数学电子教案
专题30：几何综合问题专题
几何在初中数学中占有相当的比重，在全国各地的中考数学试卷中图形与几何的解答题占有20%到30%的比重。主要是利用直线型和圆中的一些基本性质，借助于图形变换（平移变换、旋转变换、轴对称变换、相似变换）进行线段和角的相等的证明、距离的测量与计算、面积的确定、线路的确定、方案的设计等等，主要考查学生的观察能力、空间想象能力、动手操作能力以及所学几何基础知识的灵活运用能力． 知识的应用在现实的生产实践和生活中极其普遍，几何知识的考查也从单纯的几何证明、计算向几何应用方面转变，且题型多种多样． 解题一般先从实际的问题中抽象出几何图形的模型，将实际问题转化为数学问题，然后把已知量和所求的量转化在几何图形中，再根据几何图形的性质，用代数的方法进行求解，最后检验做答．
例1：（2013山东烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合）分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点． （1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系是 ； （2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明； （3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.
（2）结合图形可猜想QE＝QF. 如图延长FQ交AE于点D，通过全等三角形，及直角三角形斜边中线定理即可证明猜想成立. 【解题思路】（1）易证明AE∥BF，利用全等易证明QE＝QF； （2）QE＝QF. 证明：延长FQ交AE于点D. ∵AE∥BF，∴∠1＝∠2．∵∠3＝∠4，AQ＝BQ， ∴△AQD≌△BQF . ∴QD＝QF. ∵AE⊥CP，∴QE为斜边FD中线，∴QE＝QF. （3）（2）中结论仍然成立. 理由：延长EQ、FB交于点D， ∵AE∥BF，∴∠1＝∠D，∵∠2＝∠3，AQ＝BQ， ∴△AQE≌△BQD.∴QE＝QD. ∵BF⊥CP，∴FQ为斜边DE中线．∴QE＝QF.
例2：(2013广东梅州)用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题： 探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P． （1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长； （2）当点P在运动的过程中出现PA＝FC时，求∠PAB的度数．探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN，在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在．求出它的最小值；若不存在，请说明理由．
【解题思路】探究一：（1）如图甲，过点A作AG⊥BC，垂足为G 【解题思路】探究一：（1）如图甲，过点A作AG⊥BC，垂足为G. 当点P运动到∠CFB的角平分线上时，要求AP，在Rt△AGP中，只需先求出AG与GP.（2）如图乙，以A点为圆心，CF长为半径作圆弧，与BC有两个交点，知∠PAB可分两种情况. 探究二：连接AD. 易证△ADM≌△CDN，可证明CN＝AM，所以AM＋AN的和为定值，我们只需求MN的最小值即可．
例3：（2013浙江湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2 的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝－x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是_____________．
【思维模式】初中数学中点的运动轨迹问题，通常有两种可能，一是轨迹是线段，此时只要求出两端点的坐标就可求得路径长；二是轨迹是圆弧，此时先去定圆弧所在圆的圆心、半径，再确定圆心角就可求得路径长．