且

由全概率公式: 即飞机被击落的概率为0.458.

作业：从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有2只能配成一双的概率。 解：A={4只鞋子中至少有2只能配成一双} ={4只鞋子全不成双}

思考：从5双不同的鞋子中任取4只，求这４只鞋子中至少有２只能配成一双的概率．

讨论：n个男生，m个女生（m<=n+1）随机地排成一列，问任意两个女孩都不相邻的概率是多少？ 解： 若这n+m个小孩围成一圈，则上述结果为：

登徒子好色赋 宋玉 作者简介：（约公元前298~约公元前222 ），宋玉所处的时代是战国后期，其生活时代主要是楚顷襄王在位时期，卒于楚亡之时。宋玉知识渊博，会写文章，又通晓音律。 大夫登徒子侍于楚王，短宋玉曰：“玉为人体貌闲丽（体态文雅，容貌美丽），口多微辞（说话婉转而巧妙），又性好色，愿王勿与出入后宫。”王以登徒子之言问宋玉。玉曰：“体貌闲丽，所

受于天 （天生的）也。口多微辞，所学于师也。至于好色，臣无有也。”王曰：“子不好色，亦有说乎？有说则止，无说则退。”玉说：“天下之佳人莫若楚国，楚国之丽者莫若臣里，臣里之美者莫若臣东家之子。东家之子，增一分则太长，减之一分则太短，著粉则太白，施朱则太赤。眉如翠羽，肌如白雪，腰如束素，齿如含贝（牙齿整齐洁白）。嫣然一笑（笑得很美的样子），惑阳城，迷下蔡。然此女登墙窥臣三年，至今未许也。登徒子则不然。其妻蓬头挛耳（头发蓬乱，蜷曲耳朵）

齞唇历齿（齞[yan],暴牙露齿），旁行踽偻（踽[ju]，既驼又瘸），又疥且痔，登徒子悦之，使有五子。王孰察之，谁为好色者矣。”

例１：设仓库中某种商品是由甲、乙、丙三个厂生产的，且分别占0. 5,0. 25,0 例１：设仓库中某种商品是由甲、乙、丙三个厂生产的，且分别占0.5,0.25,0.25,其次品率分别为2%,2%,4%。现从中任取一件，求取到次品的概率。 解：设A=“取到的一件产品是次品” Bi=“取到的一件产品是第i厂生产的”，i=1,2,3

说明：又P(B)=P(B/A),即: P(AB）=P（A）P（B）

（1）A与B相互独立P(AB)=P(A)P(B) 证：若A与B互不相容，即 A  B= ,从而 P(A  B)=0, 但P(A)P(B)>0 , 故 P(A  B) ≠P(A)P(B) 从而A与B不相互独立 . 若A与B相互独立，则有 P(AB)=P(A)P(B)>0 所以A与B一定不是互不相容的。 关于事件的独立性有如下重要论： （1）A与B相互独立P(AB)=P(A)P(B)